专题09 二次函数的应用二（抛物线与几何图形问题）（测）练中考数学复习（解析版）

备战2021年中考数学二轮复习讲练测专题通

专题09二次函数的应用二（抛物线与几何图形问题）（测案）

、朗居建部）一一他山之石

1.（2020•浙江嘉兴市•九年级期末）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A、B两点，C（m,

・3）是图象上的一点，且AC_LBC,则a的值为（）

23

【答案】D

【分析】

在直角.三角形4?。中，利用勾股定理g|J-/H（xi+x2）+18+.r1X2=0；然后根据根与

系数的关系即可求得。的值.

【详解】

过点C作CO_L/18于点。.

•ZCJ_8C,

2

设ax+bx+c=0的两根分别为Xi与X2（AI<X2）»

.\A（x\,0）,B（X2>0）.

依题意有（XI-/〃）2+9+（X2-〃?）2+9=（丫1-X2）2,

化简得：ffl2-〃7（Xl+X2）+9+XlX2=O,

、bc

m24—6+9H—=0,

aa

am2+bn+c=-9a.

•・•（〃，・3）是图象上的一点，

:.am2+bm+c=-3»

本题是二次函数的综合试题，考查了二次函数的性质和图象，解答本题的关键是注意数形结合思想.

2.（2020・湖北黄冈市•九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线），=/一41+6上运动，过

点4作AC_Lx轴于点C,以AC为对角线作矩形ABCO,连结4力，则对角线3。的最小值为（）

A.1B.2C.V2D.y/3

【答案】B

【分析】

根据矩形的性质可知AC，要求BD的最小值就是求AC的最小值，而AC的长度对应的是A点的纵

坐标，然后利用二次函数的性质找到A点纵坐标的最小值即可.

【详解】

•・•四边形ABCD是矩形

：,BD=AC

•.・y=x2-4x4-6=(x-2)2+2

工顶点坐标为（2,2）

,：点、A在抛物线y=f-41+6上运动

・••点A纵坐标的最小值为2

・・・AC的最小值是2

•••BD的最小值也是2

故选:B.

【点睛】

本题主要考查矩形的性质及二次函数的最值，掌握矩形的性质和二次函数的图象和性质是解题的关键.

3.(2020•山西吕梁市•九年级期末)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A(3,0),顶点B在y

轴正半轴上,顶点D在x轴负半轴上,若抛物线y=-x2-5x+c经过点B、C,则菱形ABCD的面积为()

【答案】B

【分析】

根据抛物线的解析式结合抛物线过点B、C,即可得出点C的横坐标，由菱形的性质可得出AD=AB=BC=5,

再根据勾股定理可求出OB的长度，套用平行四边形的面积公式即可得出菱形ABCD的面积.

【详解】

解：抛物线的*j称轴为产-2二-』，

2a2

•••抛物线y=22-5x+c经过点B、C,且点B在y轴上，BC〃x轴，

二点C的横坐标为-5.

•・•四边形ABCD为菱形，

・・・AB=BC=AD=5,

・••点D的坐标为(-2,0),OA=3.

在R3ABC中,AB=5,OA=3,

=4»

AS菱形ABCD=AD・OB=5X4=20.

故选:B.

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、菱形的性质以及平行四边形的面积，根据二

次函数的性质、菱形的性质结合勾股定理求出AD=5、0B=4是解题的关键.

4.（2020•江苏镇江市•九年级期末）如图，抛物线丁:二一一力与x轴交于从、〃两点，点夕在一次函数

4

），=一1+6的图像上，。是线段左的中点，连结OQ,则线段。。的最小值是（）

A.—B.IC.V2D.2

2

【答案】A

【分析】

先求得A、B两点的坐标，设尸（皿6-6），根据之间的距离公式列出尸5?关于山的函数关系式，求得其

最小值，即可求得答案.

【详解】

令y=0,则一f-4=0,

4

解得：x=±4.

・・・A、B两点的坐标分别为：4（4,0）.8（-4,0）,

设点P的坐标为（/〃,6—加），

・•・PB2=（/n-4）2+（6-/n）2=2m2-20m+52=2（m一5尸+2,

V2>0,

・♦・当加=5时，QB?有最小值为：2，即依有最小值为：及，

YA、B为抛物线的对称点，对称轴为y轴，

・・・0为线段AB中点，且Q为AP中点，

172

・•・OQ=-PB=^—.

