专题19圆的基本性质（解析版）-2024年中考数学一轮复习考点帮

专题19圆的基本性质

I.理解圆、弧、弦、圆心角的概念，了解等圆、等弧的概念，象索并了解点与圆的位置关系;

2.探索并证明垂径定理；

3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论：

考点1：圆的定义

(1)线段0A绕着它的一个端点0旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.

(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.

考点2：圆的性质

(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称

中心是圆心.

在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所

对应的其他各组分别相等.

(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.

(3)垂径定理及推论：

①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.

④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.

⑤平行弦夹的弧相等.

注：

在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这

五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.(注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦

不能是直径)

考点3：两圆的性质

(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.

(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.

考点4：与圆有关的角

(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.

圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.

(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.

圆周角的性质：

①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.

②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.

③90°的圆周角所对的弦为直径：半圆或直径所对的圆周角为直角.

④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.

V酬1弟领

【题型1:圆的基本认识】

【典例I】下列命题中，真命题的个数是（）

①长度相等的弧是等弧；②相等的圆心角所对的弦相等；③等边三角形的外心与内心重合；④任意三点

可以确定一个圆；⑤三角形有且只有一个外接圆.

A.0B.1C.2D,3

【答案】C

【分析】本题考查的是等弧的概念，弧，弦，圆心角的关系，止多边形的性质，圆的确定，三角形的外接

圆的含义，根据基本概念与基本性质逐一分析即可，熟记基本性质是解本题的关键.

【详解】解：能够完全重合的弧是等弧，故①假命题；

在同圆与等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故②是假命题，

等边三角形的外心与内心重合；故③是真命题，

不在同一直线上的三点可以确定一个圆，故④是假命题，

三角形有且只有一个外接圆，故⑤是真命题；

故选C

1.如图，4。是。。的直径，四边形A8CO内接于C。，若AB=BC=CD=4,则。的直径为（）

A.4B.6C.8D.9

【答案】C

【分析】本题考杳了园与全等三角形的综合,连接03、OC讦VAO8或80c绯C8即可求解.

【详解】解：连接08、0C,如图所示：

^OA=OB=OC=OD,AB=BC=CD=4,

0NAOB^/BOC^/COD

0NAOB=NBOC=ZCOD=-乙4。。=60°

3

圉短08是等边三角形，

（3QA=A8=4

回。的直径为：4x2=8

故选：C

2.如图，在矩形48C。中，AB=IO,4）=12,。为矩形内一点，ZAPB=90°,连接尸£）,则PO的最小

值为.

【答案】8

【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，点与圆的位置关系，以为直径作：O,连接0。在矩形

4J3CD内部交。于点P,则此时尸。有最小值，由矩形的性质及圆的概念可求解0P的长，利用勾股定理

可求解。。的长，进而可求解.

【详解】解：如图，以A4为直径作连接。。在矩形A8CD内部交一。于点P,则此时P。有最小值,

矩形A8c。中，AB=10,AD=\2,

0。=A。=5,N8AD=90°,

.•.OD=V52+122=13>

/.PD=OD-OP=13-5=8,

即PO的最小值为8.

故答案为：8.

3.如图，AB是半的直径，点C在半《。上，A8=5cm,AC=4cm.。是BC上的一个动点，连接A。，

过点C作CE_LA0于E,连接把.在点。移动的过程中，BE的最小值为

D

AR

【答案】(JT5—2)cm

【分析】本题主要考查了勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定点上的运动轨迹是在以AC

为直径的圆上运动，属于中考填空题中的压轴题.

如图，取AC的中点为O',连接4。，、BC,在点。移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，当。、

E、8三点共线时，的的值最小，最小值为0%-0石，利用勾股定理求出0'8即可解决问题.

【详解】解：如图，取AC的中点为O',连接8。、BC,

.\(rC=-AC=2cm

2t

.CELAD,

.­.Z4EC=90°,

••・在点。移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动,

AB是直径，

/.Z4CB=90°,

在RtA8c中，AC=4cm,AB=5cm,

BC=JAB?-AC?=正-不=女m，

在Rt中，BO=de。2+BC?=也?+3?=后cm，

OE+BENO'B,

・•.当O'、E、4三点共线时，质的值最小，最小值为：O，B-(7E=用-2(cm),

故答案为：(JB-2)cm.

4.〃圆是最完美的几何图形"我们知道不在同一直线上的三个点确定一个圆.已知ABC,ZC=90",AC=6,

BC=8.

