专题24.2直角三角形的性质-2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典（解析版）【华师大版】

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【华师大版】专题24.2直角三角形的性质姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021春•闵行区校级月考）下列说法中错误的是（）A．三角形的三个内角中，最多有一个钝角 B．三角形三个内角中，至少有两个锐角 C．直角三角形中有两个锐角互余 D．三角形中两个内角和必大于90°【分析】根据三角形内角和定理，一一判断即可．【解析】A、三角形的三个内角中，最多有一个钝角，正确．B、三角形三个内角中，至少有两个锐角，正确．C、直角三角形中有两个锐角互余，正确，D、三角形中两个内角和必大于90°，错误，比如钝角三角形的两个锐角的和小于90°．故选：D．2．（2021•福建）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km．据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于（）A．2km B．3km C．23km D．4km【分析】直接利用直角三角形的性质得出∠B度数，进而利用直角三角形中30°所对直角边是斜边的一半，即可得出答案．【解析】∵∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝4（km）．故选：D．3．（2021春•青羊区校级期中）如图，将一副学生用三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）的直角顶点重合并如图叠放，当∠DEB＝m°，则∠AOC＝（）A．30° B．（m﹣15）° C．（m+15）° D．m°【分析】根据直角三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．【解析】∵∠DEB＝m°，∴∠AEC＝∠DEB＝m°，∵∠A+∠AEC＝∠C+∠AOC，∠C＝45°，∠A＝30°，∴30°+m°＝45°+∠AOC，∴∠AOC＝（m﹣15）°，故选：B．4．（2021春•深圳期中）如图，从旗杆AB的顶端A向地面拉一条绳子，绳子底端恰好在地面P处，若旗杆的高度为3.2米，则绳子AP的长度不可能是（）A．3 B．3.3 C．4 D．5【分析】直接利用直角三角形的性质斜边大于直角边进而得出答案．【解析】∵旗杆的高度为AB＝3.2米，∴AP＞AB，∴绳子AP的长度不可能是：3米．故选：A．5．（2021春•芝罘区期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为点D．若BE＝2，则AC的长度为（）A．3 B．1 C．2 D．2【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出BE＝CE＝2，故可得出∠B＝∠DCE＝30°，再由三角形的内角和定理可得∠ACB＝60°，可得∠ACE＝30°，根据直角三角形含30°角的性质可得AE和AC的长．【解析】如图，连接CE，∵BC的垂直平分线交AB于E，垂足为点D，∴BE＝CE＝2，∴∠B＝∠DCE＝30°，∵∠A＝90°，∴∠ACB＝60°，∴∠ACE＝30°，∴AE＝1，AC=3．故选：A．6．（2021春•广安期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边的中点，CE⊥AB于点E．若CE＝5，CD＝6，则△ABC的面积是（）A．60 B．50 C．40 D．30【分析】根据直角三角形的性质得到AB＝2CD，求得AB＝12，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解析】在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边的中点，∴AB＝2CD，∵CD＝6，∴AB＝12，∵CE⊥AB于点E，CE＝5，∴△ABC的面积=12AB•CE=故选：D．7．（2021春•肥东县期末）在△ABC中，∠ABC＝90°，OB为AC边上的中线，若以AC为斜边作△ADC，连接OD，则下列说法错误的是（）A．OD＝OA B．OD＝OB C．OD=12AC D．OD=【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可判断．【解析】如图，∵△ABC、△ACD是直角三角形，O为AC的中线，∴BO=12AC，DO＝OA=1∴OD＝OB，∴A、B、C都正确，故选：D．8．（2021春•潮阳区期末）如图，有一架梯子斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，在墙角（点O处）有一只猫紧紧盯住位于梯子（AB）正中间（点P处）的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉，把梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，若梯子A端沿墙下滑，且梯子B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离（）A．