故选：A.

【点睛】

本题考杳了二次函数与一次函数的综合问题，涉及到的知识有：两点之间的距离公式，三角形中位线的性

质，二次函数的最值问题，利用两点之间的距离公式求得QB?的最小值是解题的关键.

5.(2020•江苏苏州市•九年级期末)如图，已知二次函数)，=侬2-4"a+3〃7((〃2>0)的图像与工轴交于4、

B两点,与)'轴交于点C,连接AC、BC,若C4平分NOCB,则〃?的值为()

A.6B.y[2C.—D.如

23

【答案】D

【分析】

先求出A(l,0),B(3,0),C(0,3m),后证ACOBS/XADB,列比例式求解即可.

【详解】

解：•・•二次函数y=〃氏2—4根1+3〃?((〃2>。)的图像与工轴交于4、B两点,与)'轴交于点C,

当y=0时,即0=mx2-4/nv+3m,解得,xi1,X2=3,

AA(l,0),B(3,0),

当x=0时,y=3m,

C(0,3m),

过点A作AD_LBD于点D,如图,

AAD=OA=I,

又；AB=2,

・・・BD=G

VZCOB=ZADB,ZB=ZB,

AACOB^AADB,

，三二”即网「，

ADDB1V3

・m-C

••m------,

3

故选D.

【点睛】

此题主要考查了二次函数与坐标轴交点和相似三角形的判定与性质.正确的添加辅助线和证△COBsaADB

是解决问题的关键.

6.（2020•江苏镇江市•九年级期末）如图，已知二次函数），=/+〃吠+〃顶点。的纵坐标为一3,平行于X

轴的直线/交此抛物线A,B两点,且A8=6,则点。到直线/的距离为

【答案】9

【分析】

设出顶点式)，=(不一/?)2—3,根据A3=6,设出B(h+3,a),将B点坐标代入，即可求出a值，即可求出

直线I与x轴之间的距离，进一步求出答案.

【详解】

由题意知函数的顶点纵坐标为-3,可设函数顶点式为y=(x-h?-3,

因为平行于x轴的直线/交此抛物线A,“两点，且43=6,所以可设B(h+3,a).

将B(h+3,a)代入y=(x-〃)2—3,得〃=(/?+3—力『一3二6

所以点B到x轴的距离是6,即直线I与x轴的距离是6,

又因为D到x轴的距离是3

所以点。到直线/的距离：3+6=9

故答案为9.

【点睛】

本题考查了顶点式的应用，能根据题意设出顶点式是解答此题的关键.

7.(2020•河南信阳市•九年级期末)如图，已知。P的半径为4,圆心P在抛物线y=x2・2x-3上运动，当

0P与x轴相切时，则圆心P的坐标为.

【答案】(1+20,4),(1-20,4),3,-4)

【分析】

根据已知OP的半径为4和。P与x轴相切得出P点的纵坐标，进而得出其横坐标，即可得出答案.

【详解】

解：当半径为4的。P与x轴相切时，

此时P点纵坐标为4或-4,

・••当y=4时,4=x2-2x-3,

解得：xi=l+2y/2>X2=I-2^2»

・•・此时P点坐标为：(1+2JJ,4),(1-2y/2,4),

当y=-4时，-4=x2-2x-3,

解得：X1=X2=1»

••・此时P点坐标为：（1，-4）.

综上所述：P点坐标为：（1+20,4）,（1-20,4）,（1,-4）.

故答案为：（1+2血，4）,（1-272，4）,（1,・4）.

【点睛】

此题是二次函数综合和切线的性质的综合题，解答时通过数形结合以得到P点纵坐标是解题关键。

8.（2020•浙江台州市•九年级期末）定义：在平面直角坐标系中，我们将函数），=r+2的图象绕原点。逆

时针旋转60。后得到的新曲线L称为“逆旋抛物线”.

（1）如图①，己知点4一1,〃），3s,6）在函数），=/+2的图象上，抛物线的顶点为C,若L上三点4、

3'、C'是A、B、。旋转后的对应点，连结A'8',AC'、BC,则又博^二；

<2）如图②，逆旋抛物线L与直线y二|相交于点M、N,则&WN=.