（图1）（图2）

⑴①确定经过三角形三个顶点的圆的圆心是找到三角形

A.三边垂直平分线的交点B.三个角平分的交点C.三条中线的交点

②经过三角形ABC的三个顶点的圆的半径是

3

（2）如图（2）当C£=2,CO=5时，过C、D、E三点的作圆。，点M为线段AB上一动点，CM交圆。于

点N,没CN=x,CM=yt求）,与x的关系式.

⑶如图（2）,点尸是平面内一动点，当NAPC=45。时，求P3的取值范围.

【答案】（1）①A：②5

⑵二12（目3,臼,5、

（3）734-3V2<PZ^<734+372

【分析】（1）①根据确定圆的条件即可求解；

②勾股定理求得A3的长，进而根据直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半，即可求解.

（2）连接。石，取。石的中点产，连接CV并延长，交人8于点H,交0尸于点G,连接GN,证明

△EC。"△8C4得出/尸CE+ZA=90。，等面积法求得C",进而证明,.CHWsCVG,得出尤丫的函数关系

式，进而结合图形写出自变量的取值范围，即可求解；

（3）以AC为底构造等腰直角三角形人。。和等腰直角三角形A。?。，分别以。…。?为圆心，AQ,八。?为

半径作。1,。2,连接8。1,BO2,设交:«于心延长8。2交于%,可知R3W尸过

点Oi作QN_L8C于点N,。幽-14。于点加，先根据己知条件得到4«=。9=3血，NQ=3,BN=5,

再根据勾股定理得到8Q=再，即可得至的值，同理可得68=呵+3贬，问题得解.

【详解】（1）①根据确定圆的条件可得确定经过三角形三个顶点的圆的圆心是找到三角形三边垂直平分线

的交点，

故答案为:A.

②目Z4C8=90°,AC=6,BC=8.

^AB=^AC2+BC2=10>

13直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半，

团经过三角形A8C的三个顶点的圆的半径是5

故答案为：5.

（2）解：如图所示，连接OE,取DE的中点尸，连接C尸并延长，交AB于点、H,交。尸于点G,连接GN,

B

A

3

团4c8=90。，CD=-

2

mDE=yJCD~+CE2=-

2

0Z4CB=9O°,

团QE是OF的直径，

X0FE=FC

0ZFEC=4FCE

3

团AC=6,BC=8.CE=2,CD=-

2

3

团CD51£C21

前_v正一§_1

CDEC

0——=——

ACBC

乂2ECD=NBCA

自△EC£)S2\8C4

自ZDEC=/B

中ZB=NFCE

0Z4+ZB=9O°

0ZFCE+ZA=9O°

团CHJLAB

zACxBC24

AB5

团CG是厂的直径，

团NGNC=90。，

0ZGCN=/MCH,NC〃M=NCNG=90。，

"CHMs.CNG

<NCG

CHMC

5

即去普

T

12

0y=——

x

又由

35

HP-<x<-

22

八22）

（3）解：如图所示，以AC为底构造等腰直角三角形AQC和等腰直角三角形AQC,分别以。一■为圆

心，AOit人。2为半径作O\,。2,连接80.B02t设BO&01于h延长80?交，:0?于外，可知

P出WPBWP,B,过点OI作QN_LBC于点N.«M_LAC于点M,

(3AC=6,

^AOi=COi=3yf2,MO\=NO、=CN=3,

团BC=8,

⑦BN=5,

团阳=轿+32=取,

⑦RB=B0「3丘=4-3丘,

同理可得=>/国+3及，

0N/34-35/2<PB<>/i30+3>/2.

【点睛】本题考查了确定圆的条件，相似三角形的性质与判定，一点到圆上的距离问题，勾股定理，直角

三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键.

,学典例匍领

【题型2：垂径定理】

【典例2】小明在做一个实验，把一个球放在透明的长方体盒子内，球的一部分露出盒外，过球心的截面示

意图如图所示，经测量知EF=6cm,盒子的高CO=9cm,则球的半径长是()

A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm

【答案】B

［分析］过点。作ONJ_AO交于点M交CB于点、M,连接OF,根据四边形ABC。是矩形得ZC=ZD=90°,

可得四边形CDW是矩形，则MN=CZ)=8cm,设=则QW=O/=Acm,

ON=MN-OM=(8-x)cm,NF=EN=4cm,在此△0M?中，根据勾股定理得QA^+N尸1=。尸2,进行计

算即可得.

【详解】解：如图所示，过点。作ONJ.AO交于点M交CB于点“，连接。尸，

团四边形ABC。是矩形，

□ZC=ZD=90°,

团四边形COVM是矩形，

0M/V=CD=8cm,

设OF=Atm,则OM=OF=xcm,

(3QN=MN-OM=(8—力cm,NF=EN=4cm,

在RtAONF中，根据勾股定理得O/r+N尸=OF-,

即(8-X)2+42=X2,

64-16x+x2+16=x2

161=80

x=5,

故选：B.