不变 B．变小 C．变大 D．无法判断【分析】根据题意知，OP是直角△AOB斜边上的中线，则OP=12AB【解析】如图，连接OP，根据题意知，点P是直角△AOB斜边的中点，则OP是直角△AOB斜边上的中线，则OP=12AB由于AB的长度不变，则OP的长度不变．故选：A．9．（2021春•任丘市期末）如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（）A．7 B．152 C．8 D．9【分析】根据直角三角形的性质求出DE，由EF＝1，得到DF，再根据三角形中位线定理即可求出线段AC的长．【解析】∵∠AEB＝90°，D是边AB的中点，AB＝6，∴DE=12AB∵EF＝1，∴DF＝DE+EF＝3+1＝4．∵D是边AB的中点，点F是边BC的中点，∴DF是△ABC的中位线，∴AC＝2DF＝8．故选：C．10．（2021春•海淀区校级期中）一只小猫在距墙面4米，距地面2米的架子上，紧紧盯住了斜靠墙的梯子中点处的一只老鼠，聪明的小猫准备在梯了下滑时，在与老鼠距离最小时捕食．如图所示，把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，猫所处位置为点D，梯子视为线段MN，老鼠抽象为点E，已知梯子长为4米，在梯子滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为（）A．25 B．25−2 C．2 D．4【分析】如图，连接BE，BD．求出BE，BD，根据DE≥BD﹣BE求解即可．【解析】如图，连接BE，BD．由题意BD=22+4∵∠MBN＝90°，MN＝4米，EM＝NE，∴BE=12MN∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2米为半径的弧，∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，∴DE的最小值为（25−2）米．（也可以用DE≥BD﹣BE，即DE≥25−故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2021春•锦江区校级期末）等腰三角形一底角为30°，底边上的高为9cm，则这个等腰三角形的腰长是18cm，顶角是120°．【分析】由已知条件，根据直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，得：腰长是底边上的高的2倍，可得答案．【解析】∵∠C＝30°，作AD⊥BC，垂足为D，∴AC＝2AD，∴AC＝2×9＝18，即腰长是18cm，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，故答案为：18；120°．12．（2021春•垦利区期末）如图，△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD．若AD＝2cm，则△ABC的周长为12cm．【分析】利用平行线的性质和CD⊥AD，先得到∠DCB的度数，再求出∠ACD的度数，再直角三角形中，利用30°角所对的边与斜边的关系求出AC，最后求出等边三角形的周长．【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ACB＝60°．∵AD∥BC，CD⊥AD，∴∠D+∠DCB＝180°，∠D＝90°．∴∠DCB＝90°．∴∠ACD＝∠∠DCB﹣∠ACB＝30°．在Rt△ACD中，∵AD＝2cm，∠ACD＝30°，∴AC＝2AD＝4（cm）．L△ABC＝AB+AC+BC＝12（cm）．故答案为：12．13．（2021春•官渡区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AC中点，E为边AB上一动点，当四边形BCDE有一组邻边相等时，则AE的长为2或3或135．【分析】分BC＝BE、CD＝DE、BE＝DE三种情况考虑，当BC＝BE时，由AE＝AB﹣BE即可求出AE的长度；当CD＝DE时，过点D作DF⊥AE于F，通过解直角三角形可得出AF的长度，再根据等腰三角形的三线合一即可得出AE的长度；当BE＝DE时，过点D作DF⊥AE于F，设EF＝x，则BE=52−x，利用勾股定理表示出DE2的值，结合BE＝DE即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，进而即可得出【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝2BC＝4，AC=3BC＝23，∵D为AC中点，∴AD＝CD=3，当构成的四边形BCDE有一组邻边相等时，由以下三种情况．