【答案】3；

2

【分析】

（1）求出点A、B的坐标，再根据割补法求^ABC的面枳即可得到5M出工.；

（2）将旋转后的MN和抛物线旋转到之前的状态，求出直线解析式及交点坐标，利用割补法求面积即可.

【详解】

解：（1）在），二犬+2上，令x=0,解得y=2,

所以C（0,2）,OC=2,

将A（-1,。）,3（6,6）代入3，=12+2,

解得a=3,b=2,

.・.A(-l,3),8(2,6),

设A(-1,3),以2,6)的直线解析式为丁="+力,

r3=-k+b

则〈,

I6=2k+b

直线AB解析式为y=x+4,令x=0

解得，y=4,即0D=4,

ACD=4-2=2,SM,8C=；CD・12-(-I)]=lx2x3=3

,,^AA'B'C=3

3

(2)如图，由旋转知，OE=OE，=/OGF=NEOE'=60°，ZOFG=30°

2

：・OE」FG,OF=3,0(3=43

r—y=­J.3x+33)

直线尸G:y=—G+3,令2-，得/+氐r一1=0

y=x-1-2

.->/3±J(V3)2-4x1x(-1)-限将

••1二--------------------------=

2x12

|=近

•••S、OMN=g0/•近=乎

1--------O•

Ml冬图第②各89

【点睛】

此题考查了二次函数与几何问题相结合的问题，将三角形的面积转化为解题关键.

9.（2020•重庆巴南区•九年级期末）如图，抛物线），=—Y+〃x+c与大轴交于点A（1,O）和点8（-3,0）,与

，'轴交于点C.

（1）求b,。的值；

（2）如图1,点P为直线8C上方抛物线上的一个动点，设点尸的横坐标加.当机为何值时，（JPBC的

面积最大？并求出这个面积的最大值.

（3）如图2,将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y=q/+4]+q（q。0）,平移后的

抛物线与原抛物线相交于点。，点M为直线8C上的一点，点N是平面坐标系内一点，是否存在点M,

N,使以点3,D,M,N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请

说明理由.

图1图2

【答案】（1）。=-2,c=3；（2）SAMC最大为三;（3）存在，石），M人一小一3,-后）,

8

33

22

【分析】

（1）利用待定系数法即可求得。的值；

（2）过P作PM〃y轴，交BC于M,利用割补法即可表示□尸BC的面积，再根据二次函数的最值即可求得

最大值；

（3）分①当BD为边时和②当I3D为对角线时，两种情况讨论即可.

【详解】

解：(1)将A(1,O),5(-3,0)代入>=一/+云+。得

f0=-l+Z?+c

lo=-9-3"c'解得[lhc==-23'

即方=-2,c=3；

(2)设P的坐标为(/n,-w?_2m+3)，

在抛物线,，=一/一2x+3,

令x=0,可得y=3,故C(0,3),

设BC为)，=Ax+f,

将B(-3,0),C(0,3)代入

0=—3k+1k=\

c，解得｛

3=tt=3

，直线BC的解析式为：y=x+3,

过P作PM〃y轴，交BC于M,

则M(m,m+3),

故PM=-m2-2w4-3-(zn+3)=-rrr-3ni,

ii33327

SMBC=S»MB+S,MC=彳尸M(4+刈)=彳PM•3=彳｛-nr-3〃?)=-^(/7?+-)2+—,

LLLLL

327

当加=一7时，S&P8c最大为？；

28

(3)向左平移2个单位后，y=-U+2)2-2(x+2)+3=-X2-6X-5,

y=-x2-2x+3

联立《,解得《

y=-x2-6x-5y=3

・•・D(-2,3),

•・•8(-3,0),

:・BD=，(-2+3(+(3-0)2二师

①当BD为边时，BD=BM,

设必(小〃+3),则BM=J(〃+3>+5+3>=⑸〃+31，

即应|〃+3|=而，解得力=宕一3,%=一后一3,

・••/％（石-3,5M2（-75-3,-75）；

②当BD为对角线时，DM=BM、

DM=飞—』：

：・J（〃十3）2十（〃+3）2=J（3_/L3）2十〃2，

3

解得力=——，

33

二%（一/，］）•

综上所述，存在，（6一3,石），M2（-6一二一石），加3（-T，|）・

【点睛】

本题考查二次函数综合.（1）中掌握待定系数法是解题关键；（2）掌握割补法求面积是解题关键；（3）需

注意分情况讨论和两点之间距离公式.