BP时梏泅

1.如图，点C在。o上，OC平分弦A8,连接。4,BC,若44=40。，则NA8C=()

A.50°B.20°C.25°D.30°

【答案】C

【分析1本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，利用垂径定理，圆周角定理和三角形的内角和定理解答

即可.

【详解】解：•,OC平分弦A8,0C为。。的半径，

:.OC1AB,

.4=40。，

:.ZAOC=50°.

：.ZABC=-ZAOC=25°.

2

故选：C.

2.如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B是AO的中点，P是直径上一动点，。的半径是2,则

【答案】2&

【分析】本题主要考查了圆心角的性质，轴对称的性质，勾股定理，解题的关键是作点A关于8的对称点

A'，连接丛'交。于P，则点尸却是所求作的点，根据勾股定理求出结果即可.

【详解】解：如图，作点4关于C。的对称点4,连接及V交。于尸，则点P即是所求作的点，

A

根据轴对称的性质可知，A尸=4尸，

团A产+/，〃=AW+/#,

团两点之间线段最短，

团此时4尸+8尸最小，即A尸+8尸最小，

国AP+8P的最小值为府的长，

财是半圆上一个三等分点，

团N4OD=N/VQD=360。+2+3=60°,

又回点8是AO的中点，

团/BOO=乙40。=-x60°=30°,

2

0NA'OB=ZAOD+/BOD=60°+30°=90°,

在Rt/vVOB中，由勾股定理得:

AB=xlOB2+O^=V22+22=2\/2,

团AP+BP的最小值是2近-

故答案为：2叵.

3.数学综合实践活动课上，小北小组设计了间接测量球直径的一个实验.如图，将一个球放置在圆柱形玻

璃杯上，测得杯高A8=20cm,底面直径8c=12cm,球的最高点到杯底面的距离为32cm,则通过转化成

cm（玻璃瓶厚度忽略不计）.

【答案】15

【分析】本题考查了主视图、垂径定理和勾股定理的运用，准确做出立体图形的主视图是解题的关键.如

图所示，将题中主视图画出来，用垂径定理、勾股定理计算即可.

【详解】解：如下图所示，设球的半径为

12cm

贝|」0(7=石6—r二麻一6/一r="一48—r=32—20——二(12—厂)(：01,

团EG过圆心，且垂直于4。，

(3G为A。的中点，

则AG=3A。=6(cm),

在RtZXOAG中，由勾股定理可得，

O/r=OG2+AG2，

即r=(12-r)2+62,

解方程得r=7.5,

则球的直径为15cm.

故答案为：15.

4.如图，在CO中，A8是的直径，CO是0。的弦，CO_LAB,垂足为P.过点。作。。的切线与A8

的延长线相交于点E.

⑴若NA8C=56。，求NE的度数.

(2)若CO=6.BP=2,求CO的半经.

【答案】(1)22°

⑵？

【分析】(1)连接O。，根据直角三角形的性质求出NPC6,根据切线的性质得到NOD£=9(r,根据直角

三角形的性质计算，得到答案；

（2）根据垂径定理求出PO,设：。的半径为〃，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案.

【详解】（1）解：连接。。.

回在；O中，ABA.CD,垂足为P,

0ZCPB=9O°.

0Z4BC=56°,

0ZPCB=9OO-56O=34°,

国ZEOD=2/PC8=68°.

团/把是的切线.

0ZODE=9O°,

在RlaOOE中，ZE=90°-68°=22°.

（2）（3在。中，ABJ.CD,垂足为P,

^CP=DP=-CD=3.

2

设。的半径为〃，贝I］：OD=OB=r,OP=OB-BP=r-2.

在RtOOP中，PD2+OP2=OD2,

即32+（「2）2=产.

解方程，得「=一13.

4

所以。的半径为1匕3

【点睛】本题考杳的是切线的性质、圆周角定理、垂径定理，勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的

半径是解题的关键.

4典例引领

【题型3：弧、弦、圆心角的关系】

【典例3】下列命题正确的是（）

A.等弧所对的圆心角相等B.平分弦的直径平分弦所对的弧

C.三点确定一个圆D.在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等

【答案】A

【分析】本题考查命题与定理知识，圆心角，弦，弧的关系，垂径定理，圆的定义.根据题意及圆周角定

理，弧，弦，圆心角的关系定理，圆的确定条件等对选项逐个遂行分析即可得到本题答案.