①如图1，当BC＝BE时，∴BE＝BC＝2，∴AE＝AB﹣BE＝4﹣2＝2；②如图2，当CD＝DE时，作DF⊥AE，垂足为点F，AD＝CD＝DE，∴AF＝EF=12AE在Rt△ADF中，DF=12AD=∴AF=AD∴AE＝2×32③如图3，当BE＝DE时，作DF⊥AE，垂足为点F，BF＝AB﹣AF＝4−32设EF＝x，则BE＝BF﹣EF=52−在Rt△DEF中，DF=32，DE＝BE=52−x，∴EF2+DF2＝DE2，即x2+（32）2＝（52−x）解得：x=1110即EF=1110∴AE＝AF+EF=32故答案为：2或3或135．14．（2021春•宛城区期末）若一个三角形中一个角的度数是另一个角的度数的3倍，则称这样的三角形为“和谐三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“和谐三角形”，如图，直角三角形ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，D是边CB上一动点．当△ADC是“和谐三角形”时，∠DAB的度数是30°或80°或52.5°．【分析】分三种情况进行讨论：①当∠ADC＝3∠C时；②当∠C＝3∠CAD时；③当∠ADC＝3∠CAD时．根据“和谐三角形”的定义求解即可．【解析】∵∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠C＝90°﹣∠ABC＝30°．当△ADC是“和谐三角形”时，分三种情况：①当∠ADC＝3∠C时，∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠C＝60°，∴∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝30°；②当∠C＝3∠CAD时，∠CAD＝10°，∴∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝80°；③当∠ADC＝3∠CAD时，∵∠ADC+∠CAD＝180°﹣∠C＝150°，∴∠CAD=14∴∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝52.5°．综上所述，∠DAB的度数是30°或80°或52.5°．故答案为：30°或80°或52.5°．15．（2021•芜湖模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，∠BCD＝3∠ACD，CD＝3，则AB的长为62．【分析】根据已知条件得到ACD＝22.5°，求得∠B＝∠ACD＝22.5°，根据直角三角形的性质得到CE＝BE=12AB，求得∠DCE＝∠DEC＝45°，得到CE=2CD＝3【解析】∵∠ACB＝90°，∠BCD＝3∠ACD，∴∠ACD＝22.5°，∵CD⊥AB，∴∠ACD+∠A＝90°，∵∠A+∠B＝90°，∴∠B＝∠ACD＝22.5°，∵点E是AB的中点，∴CE＝BE=12AB∴∠BCE＝∠B＝22.5°，∴∠DCE＝45°，∵∠CDE＝90°，∴∠DCE＝∠DEC＝45°，∴CE=2CD＝32，∴AB＝2CE＝62，故答案为：62．16．（2021春•河东区期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD，点E，点F分别是AC，BD的中点，EF＝3．则AC的长为6．【分析】根据等腰三角形的性质求出AF⊥BC，根据直角三角形斜边上的中线得出EF=12AC【解析】连接AF，∵AB＝AD，F为BD的中点，∴AF⊥BD，即∠AFC＝90°，∵E为AC的中点，∴EF=12AC∵EF＝3，∴AC＝6，故答案为：6．17．（2021春•青秀区校级期末）如图，Rt△ABC中，BC＝13，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D，E分别是边AB，AC上的点，且满足AD＝2CE，则CD﹣CE的最小值为1336【分析】作EF∥AB交BC于点F，连接DF，根据平行线的性质得出∠CFE＝∠B＝30°，再根据直角三角形中，30°角所对直角边是斜边一半得出EF＝2CE＝AD，取EF中点G，连接CG、DG，可得CE＝CG，当C，D，G三点共线时，D为AB的中点，EF为中位线，此时，CD﹣CE取得最小值．【解析】作EF∥AB交BC于点F，连接DF，∵EF∥AB，∠B＝30°，∴∠CFE＝∠B＝30°，∴EF＝2CE＝AD，取EF中点G，连接CG、DG，∴CE＝CG，∴CD﹣CE的最小值为C，D，G三点共线时，此时D为AB的中点，EF为中位线，∴CD﹣CE＝13×23故答案为133618．（2021•克东县二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为30°，AB＝6．若点E在直线BC上（不与点B、C重合），且∠CAE＝30°，则BE的长为23或43或6【分析】可分三种情况：当E点在线段BC上时，如图，则∠B＝30°；当E点在BC延长线上时，如图，则∠B＝30°；当E点在BC延长线上时，如图，则∠B＝60°，利用含30°角的直角三角形的性质及等边三角形的平行于性质分别计算可求解．