17

10.（2020•江苏省锡山高级中学实验学校九年级期末）如图，已知抛物线）-/工一〃（〃>0）与x轴

交于4,B两点（4点在B点的左边），与J，轴交于点C.

（1）如图1,若A/5C为直角三角形,

①求n的值;

②P是抛物线上的一点，。是抛物线的对称轴上的一点，若以点8、C、P、。为顶点的四边形是平行四边

形，请直接写出符合条件的点尸的坐标;

（2）如图2,过点B作BC的垂线80分别交抛物线和J轴于点E,KBE=EDt求〃的值.

【答案】（1）①〃=4,②尸点的坐标为（1Lq-和15,q39■卜M—5,2152

；(2)n=—

4-49

【分析】

（1）先证明口40。5口。。8,得到CM、OB、0C之间的关系，再设出力和8两点的坐标，利用根与系

数的关系得出关于〃的方程，求解即可；

（2）设出P和0两点的坐标，再分情况讨论哪两条线段为平行四边形的对角线，根据平行四边形对角线互

相平分，利用中点坐标公式建立方程求解即可；

（3）先设出8点坐标，再通过相似建立比例线段，求出七点坐标，然后通过做辅助线构造相似三角形，

得到D点的坐标，将8和。两点坐标同时代入抛物线解析式中求解即可.

【详解】

解：（1）①由题可知：C（（）,-〃）

•••OC2=n2

•沦ABC为直角三角形，

:.AC8=90°

/.ZACO+Z8a>90。

又因为//CO+NC=90。，

：.ZOAC=ZOCB,

由NAOC=ZCOB,

AOC4CQ8,

•^O_OC_AC

''~CO~~OB~~CB

：・Q0B=0O，

设4石,0）,8（孙0）

X1•x2=-4n=-AOOB

即4〃=n2，

解得〃=0（舍），n=4,

:.71=4.

I3

2

②由（1）知，-X--X-4=0H,xl=8,X2=-2,

・"（8,0）C（0,-4）

又.J抛物线对称釉为直线A-3

i3

:.设点P坐标为一"I'，一4）,Q点坐标为（3,〃。

由平行四边形的性质可知：

当5。、C尸为平行四边形对角线时，8。与。尸的中点重合，

・・・；（8+3）=gz

Z=11.

39

代入P点坐标公式可得：P（II,—）

4

（39

当BP、C0为平行四边形的对角线时，同理可得P点坐标为-5,亍

I4

（21

当5C、P。为平行四边形的对角线时，同理可得。点坐标为5--

\4

39（39、（21、

综上所述P点的坐标为（11,］）和和［5,-wJ.

（2）解设8点坐标为（m0）,

■:BC1BD,

・•・ZCBE=90°

・•・/CBO+/OBE=90。,

又♦：NCBO+NBCO=900,

・•・/OBE=/BCO,

因为N8OE=NCO8,

:.RSCBE中,〉BEOs△CBO

•_B_E__O__E__B_O_

.⑦BOBOa2

COn

（2\

所以E0,—

I〃）

过。作。〃_Lx轴于〃点，

：.DH//OE,

.BE_OE_BO

•茄一丽—丽

,/BE=ED，

）2

•**DH-2OE=—、OH=OB=a

2/）

I〃J

将B点（m0）,及（一。，里】代入抛物线解析式，解得〃=0（舍）或〃="

In）9

综上所述〃=彳52.

【点睛】

本题为二次函数与相似综合题，涉及到了相似三角形的判定与证明、平行四边形的性质的应用、图像上点

的坐标与二次函数解析式的关系、待定系数法、平行线分线段成比例等内容，要求学生理解并熟记相关概

念，能运用相关公式进行求解，对学生的综合分析、推理和计算的能力都有较高要求，题中蕴含了数形结

合和分类讨论等思想方法.