【详解】解：团在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角和圆周角相等，故A选项正确；

回平分弦（不是直径）的直径平分线弦，并且平分弦所对的两条弧，故B选项不正确；

回不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，故C选项不正确；

回再同圆或等圆中，相等的弦所对的弧可以为优弧也可为劣弧，故D选项中说相等所以不对，

故选：A.

,即时检泅

1.如图，A8为CO的直径，C、。是0。上的两点，ZBAC=20°,A£>=C7）,则ND4c的度数是（）

C.30°D.25°

【答案】B

【分析】此题考查了圆周角定理，以及弦，弧，圆心角三者的关系，作出辅助线，找出未知角与已知角的

联系，是解此题的关键；

根据圆周角定理和弦，弧，圆心角三者的关系即可得到结论.

【详解】连接OC，如图所示，

NB4C与NBOC所对的弧都是BC，ZB/AC=20°,

ZBOC=2ZB4C=40°,

•••Z4OC=140°,

又AD=CD^

NCOD=ZAOD=-ZAOC=70°,

2

/D4C和NOOC所对的弧都是CO，

ZDAC=-ZCOD=35°

2f

故选：B.

NBDC=20。，则乙4。3的度数是

【答案】40。/40度

【分析】本题考查的是圆周角定理，利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆

心角的一半，即可求得/A05的度数.

【详解】解：AB=BC^NBDC=20。，

...4404=247X7=40。，

故答案为:40°.

已知弦8c=6,DE=4,ZBAC+ZEAD=180°,则A的半径长为.

【答案】V13

【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，解题的关键是作直径。尸，连接叱，证明。k=4,

根据勾股定理求出Cb=2g.

【详解】解：作直径C/，连接身、，如图所示:

团ZE4C+NE43=180。，

而/B4C+NB4尸=180。,

^ZDAE=ZBAF,

田DE=BF，

^DE=I3F=4,

团。尸是直径，

0ZC£?F=90°,

在RtZ\CB/中，BC=6,BF=4,

0CF=VBC2+BF2=>/62+42=2/，

0AC=AF=-CF=V13.

2

故答案为：Ji5.

4.如图，已知四边形A8C。内接于圆O,直径AC与交于七点，8D平分/4ZX7.

⑴尺规作图：作△84"❷△"?£）,使得M、。在48的两侧（保留作图痕迹，不写作法）:

?AC

⑵在（1）的条件下，若“力求防.

【答案】（1）见解析

⑵当

【分析】（1）在。人上的延长线上截取AM=8,连接8M,则即为所求；

（2）由全等三角形的性质得到NA8W=NC8D,BM=BD,接着证明.为等腰直角三角形得到

BD=/M=&DA+DC）,然后在RtZ\ACD中利用正切的定义得到tan/CAO=M=：,则可设

22V7AD4

AC

CD=3x,AD=4x,所以AC=5x,从而可计算出去的值.

BD

【详解】（1）解：如图所示，一则即为所求；

在D4上的延长线上截取4"=。，连接加，

由圆内接四边形的性质和平角的定义得到NBAM+ZBAD=NBAD+NBCD=180°,则/BAM=/BCD,

由角平分线的定义得到/8Z）A=NBDC,则A8=C8,

由此可由SAS证明ABAAWABCD；

（2）解：团AC是直径，

mZABC=ZADC=90°,

⑦4BAM0ABCD,

：,ZABM=ZCBD,BM=BD,

NMBD=ZABM+ZABD=ZCBD+ZABD=ZABC=90。,

为等腰直角三角形，

:.BD=4DM=4（DA+AM）=4（DA+DC）,

CD3

在RtZvlC力中，tanZCAD=——=-,

AD4

.•.设CO=3x,AD=4x,

:.AC=ylAD2+CD2=5x»4。=争3X+旬=半%，

AC=5x=5>/2

~BD~75/2一~•

----x

2

【点睛】本题考查了作图一复杂作图，全等三角形的判定与性质、圆周角定理和圆内接四边形的性质，解直

角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，通过证明△84"四△BCD进而证明，为等

腰直角三角形是解题的关键.

,典例受领

【题型4：圆心角】

【典例4】如图，AB,C。是的弦，延长ABCD相交于点E,已知NE=30。，NAOC=10D°,则BO的

度数是（）

A.70°B.50°C.40°D.30°

【答案】c

【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，圆心角笔知识.明确角度之间的数量关系是解题的

关键.

如图，连接。3、OD、AC,由三角形内角和求NOAC+NOC4=l80O-NAOC,

ZEAO+ZECO=180°-ZE-(ZOAC+ZOCA),

Z4Ofi+ZCOD=180°-(Z(M^+ZOBA)+180o-(ZOCD+NODC),根据

ABOD=36()u-ZAOC-(ZAOB+^COD),计算求解即可.

