余弦函数的图象和性质教案

余弦函数的图象和性质教案一、教学目标1.知识与技能目标理解余弦函数的图象，掌握五点法作余弦函数图象的方法。掌握余弦函数的性质，包括定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。2.过程与方法目标通过观察、类比、推理等数学活动，培养学生的逻辑思维能力和数形结合思想。让学生经历探究余弦函数图象和性质的过程，提高学生分析问题和解决问题的能力。3.情感态度与价值观目标通过本节课的学习，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索的精神。让学生体会数学的严谨性，感受数学的美。二、教学重难点1.教学重点余弦函数的图象和性质。五点法作余弦函数图象。2.教学难点理解余弦函数图象与正弦函数图象的关系。利用余弦函数的性质解决相关问题。三、教学方法讲授法、讨论法、探究法相结合四、教学过程（一）导入新课1.复习回顾提问：正弦函数的图象是怎样得到的？其性质有哪些？学生回答：通过单位圆中的正弦线平移得到，性质包括定义域\(R\)，值域\([1,1]\)，周期\(2\pi\)，奇函数，在\([\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi](k\inZ)\)上单调递增，在\([\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi](k\inZ)\)上单调递减。2.情境引入展示一些含有余弦曲线的实际图片，如波浪、简谐振动等，引导学生观察这些曲线的形状，引出本节课要研究的余弦函数。（二）讲授新课1.余弦函数图象的画法利用诱导公式\(y=\cosx=\sin(x+\frac{\pi}{2})\)，引导学生思考如何由正弦函数图象得到余弦函数图象。教师通过多媒体动画演示，将正弦函数\(y=\sinx\)的图象向左平移\(\frac{\pi}{2}\)个单位长度，得到余弦函数\(y=\cosx\)的图象。介绍五点法作余弦函数图象的步骤：先确定五个关键点，分别是\((0,1)\)，\((\frac{\pi}{2},0)\)，\((\pi,1)\)，\((\frac{3\pi}{2},0)\)，\((2\pi,1)\)。在平面直角坐标系中描出这五个点。用光滑曲线依次连接这五个点，得到余弦函数在\([0,2\pi]\)上的图象。根据余弦函数的周期性，将\([0,2\pi]\)上的图象向左、右平移\(2k\pi(k\inZ)\)个单位长度，就得到余弦函数\(y=\cosx\)的图象。让学生自己动手，用五点法画出\(y=\cosx\)在\([0,2\pi]\)上的图象，并巡视指导。2.余弦函数的性质定义域引导学生观察余弦函数的图象，思考其定义域。学生回答后，教师总结：余弦函数\(y=\cosx\)的定义域是\(R\)。值域从图象上可以看出，余弦函数的值域是\([1,1]\)。提问：当\(x\)取何值时，\(y=\cosx\)取得最大值\(1\)？当\(x\)取何值时，\(y=\cosx\)取得最小值\(1\)？学生回答：当\(x=2k\pi(k\inZ)\)时，\(y_{max}=1\)；当\(x=(2k+1)\pi(k\inZ)\)时，\(y_{min}=1\)。周期性观察余弦函数图象，发现每隔\(2\pi\)个单位长度，图象就重复出现。给出周期性的定义：对于函数\(y=f(x)\)，如果存在一个非零常数\(T\)，使得当\(x\)取定义域内的每一个值时，都有\(f(x+T)=f(x)\)，那么函数\(y=f(x)\)就叫做周期函数，非零常数\(T\)叫做这个函数的周期。强调余弦函数的最小正周期是\(2\pi\)。奇偶性观察余弦函数图象，发现其图象关于\(y\)轴对称。引导学生根据奇偶性的定义判断余弦函数的奇偶性。学生回答后，教师总结：因为\(\cos(x)=\cosx\)，所以余弦函数\(y=\cosx\)是偶函数。单调性结合余弦函数图象，分析其单调性。当\(x\in[2k\pi\pi,2k\pi](k\inZ)\)时，函数\(y=\cosx\)单调递增；当\(x\in[2k\pi,2k\pi+\pi](k\inZ)\)时，函数\(y=\cosx\)单调递减。提问：如何比较\(\cos\frac{\pi}{3}\)与\(\cos\frac{\pi}{4}\)的大小？学生回答：因为\(0\lt\frac{\pi}{4}\lt\frac{\pi}{3}\lt\pi\)，且\(y=\cosx\)在\([0,\pi]\)上单调递减，所以\(\cos\frac{\pi}{3}\lt\cos\frac{\pi}{4}\)。（三）例题讲解例1：求函数\(y=2\cosx+1\)的值域。解：因为\(1\leqslant\cosx\leqslant1\)，所以\(2\leqslant2\cosx\leqslant2\)，则\(1\leqslant2\cosx+1\leqslant3\)。所以函数\(y=2\cosx+1\)的值域是\([1,3]\)。例2：判断函数\(f(x)=\cos(x+\frac{\pi}{3})\)的奇偶性。解：\(f(x)=\cos(x+\frac{\pi}{3})=\cos(x\frac{\pi}{3})\neqf(x)\)且\(f(x)\neqf(x)\)。所以函数\(f(x)=\cos(x+\frac{\pi}{3})\)既不是奇函数也不是偶函数。例3：求函数\(y=\cos(\frac{\pi}{2}2x)\)的单调递增区间。解：\(y=\cos(\frac{\pi}{2}2x)=\sin2x\)。由\(2k\pi\frac{\pi}{2}\leqslant2x\leqslant2k\pi+\frac{\pi}{2}(k\inZ)\)，得\(k\pi\frac{\pi}{4}\leqslantx\leqslantk\pi+\frac{\pi}{4}(k\inZ)\)。所以函数\(y=\cos(\frac{\pi}{2}2x)\)的单调递增区间是\([k\pi\frac{\pi}{4},k\pi+\frac{\pi}{4}](k\inZ)\)。（四）课堂练习1.函数\(y=\cosx\)的图象与\(y\)轴的交点坐标是（）A.\((0,1)\)B.\((0,1)\)C.\((\frac{\pi}{2},0)\)D.\((\pi,0)\)2.函数\(y=\cosx\)在\([0,2\pi]\)上的单调递减区间是（）A.\([0,\pi]\)B.\([\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]\)C.\([\pi,2\pi]\)D.\([0,\frac{\pi}{2}]\cup[\frac{3\pi}{2},2\pi]\)3.函数\(y=3\cosx\)的最大值是（）A.3B.3C.1D.14.函数\(f(x)=\cos(2x\frac{\pi}{3})\)的周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(4\pi\)5.求函数\(y=\cos(x+\frac{\pi}{6})\)，\(x\in[0,\frac{\pi}{2}]\)的值域。（五）课堂小结1.请学生回顾本节课所学内容，包括余弦函数图象的画法、性质。2.教师总结：本节课我们通过由正弦函数图象平移得到余弦函数图象，掌握了五点法作余弦函数图象。同时学习了余弦函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等性质，并通过例题和练习进行了巩固。希望同学们能熟练掌握这些知识，运用它们解决相关问题。（六）布置作业1.书面作业：教材P46练习第1、2、3题。2.拓展作业：已知函数\(y=A\cos(\omegax+\varphi)+k(A\gt0,\omega\gt0)\)的图象的一部分如图所示，求其解析式。思考如何利用余弦函数的性质解决生活中的实际问题，如潮汐问题等，并写一篇简短的报告