【解析】当E点在线段BC上时，如图，则∠B＝30°，∵∠C＝90°，AB＝6，∴∠BAC＝60°，AC=12AB∴BC=33，∵∠CAE＝30°，∴AE＝2CE，∠BAE＝30°，∴∠B＝∠BAE，∴BE＝2CE=23当E点在BC延长线上时，如图，则∠B＝30°，∵∠ACB＝90°，AB＝6，∴∠BAC＝60°，AC=12AB∴BC=33，∵∠CAE＝30°，∠ACE＝90°，∴CE=33∴BE＝BC+CE=33+当E点在BC延长线上时，如图，则∠B＝60°，∵∠ACB＝90°，AB＝6，∴∠BAC＝30°，∵∠CAE＝30°，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝60°，∴△ABE为等边三角形，∵AB＝6，∴BE＝AB＝6，综上，BE的长为23或43故答案为23或43三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2021春•郓城县期末）如图，DE是△ABC的边AB上的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、E，AE平分∠BAC，∠B＝30°．（1）求∠C的度数；（2）若DE＝1，求EC的长．【分析】（1）DE是边AB上的垂直平分线推AE＝BE，利用等腰三角形的性质和角平分线的定义推角相等，最后得出角的度数；（2）利用角平分线的性质求线段长．【解析】（1）∵DE是边AB上的垂直平分线，∴AE＝BE．∴∠B＝∠BAE＝30°．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠EAC＝30°，∴∠ACB＝90°．（2）∵AE平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴EC＝ED＝1．20．（2021春•成都期末）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，E为边AC上一点，连接DE，EC＝ED，过点E作EF⊥AB，垂足为F．（1）判断DE与BC的位置关系，并说明理由；（2）若∠A＝30°，∠ACB＝80°，求∠DEF的度数．【分析】（1）由角平分线的定义可得∠ACD＝∠BCD，由等腰三角形的性质可得∠ACD＝∠EDC，即可求得∠BCD＝∠EDC，进而可求解；（2）由直角三角形的性质可求解∠AEF＝60°，由平行线的性质可求解∠AED的度数，进而可求解．【解析】（1）DE∥BC，理由如下：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∵EC＝ED，∴∠ACD＝∠EDC，∴∠BCD＝∠EDC，∴DE∥BC；（2）∵EF⊥AB，∠A＝30°，∴∠AEF＝60°，∵∠ACB＝80°，DE∥BC，∴∠AED＝∠ACB＝80°，∴∠DEF＝∠AED﹣∠AEF＝80°﹣60°＝20°．21．（2020秋•南浔区期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，点E是边BC延长线上一点，连接AE、DE，过点C作CF⊥DE于点F，且DF＝EF．（1）求证：AD＝CE．（2）若AD＝5，AC＝6，求△BDE的面积．【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质得到CD＝AD=12AB，根据线段垂直平分线的选择得到CE＝CD（2）根据直角三角形斜边中线的性质得到AB＝2AD＝10，由勾股定理得到BC=AB2−AC2=8，由（1）知，【解析】（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD＝AD=12AB∵CF⊥DE，DF＝EF．∴CE＝CD，∴AD＝CE．（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，AD＝5，∴AB＝2AD＝10，∵AC＝6，∴BC=AB由（1）知，CE＝CD＝AD＝5，∴BE＝BC+EC＝13，∴S△ABE=12BE•AC=∵点D是AB的中点，∴△BDE的面积=12S△ABE=22．（2021春•亳州期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，点F是线段AD的中点，连接EF，CF．（1）求证：EF＝CF；（2）若∠BAC＝45°，AD＝6，求C，E两点间的距离．【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线的性质可得EF=12AD，CF=12AD，进而求解EF（2）连接CE，易求EF＝AF＝CF＝3，结合等腰三角形的性质可求解∠EFC＝90°，利用勾股定可求解CE的长．【解析】（1）证明：∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，在Rt△AED和Rt△ACD中，∵点F是斜边AD的中点，∴EF=12AD，CF=1∴EF＝CF；（2）解：连接CE，由（1）得EF＝AF＝CF=12AD∴∠FEA＝∠FAE，∠FCA＝∠FAC，∴∠EFC＝2∠FAE+2∠FAC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，∴CE=EF2+C即C，E两点间的距离是32．23．（2021春•昌图县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4