【详解】解：如图，连接OROD、AC,

团Z.OAB=z：OBA,NOCD=乙ODC,ZCZ4C+ZOG4=180°-ZAOC=80°,

0ZE4O+ZECO=18O°-ZE-(ZOAC+ZOC4)=7O°,

回Z.OAB+NO3A+ZOCD+ZODC=2x70°=140°,

团Z4O8+/COD=180°-(40AB+AOBA)+180°-(4OCD+ZODC)=220°,

团40。=360。-40。一(4084/。00=40°,

国31)的度数为40。，

故选：C.

1.如图，A氏AC是(。的两条弦，且AB=AC,点。,P分别在8c和4c上，若N8DC=I5O。，则/APC

A.105°B.110°C.120°D.150°

【答案】A

【分析】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所

对的圆心角或弧的度数的一半.

根据圆内接四边形对角互补求得/朋C的度数，即可求得BC的度数，进而求得48的度数，ABC的度数,

则/APC的度数即可求解.

【详解】解：在圆内接四边形ABCO中，/84。=180。一/8。。=180。-150。=30°,

则8c的度数是60。.

又团A8=AC,

13AB的度数=AC的度数=：（360。-60。）=150。，

回A8C的度数是150。+60。=210。，

0ZAPC=-x21O°=lO5°.

2

故选：A.

2.如图，A8是（。的直径，BC=CD=DE，ZCOE>=48°,则N80E的度数为.

【答案】1447144度

【分析】根据同弧所对的圆心角相等求出NOOE=NZ）OC=N80C=48。，进而求解即可.

LW）^BC=CD=DE>NCOD=48。，

0ZDOE=ADOC=4B0C=48°

0ZBOE=NDOE+NDOC+NBOC=48°x3=l44°.

故答案为：144。.

【点睛】此题考查了同弧所对的圆心角相等，解题的关键是熟练掌握以上知识点.

3.如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点4B,C,D,

连接则-84。的度数为.

【答案】52.5。

【分析】方法一例如图：连接由题意可得：OA=OB=OC=OD,

408=50。-25。=25。，然后再根据等腰三角形的性质求得=65。、ZOAD=25°,最后根据角的和

差即可解答.

方法二13连接。及。。，由题意可得：ZBAD=U)5°,然后根据圆周角定理即可求解.

【详解】方法T3解：如图：连接OAO民OCORA2A3,

由题意可得：OA=OB=OC=OD,Z4OB=50°-25O=25°,Z4OD=I55°-25O=130°,

0ZOAB=-(180°-^AOB)=77.5°,ZOAD=；(180。-ZAOB)=25°,

0NBAD=ZOAB-Z.OAD=52.5°.

故答案为52.5。.

方法二团解回连接OS。。，

由题意可得：Z^D=155°-50°=105°,

根据圆周角定理，知NBAD=gNBOD=^xl()5°=52.5°.

故答案为52.5。.

【点睛】本题主要考食了角的度量、圆周角定埋等知识点，掌握圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度

数的一半是解答本题的关键.

4.如图，已知的半径长为1,AB.AC是0。的两条弦，且AB=AC,8。的延长线交AC于点。，连

⑴求证：/XAOB^/XAOC.

⑵当曲=加＞时，求A3的度数.

⑶当OCO是直角三角形时，求6、。两点之间的距离.

【答案】（1）证明见解析

⑵108。

⑶万或加

【分析】（1）根据圆的性质可得OA=Q8=OC=1,根据SSS即可证明结论；

（2）根据全等三角形的性质和等边对等角可得NQ48=NQ4C=NO8A,得到的D=2NABQ,由E4=Q

可推出/的=/区4。=2/4区）,根据三角形的内角和定理可得乙$。=36。，404=108。，由“弧的度数

等于它所对圆心角的度数〃用得结论；

（3）分两种情况：①当N8C=90。时；②当NCOD=90。时进行讨论即可.

【详解】（1）解：13M的半径长为1,

^OA=OB=OC=\,

在AO8和AOC中，

AO=AO

AB=AC,

OB=OC

团AAO的△AOC(SSS)；

(2)解：由(1)知：OA=OB=OC,

团ZOAB=ZOAC=乙OBA,

0ZBAD=ZOAB+ZOAC=/OBA+/OBA=2ZABD,

^BA=BD,

^ZBDA=ZBAD=2ZABD,

13在△48D中，ZBDA+ZBAD+ZABD=180°,即5ZA5D=180。,

(3ZA8O=36。，

团Z408=180。一ZOAI3-NOBA=180°-36°-36°=108°,

国4B的度数l()8。；

(3)①如图，当NODC=90。时，

08D_LAC,OA=OC=\,AB=AC,

团AD=OC,Z<?ZM=90°,

^BA=BC=AC,

133ABe是等边三角形，

(3ZR4C=60°,

由(1)知：4AOB94AoC、

(3/OAC=NOAB=-ABAC=30°,

2

^OD=-OA=-x\=-,

222

②如图，当NCOD=9()。时,

0BD1OC,OB=OC=1,

(3AO8C是等腰直角三角形，

^BC=y]OB2+OC2=V12+12=V2；

综上所述，B、C两点之间的距离右或眩.