二、横老典涮——拾级而上

1.（2021•河北九年级一模）如图，抛物线y=a（x-1）2+k（a>0）经过点（・1,0）,顶点为M,过点P

（0,a+4）作x轴的平行线1,1与抛物线及其对称轴分别交于点A,B,H,以下结论：①当x=3.1时，y

>0;②存在点P,使AP=PH；③（BP-AP）是定值；④设点M关于x轴的对称点为当a=2时,

点在1下方，其中正确的是（）

A.①③B.®@C.®@D.（D@

【答案】A

【分析】

根据二次函数的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（3,0）,且抛物线开口向上，可对①作判

断；根据图形中与x轴交点坐标（-1,0）和对称轴与x轴交点（1,0）可对②作判断；根据对称性得：AH=BH,

根据线段的和与差可对③作判断；根据M，的坐标和1到x轴的距离可对④作判断.

【详解】

①由题意得：a>0,开口向上，

•・•抛物线对称轴是x=1,且经过点（・1,0）,

・••抛物线过x轴另一个点为（3,。），

,当x=3.1时，y>0；

故①正确；

②当P在O点时，AP=PH,

Va>0,

，P不可能与0重合，

故②不正确：

@BP-AP=(BH+PH)-AP=AH+PH-AP=2PH=2,

故③正确：

④把(・1,0)代入y=a(x-1)2+k中，k=-4a,

当a=2H寸，a+4=6,-(-4a)=8,点M在1的上方，

故④不正确；

所以正确的有：①③，

故选A.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质、与x轴的交点、关于x轴对称的点的特点，利用数形结合的思想解决问题是

关键，并熟练掌握二次函数的性质.

2.(2020•浙江高照实验学校九年级月考)抛物线y=ax?+bx+c交x轴于A(-1,0),B(3,0),交y轴的

负半轴于C,顶点为D.下列结论：①2a+b=0；②2cV3b；③当m#l时，a+b<am2+bm；④当AABD是

等腰直角三角形时，则a=；；⑤当AABC是等腰三角形时，a的值有3个.其中正确的有()个.

【答案】C

【分析】

根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0),可知二次函数的对称轴

为x=(7)+3=l,即-2=1,可得2a与b的关系；将A、B两点代入可得c、b的关系；函数开口向下，

x=l时取得最小值，则m*,可判断③；根据图象AD=BD,顶点坐标，判断④；由图象知BC#AC,从而

可以判断⑤.

【详解】

解：①•・•二次函数与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0).

二次函数的对称轴为x=-,3=],即-?=1,

22a

2a+b=().

故①正确；

②：二次函数y=ax?+bx+c与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0).

:.a-b+c=0,9a+3b+c=0.

又■:b=-2a.

/.3b=-6a,a-(-2a)+c=0.

/.3b=-6a,2c=-6a.

・・・2c-3b.

故②错误；

③•・•抛物线开口向上，对称轴是x=l.

••・x=l时，二次函数有最小值.

1时，a+b+c<am2+bm+c.

即a+b<am2+bm.

故③正确：

④・「AD=BD,AB=4,z\ABD是等腰直角三角形.

.\AD2+BD2=42.

解得,ADM.

设点D坐标为(I,y).

则卜(-1)]2+y2=AD2.

解得y=±2.

•••点D在x轴下方.

・••点D为(1,-2).

;二次函数的顶点D为(1,-2),过点A(-1,0).

设二次函数解析式为y=a(x-1)2-2.

Z.0=a(-1-1)2-2.

解得a」.

2

故④正确；

⑤由图象可得，AC^BC.

故AABC是等腰三角形时，a的值有2个.

故⑤错误.

故①©④正确，②⑤错误.

故选C.

【点睛】

主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代

数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.