【点睛】本题考查圆的基本性质，垂径定理，全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，

等边三角形的判定和性质，含30。角的直角三角形，勾股定理，弧的度数等于它所对圆心角的度数等知识,

运用了分类讨论的思想.解题的关键是发现并证明三角形全等，掌握直角三角形的性质和理解“弧的度数等

于它所对圆心角的度数”.

典例弓1领

【题型5：圆周角】

【典例5】如图，已知Q4,P8分别与0O相切于AB点,C为优弧4cB上一点，ZAPB=40°,则/AC8

A.70°B.75°C.80°D.100°

【答案】A

【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理等知识点.连接04、OB,根据切线的性质可得

NO4P=NOBP=90。，再根据四边形的内角和求出N4OB,最后根据圆周角定理即可解答.

【详解】解：如图，连接OA,OB,

VM,用分别与。相切于A8两点,

.\OA±PAfOBA.PB,

：.ZOAP=^()BP=^,

.•.ZAOB=360°-90o-90o-40o=140°,

ZACH=-ZAOB=1x140°=70°.

22

故选：A.

VAM蝠a

1.如图，AH是G)o的直径，点C为OO外一点，CA.8是OO的切线，A、D为切点,连接从人AD.若

48=50°,则ND8A的大小是()

【答案】D

【分析】本题主要考杳了切线的性质，四边形内角和定理，圆周角定理，正确作出辅助线是解题的关键.连

接。。，利用切线的性质得到NOAC=NOZX?=90。，利用四边形内角和定理求出48的度数，即可利用

I员I周角定理求出答案.

【详解】解：如图所示，连接O。，

0ZCMC=ZODC=9O°,

X@ZACD=50°,

13ZAOD-360。-NOAC-2ODC-ZA8-130°,

回40=A。，

0ZDfiA=-ZAOD=65°,

2

故选：D.

2.如图，在RtZ\A3C中，ZACB=90°,4C=I(),BC=8,点D是BC上一点,8C=3CO,点P是线段AC

上一个动点，以PD为直径作。。，点”为po的中点，连接AM,则八Af的最小值为.

B

【答案】5&

【分析】本题考杳圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，垂线段最短的应用.

连接OM,CM,过点A作A7J_CM,交。W的延长线于,由点M为夕。的中点，根据垂径定理得乙38=90°,

从而NMCO=；NMOO=45。，进而ZACT=ZAC8-ZM8=45。，在RlAA7c中，由

AT=ACsinZACT=542根据垂线段最短可得4M2AT=5正，即可解答.

【详解】如图，连接。例，CM,过点4作AT_LCM,交CM的延长线于一

回点M为尸。的中点,

回NWO£>=90°,

aMD=MD

0ZA/CD=-ZMO£>=-x9O°=45°,

22

回4c8=90。，

团ZACT=ZACB-4MCD=90°-45°=45°,

0Z47T=90°,

团在RtAATC中，AT=AC•sinZACT=10-sin45°=5夜，

团AM?AT=5五，

团AM的最小值为5&.

故答案为：5&

3.如图，在。中，弦人58相交于点旦ZAEC=74o,NAB/)=36。，则N80C的度数为—

【答案】140

【分析】本题主要考查圆周角定理的应用，根据对顶角相等得/。£4=74。，由三角形内角和定理得

ZBDE=70°,再根据圆周角定理得NAOC=I40。.

【详解】解：0ZAEC=740,

®NBED=ZAEC=74。,

又NDEB+NEBD+ZD=180°,

0ZD=18O°-/BED-Z.DBE=18C<°-74°-36°=70°,

团々OC=24>=140°,

故答案为：140

4.【问题提出】

我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一

条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？

【初步思考

⑴如图1,A8是。。的弦，4OB=I(X)。，点<、鸟分别是优弧48和劣弧43上的点，则=

0,NAP/=。；

(2)如图2,是2。的弦，圆心角4。8二用。(〃7<180。)，点/>是。。上不与人、8重合的一点，求弦/W

所对的圆周角的度数为；(用加的代数式表示)

【问题解决】

(3)如图3,已知线段A8,点C在A8所在直线的上方，且NACA=135。，用尺规作图的方法作出满足条

件的点C所组成的图形(①直尺为无刻度直尺：②不写作法，保留作图痕迹)；

【实际应用】

（4）如图4,在边长为12的等边三角形ABC中，点E、。分别是边AC、BC上的动点，连接A。、BE,

交干点/＞，若始终保持AE=CD,当点£从点A运动到点C时，尸C的最小值是.