3.(2020•内蒙古包头市•九年级二模)如图所示，抛物线(〃和)与内轴交于点力(,2,0)、B

(1,0),直线与此抛物线交于点G与x轴交于点M,在直线上取点O,使MO=MC,连接，C,

2

BGADfBD,某同学根据图象写出下列结论：①a-b=0；②当xV时，『随x增大而增大；③四边形

力CBO是菱形；④9a・3b+c>0.你认为其中正确的是

A.②③④B.①®@C.①®④D.①②③④

【答案】B

【解析】

(1)•・•抛物线y=M+6x+c(存0)与x轴交于点A(-2,0)、B(1,0),

,4〃一2/?+。=0①，a+b+c=O②,

・••由①-②可得：3a—3b=0,即：a-b=O；故第一个结论正确：

(2)•・•点A、B的坐标分别为(-2,0)、(I,0),点M的坐标为(-0.5,0),

・••点M是线段AB的中点，

工直线X=-:是抛物线的对称轴，

2

又*•抛物线开口向下，

・••当xV-；时，y随x增大而增大，故第二个结论是正确的；

2

(3)•••点M既是AB中点，又是CD中点，且CDJLAB,

•••CD与AB互相垂直平分，

・•・四边形ACBD是菱形.故第三个结论是正确的；

(4)•,•抛物线的开口向下，点A的坐标是(-2,0),

・•・结合图象可知：当x=—3,)，=9a—3b+c＜。，故第四个结论是错误的；

综上所述，正确的结论是①②③.

故选B.

4.(2021•吉林延边朝鲜族自治州,九年级二模)如图，在平面直角坐标系中,抛物线)，二(工2一］一|与*

轴正半轴交于点4过点/的直线(A网)与该抛物线的另一个交点4的横坐标为2,尸是该抛物

线上的任意一点，其横坐标为帆+1,过点尸作x轴的垂线，交直线48于点G在该垂线的点尸上方取一

点D,使尸0=1,以CO为边作矩形C&E凡设点£的横坐标为2/〃.

(1)求直线对应的函数关系式；

(2)当点户与点力重合时，求点£的坐标；

(3)当点E在该抛物线上时，求抛物线的顶点到E尸的距离；

(4)当矩形CDEF的边CD与该抛物线相交，且该抛物线在矩形COE产内的部分所对应函数值J，随x的增

大而增大时，直接写出，〃的取值范围.

【答案】(I)y=-x--,(2)(4,1)；(3)-1+2二或1+2X/7:(4)或1＜机工史2或加之2

■223343

(也可以写成：当生互或加工1或机22)

43

【分析】

(1)求出48两点坐标，利用待定系数法求解即可：

(2)构建方程求解即可;

(3)由题意，得点£的坐标为(2加,工〃，-1),代入抛物线的解析式，构建方程求解即可;

2

(4)求出三种特殊情形〃?的值，利用图象法判断即可.

【详解】

173

(1)当R=2时，y=-x22-2--=--.

■222

3

・••点B的坐标为(2,--),

2

।3

当F=0时，一/一工一一=().

22

解得石=-1»々=3.

•・•抛物线、=：/一%-,与不轴正半轴交于点4,

・•・点力的坐标为(3,0).

2k+b=—

由题意，得J2,，

3k+b=0.

[.3

k=一,

2

解得，

b=--.

2

39

・•・直线48对应的函数关系式为/=耳工一].

(2)当点户与点力重合时，〃什1=3,解得m=2.

:.27M=4,

•・•点。的纵坐标为1,

・•・点E的坐标为(4,1)

(3)将)，=I5/一工一3耳配方，得y=51*-i)2—2.

・•・抛物线的坐标为(1,-2)

由题意,得点£的坐标为(2w,-m2-l)

C

,:点E在该抛物线上，

/.—W2-1=—（2/7?2）-2/77--.

222

解得g=笥自，叫=三互，

当26＜1时，即m＜顶点（1,-2）在E尸的右边,

2

2-币1

m=------<—，

32

・•・抛物线的顶点到E/的距离为

「2—）-1+2近

3

当2加＞1时，即〃2＞,，顶点（1,_2）在小的左妨.

2

2+771

m=------>—-9

3：2

•••抛物线的顶点到后产的距离为

2〃一=当处一二任

33

综上所述，抛物线的顶点到EF的距离为T+2近或出且.

33

33.3

（4）当点T7（2加,二〃?一3）在抛物线上时，-m-3=2m2-2tn~—,

222

解得〃?二1或1,

4

当E在抛物线时，〃?二生巨，

3

当点P与4重合时，/"=2,

观察图I,图2,图3可知，当或1＜机工生笈或加之2时.，矩形CDEb的一组邻边与该抛物线相

43

交.

也可以写成：当?《根〈生彳或〃2/1或优22时.，矩形"的一组邻边与该抛物线相交.

43

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法等知识，理解题意，学会利用参数构建方程解

决问题，学会利用特殊点解决问题是解题的关键.

I4

5.（2021•上海徐汇区•九年级二模）如图，已知抛物线〃与『轴交于点C,直线p=-§x+4与.

轴和X轴分别交于点力和点/过点C作CO垂足为点0,设点E在x轴上，以CD为对角线作aCEDE

（1）当点C在N/16O的平分线上时，求上述抛物线的表达式；

（2）在（1）的条件下，如果。CE0尸的顶点厂正好落在尸轴上，求点尸的坐标；

（3）如果点E是80的中点，且。尸是菱形，求，的值.

【分析】

3

（1）在RS/。。中，设OC=x,由勾股定理得：（4-x）2=/+4,解得、=一，即可求解；

2

612

（2）求出点。的坐标为（1，y）,如果。CEQ尸的顶点厂正好落在y轴上，则。七〃y轴，且DE=CF,

进而求解;

（3）求出点D的坐标为（--------,--------）,由DE=CE,即可求解.

2525

【详解】

44

解：（1）对于y=-1.丫+4①，令歹=-yx+4=0,解得x=3,令x=0,则y=4,

故点力、8的坐标分别为（0,4）、（3,0）,

由点44的坐标知，04=4,08=3,则44=5,

连接6C,如下图，

•・•点C在N48O的平分线上，则0C=CQ,

vt

，

•;BC=BC,

(HL),

故50=08=3,则力。=5-3=2,

设OC=CD=x,贝lJ/C=4-x,

3

在RtMQC中，由勾股定理得：（4-X）2=/+4,解得工=一

2

故点。的坐标为（0,-）,

2

则抛物线的表达式为y=g■/+g；

（2）如上图，过点。作C〃〃x釉交4?于点〃，则N/14O=N.4〃C,

43

由,48得表达式知，lan//8O=-=tanNO〃C,则tanNQC〃=」，

34

33

故直线CD的表达式为y=—x+—②，

42

6

x=76I?

联立①②并解得《；2,故点。的坐标为（不，不），

如果口CEZ小的顶点尸正好落在y轴上，贝ijQE〃y轴，RDE=CF,

,12

故DE=yo=—,

则/=iE=一12十二3二3二9

5210

39

故点F的坐标为(0,—)；

3

（3）•・•点E是60的中点，故点E（—，0）,

2

3

由（2）知，直线CQ的表达式为y=-x+〃?③,

4

48—12m36+16m

联立①③并解得，点D的坐标为（--------，

2525

3

而点E、。的坐标分别为（—，（））、（（），〃?）,

2

•••uCE。/7是菱形，则OE=C,

即三一”冲3

(—)2+〃落

2

即9m2-36m=0»

解得加=4（舍去）或0,

故m=0.

【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、解直角三角形等.

6.（2021•浙江湖州市,九年级一模）二次函数，=a/+/K+c（〃H0）的图象与x轴交于A（—1,0）,8（3,0）两

点，与j，轴交于点。（0,-2）,直线/:X=〃2（〃?>3）与x轴交于点n

（1）求二次函数的解析式：

（2）在直线/上找点尸（点尸在第一象限），使得以点P,D,8为顶点的三角形与以点力，C,O为顶点

的三角形相似，求点P的坐标（用含〃，的代数式表示）:

（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在第一象限内的点。，使得V8PQ是以尸为直角顶点的等腰

直角三角形？若存在，求出点。的坐标：若不存在，请说明理由.

?4(m-3](13

【答案】(I)y=-x2一一x-2；(2)in,"或(加,2加-6)；(3)存在；Q

'33I2J122

【分析】

(1)运用待定系数法求解即可；

(2)设点Q坐标为(〃?，〃)，由于NAOC=NPDB=90。则以P,D,8为顶点的三角形与以力、C、O为

顶点的三角形相似时，分两种情况：AOCAIAQ32和△。。口△。心.根据相似三角形的性质可得点P

的坐标；

(3)运用/US证明得QM=PD,PM=BD,再分P为卜,和户为

(w,2〃?—6)列出方程求解即可.