【答案】（1）50,130；（2）180。-（卷）。；（3）见解析；（4）

【分析】（1）根据圆周角定理即可求出448=50。，根据圆内接四边形即可求出NA6A=130。；

（2）分尸在优弧AB上和P在劣弧A8上两种情况分类讨论即可求解；

（3）作线段八8的垂直平分线，以人8为直径作圆，交垂直平分线于点。，以点。为圆心，以Q4为半径作

圆，则A3（实线部分且不包含A、8两个端点）就是所满足条件的点C所组成的图形；

（4）先证明，八。力白..秋£,得到N84P+NA8P=60。，ZAPB=I2O°,根据（3）问点P的运动轨迹是4B，

44。4=12伊，连接CO,证明。C—O8C,进而得到ZACO=N8CO=30°,ZAOC=ZBOC=60°

NO4C=NO8C=90。，根据勾股定理求出OP=O8=4GOC=85/5,根据PC4OC—OP,可得。。24石，

即可求出?C的最小值为4G.

【详解】解：（1）4R8=gNAO8=；xl000=50。，

AAP23=180°-ZXPB=180°-50°=130°.

故答案为:50,130；

（2）当/）在优弧A8上时，408=（9。；

当P在劣弧A8上时，44尸8=180。-（9。；

故答案为：《）°或

（3）如图AB（实线部分且不包含A、8两个端点）就是所满足条件的点。所组成的图形.

，工

TP

证明:13AB为（）］的直径,

0Z4OB=9O°,

在，。中，田点。在48上，

由（2）得NACB=180。-------=135。,

2

0A6(实线部分且不包含A、8两个端点)就是所满足条件的点C所组成的图形:

(4)解：如图，

团A8C为等边三角形，

^AB=BC=AC,NA4C=N4C3=60。，

^AE=CD,

ACD^BAE,

团NCW=NA3£,

0ZBAP+ZABP=NBAP+NCAD=ZBAC=60°,

0ZAPB=12O°,

团点P的运动轨迹是AB，

（3403=120°.

连接CO，

团OA=OB.CA=CB、OC=OC,

a.OAC^：OBC,

0ZACO=ZBCO=30°,ZAOC=/8OC=6G°,

0ZOAC=ZOBC=9O°,

在RtZ\O8C中，设O8=Mx>0）,则OC=2x,

根据勾股定理得（2x）2-/=]22,

解得x=46,

团OC=2x=86,OP=OB=46

自PCWOC-OP,

0PC>4V3,

团PC的最小值为4G.

故答案为：4G.

【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理,

三角形三边关系等知识，综合性强，难度较大，解题时要熟知相关知识，注意在解决每一步时都要应用上

一步结论进行解题.

1.下列说法中，正确的是（）

A.半圆是弧，孤也是半圆B.长度相等的弧是等弧

C.弦是直径D.在一个圆中，直径是最长的弦

【答案】D

【分析】本题考查圆的基本概念辨析.根据弧：圆上两点及其所夹的部分；弦：连接圆上两点形成的线段,

逐一进行判断即可.

【详解】解：A、半圆是孤，但弧不一定是半圆，故选项错误；

B、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故选项错误；

C、弦不一定是直径，故选项错误；

D、在一个圆中，直径是最长的弦，故选项正确；

故选D.

2.如图，0的直径CO过弦E/的中点G,NEOD=40。,则/7等于（）

D

A.80°B.50°C.40°D,20°

【答案】D

【分析】本题主要考查垂弦定理、圆心角与圆周角的关系,根据垂径定理可得出两弧相等，然后根据等弧

所对的圆周角等于圆心角的一半得出结论即可.

【详解】解：0OO的直径C。过弦E尸的中点G,

^ED=DF

^ZDCF=-ZEOD,

2

NEO。=40?,

aZ.DCF=-Z.EOD=1x40°=20?.

22

故选D.

3.如图，点A,B,。在0O上，AC=2"，ZABC=38°,连接。4交BC于点M,则NAA/C的度数是

A.108°B.109°C.110°D.112°

【答案】B

【分析】连接。B,OC由一知条件求得NAOB,由OC=O3,得NOCB=NOBC,继而求得

4MC=NQM4=109。，再根据三角形内角和性质，即可求得/AWC.