【详解】

⑴将A(-1,0),8(3,0),。(0,-2)代入丁=加+法+«“*0),得:

a-b+c=0

,9。+3〃+c=0,

c=-2

24

解得，a=—,b=—,。=一2,

33

・•・抛物线的解析式为：y=-x2--x-2；

33

(2)设尸(w,〃)，

♦：/AOC=/PDB=90。.

・•・当以P,D,8为顶点的三角形与以4、C、。为顶点的三角形相似时，分两种情况:

①若AOC4HAD3。时，则空=空

DPDB

12

••一，

nm-3

"7—3

••fl-9

2

(tn-3

/.Pn"2,------

2

②若△OCAnADPB时，则空二空,

DBDP

*12

••—,

m-3n

/.n=2/77—6,

，点P的坐标为：Q〃,2机一6)或(〃7,6-2利)(舍去),

•・•点尸在笫一象限，

・••点P的坐标为卜2,竺不，)或(〃!,2〃?-6)

(3)如图，过点Q作QMJ■/于点M,

•••V3PQ为等腰直角三角形，ZBPQ=90°,PQ=BP,

乂v/QMP=ABDP=90°,

ABDP/APMQ,

:.QM=PD,PM=BD，

①当P为|加,'L时，

27

m-3

QM=PD

2

339

时等,I

代入），=%2_3_2,

33

解得：町=4,〃4=3（舍去）

②当P为（〃?，2m-6）时，

QM=PD=2m-6,DM=PM+PD=3m—9，

：.2（6-777,3/n-9）,

代入y=—x2-—x-2,

33

23

解得：m\=—»，电=3（舍去）

••年甥〉

此时的点。不在第一象限内，故舍去，

（73、

综上，可得。

【点睛】

此题是二次函数综合题，涉及到二次函数解析式的确定，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与

性质等知识，在解题时一定注意分类讨论思想，以免漏解.

48

7.（2020•山东潍坊市•九年级一模）如图，在直角坐标系中，抛物线），=丁一+工^一4与x轴交于点八、

■279

B,与）,轴交于点C,点。的坐标为（-3,0）.口。的半径为2,E是口C上的一动点，点f是AE的中

点，则。尸最小值为

【分析】

通过计算知D为线段AB的中点，易知DF为三角形ABE的中位线，DF=gBE,当线段BE长最小时。，DE

2

长最小，结合图形可知BE的最小值为BC的距离与口C的半径差，进而得解.

【详解】

AQAQ

解：由丁=—/+一彳一4可知，当y=0时，由一V+一工-4=0解得玉=-9,々=3,故点A(-9,0),

279'279

点B(3,0),当x=0时，y=-4,故点C((),-4),而点D的坐标为13,0),故点D为线段AB的中点，而点F

为线段AE的中点，故线段DF为A4BE的中位线.故有DF=：BE,当线段BE最小时，DF最小，如解图

所示，但点E是线段BC与圆C的交点时，BE最小，而OB=3,004,故3c=律寿=5，BE=BC-2=3,

士一13

所以DF=—BE=—.

22

故答案为：g

2

【点睛】

本题主要考查了二次函数的图像与坐标轴的交点，三角形的中位线，与圆有关的最值问题，确定DF是三角

形的中位线以及线段BE的最小值是解题的关键.

8.(2020•广西贵港市♦九年级零模)如图，已知抛物线X=-2/+2,直线为=2x+2,当1任取一值时,

工对应的函数值分别为如>2,若)'产必，取力，%中的较小值记为M；若记M=y=)'2,

例如：当x=l时，y=0，%=4,y<)，2,此时M=O,下列判断：

①当x<0时，y,>y2；

②当时，尤值越大，M值越小；

③使得M大于2的工值不存在；

16

④使得M=1的x值是一不或注.

22

其中正确的是.

【答案】③④

【分析】

根据二次函数和一次函数的图像与性质即可得出答案.

【详解】

由题可得，函数图像如图所示

y-K=—2X+2—2x—2=—2］（工+1）

.•.当jvx〈o时，y[>y2i当x=-i时，/二外；当xv・i时,)%<必，故①错误;

由①可知，当x<o时，抛物线与直线的交点坐标为(-1,0)

结合图示，可知，当-1<XV()时，M