0Z4BC=38°,

0Z4OC=2ZABC=76°.

I3AC=2A8，

0ZAOB=-Z4OC=38°.

2

团OC=Q3,

0Z.OCB=2LOBC=^x(180°-76°-38°)=33。，

0NOMB=ISO°-ZAOB-NOBC=180°-38°-33。=109。，

0/4MC=NOM8=109。.

故选B.

【点睛】本题考查了圆心角定理，圆周角定理，三角形内角和定理，等边对等角，熟悉以上知识是解题的

关键.

4.如图，四边形A8C。是：。的内接四边形，麻:是：。的直径，连接80,若/BCD=2NBAD,AB=BD，

则/AB0的度数是（）

【答案】B

【分析】本题考杳了圆的内接四边形，圆中弧、弦、角的关系笔知识点.根据题意推出/84。=60°是解题

关键.

【详解】解：团四边形A8CD是0。的内接四边形，

^ZBAD+ZBCD=}8（）0

/BCD=2NBAD,

^ZBAD=（Ar

团AB=8。，

^AB=BD

□Z5DA=ZBAD=60°

0NABD=180。-NBDA-/BAD=60。

故选：B.

5.如图，四边形"CO为。的内接四边形，NBCM=100。，则NA的度数为（）

【答案】A

【分析】解：本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半,

即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键.

【详解】解：^BD=BD^

[?]ZA=-ZBOD=-xl00o=50o,

22

故选：A.

6.关于“圆的定义〃，在我国古代就有记载，战国时期数学家墨子撰写的《墨经》一书中，就有“圆，一中同

长也〃的记载，这句话里的“中〃字的意思可以理解为.

【答案】中心（圆心）

【分析】此题考杳了圆的认识，根据半径的含义：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径；在同圆或等

圆中，所有的半径都相等；由此判断即可.

【详解】解：战国时期的《整经》一书中记载：“圆，一中同长也表示圆心到圆上各点的距离都相等，即

半径都相等；

故答案为：中心（圆心）

7.如图，在QO中，OC_LA8于点C,若0C=3,A8=8,则C>O的半径长为.

【分析1本题考查了勾股定理与垂径定理，解题的关键是熟练的掌握勾股定理与垂径定理.连接0A,先

根据垂径定理求出AC的长，再在RtAOC中利用勾股定理求出的长即可.

团AC=8C=4,

在RtAOC中：

回04=5/32+42=5・

国。的半径长为5.

故答案为：5

8.如图，AB是匚。的弦，ZA=50°,则NAO8=

【答案】8()。

【分析】根据同圆中半径相等，可得。4=0"，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得结果.

【详解】解：团OA=OB,

团N4=NB,又N4=50°,

0Z4OZ?=18Oo-2Z4=18O°-2x5Oo=8O°,

故答案为:80°.

【点睛】本题考查了等腰三角形性质，三角形内角和定理，根据等边对等角得出NA=NB是解题的关键.

9.如图，点A、B、C在0O上，NB4C=54。，则N80C的度数为.

【答案】108。/108度

【分析】本题考查的知识点是圆周角定理.根据“问圆44可弧所对的圆周角等于圆心角的一半”解答即可.

【详解】解：团点A、B、。在。上，ZBAC=54°,

团NfiOC=2NA=108°.

故答案为：108。.

10.如图，在(O中，已知A8=C。，ZAOB=45°,则NQOC=.

【答案】45°

【分析】根据在同圆中，同弧所对的圆心角是相等的可得出结果.

【详解】解：JUAB=CD,

回AB=C。，

0Z4OB=ZZX）C=45°（同弧所对的圆心角相等），

故答案为:45°.

【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，在同一个圆中同弧所对的圆心角相等是解题的关键.

11.如图，在（3。中，弦力3与。C相交于点R30=AC.求证：AB=CD.

【答案】见解析

【分析】根据弧，弦，圆心角关系的推论即可得出答案.

【详解】证明：0BZ）=AC,

^BD=CA-

^BD+AD=CA+AD

团AB=C£>・

0AB=CD

【点睛】本题主要考查弧，弦，圆心角关系的推论，掌握弧，弦，圆心角关系的推论是解题的关键.

12.求阴影部分的周长.（单位：cm）（若涉及九时不取近似值，用兀表示既可）

【答案】阴影部分的周长是12汗厘米

【分析】由图可知，阴影部分的周长等于最大半圆周长与两个小半圆周长之和.

【详解】解：由题意得：大半圆半径为一4+厂8=6,两个小圆半径分别为54=2,|8=4,

2^