专题47 线段中的四种思想方法的运用（举一反三）（人教版）（解析版）

专题4.7线段中的四种思想方法的运用

【人教版】

【类型一整体思想】

【例1】如图，点C为线段A8上任意一点，点£、〃分别为4C、的中点，若A4=l（）,求线段石产的长

度.

•••••

AECFB

【解题思路】根据线段的中点得出AE=CE=/C,CF=FB=求出研=/从代入求出即可；

【解答过程】解：•・•点区尸分别是线段AC、8c的中点，

：.AE=CE=^AC,CF=FB=；CB,

；A8=10,

EF=CE+CF=-AC+-CB=-（AC+CB）=-AB=5,

2222

故线段的长度为5.

【变式1・1]如图，已知8、C在线段A。上.

[1.I

ABCD

（1）图中共有6条线段;

（2）若AB=CD.

①比较线段的大小:AC=BD（填：“>"、"=”或"V"）；

②若人0=20,8c=12,M是AB的中点，N是CO的中点，求MN的长度.

4-BC*~D

【解题思路】（1）依据8、C在线段A。上，即可得到图中共有线段A8,AC,AD,BC,BD,CD.

（2）①依据AB=CQ,即可得至IJA8+8C=CQ+8C,进而得出AC=5O.

②依据线段的和差关系以及中点的定义，即可得到MN的长度.

【解答过程】解：（1）・・BC在线段AD上，

，图中共有线段48,AC,AD,BC,BD,CD.共6条.

故答案为：6；

⑵①若A6=CO,则48+3C=CO+3C,

即AC=BD.

故答案为：=：

②•・・AQ=20,BC=12,

：.AB+CD=AD-BC=S,

•••M是4B的中点，N是。。的中点，

=-AB,CN=-CD,

22

，8M+CN=*48+CO）=gX8=4,

:.MN=BM+CN+BC=4+T2=16.

【变式1-2】已知：点C在直线AB上，点。、E分别是AC、8c的中点.

（1）当点C在线段AB上时，如图（1）,

①若AC=5,BC=3,则DE=4；

②若AC+BC=m你能猜想出DE的长度吗？写出你的猜想并说明理由；

（2）当点C在线段24的延长线上，旦4。=〃?，BC=n你能猜想出。E的长度吗？请在图（2）上

画出图形，并直接写出你的猜想结果.

ADCEBAB

图⑴图⑵

【解题思路】（1）①由中点的性质得DC=/C、CE=根据DE=DC+CE=/C+/C=1（AC+BC）

可得答案；

②与①同理；

（2）根据中点的性质得OC=X。、CE=：BC,结合图形依据。E=。6・。。=38。一/。=：（8。・4。）

可得答案.

【解答过程】解：（1）①•・•点。、E分别是人C、8c的中点，

ADC=^AC.CE=^BC,

•；AC=5,8c=3,

DE=DC+CE=-AC+-BC=-（AC+BC）=-（5+3）=4,

2222

故答案为:4;

2

②•・•点。、£分别是AC、BC的中点,

：.DC=-AC.CE=

22-BC,

•：AC+CB=a,

：.DE=DC+CE=-AC+-BC=-(AC+BC)=%；

2222

(2)DE=；(〃-/〃)，

2

如图(2),

*---------•---------------•-----------------------------•

CDAEB

图⑵

•・,点。、£分别是AC、3C的中点，

：.DC=-AC.CE=-BC,

22

VAC—/??»BC=n,

：,DE=CE-CD=(〃-m).

【变式1-3］如图，点C在线段AB上，AC=6cm,CB=4cm,点M、N分别是AC、BC的中点.

(1)求线段MN的长；

(2)若C为线段44上任一点，满足4cCB=bcm,点M、N分别是AC、BC的中点，猜想：

MN-J(4十力)cm.

(3)若C在线段A3的延长线上，且满足AC="〃?，CB=bcm(a>b)，点、M、N分别为AC、BC的中

点，猜想：MN=g(a・b)cm.

iMC~NB

【解题思路】(I)根据“点M、N分别是AC.BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用MN=CM+CN

即可求出MN的长度即可；

(2)当C为线段48上一点，且M,N分别是AC,BC的中点，则存在MN=g(〃+匕)；

(3)点在A3的延长线上时，根据M、N分别为AC、5C的中点，即可求出MN的长度.

【解答过程】解：(1)・・・4C=6皿，点M是AC的中点，

CM=-AC=3cm,

2

•・・C8=4c〃?，点N是8c的中点,

3

【解答过程】解：设A6=2tc”?，BC=5xcnbCD=3xcni

所以AO=A8+8C+CO=\0xcin

因为M是AD的中点

所以AM=MQ=^AD=5xcm

所以BM=AM-AB=5x-2x=3xcm

因为BM=bcm,

所以3x=6,x=2,

故CM=MD-CD=5x-3.r=2r=2x2=4a〃，

AD=10x=10x2=20c/n.

【变式2-1］如图，已知C、。两点将线段48分成2：3：4三段，点E是8Q的中点，点〃是线段。。上

一点，且C尸=2OF,EF=\2cm,求4B的长.

；---C-------------------------------------1-------'B

【解题思路】首先设AC=2xs?,则线段CD=3xc〃?，DB=4xcm,然后根据E是线段BD的中点，CF=

2DF,分别用x表示出DE、EF,根据石尸=12s〃，求出x的值，即可求出线段的长是多少.

【解答过程】解：设AC=2x,

VC.。两点将线段AB分成2：3：4三段，

/.CD=3x,BD=4.r,

•:CF=2DF,CD=CF+DF,

：.DF=x,

•・•点E是8D的中点，

：.DE=2x,

：.EF=DF+DE=3x,

'：EF=\2cm,

.\x=4cm,

：,AC=^cni,CD=\2cm,BD=T6cm,

AB=AC+CEH-BD=36cm.

【变式2・2］如图，已知线段A8上有两点C,D,且ACCD：DB=2：3：4,点E,尸分别为AC,。8的

中点,EF=48cm.求A8的长.

5

EF

ACDB

【解题思路】设AC=2ac〃?，得出CO=3ac〃?，DB=4acm,然后根据E、尸分别是线段AC、。8的中点,

分别用。表示出EC、OF,根据E/=18,求出。的值，即可求出线段A8的长.

【解答过程】解：・・・AC：CD：DB=2：3：4,

・,・设4C=2acm,CD=3acm,DB=4acm,

■:E,“分别是AC,的中点，

：,CE=^AC=a,DF=；BD-2a,

:.EF=a+3a+2a=6a=48,

a=8,

.•・A8=AC+C£>+Q8=2a+3a+4a=9a=9x8=72(cm).

【变式2-3】已知线段A8上有两点C、。，使得AC：CD：08=1：2：3,M是线段AC的中点，点N是线

段A8上的点，且满足。N=?)8,AB=24.求MN的长.

.4MCDB

【解题思路】分点N在线段CD上、点N在线段上两种情况，根据题意计算即可.

【解答过程】解：设AC=x,则CO=2x,DB=3x,

•・・A5=24,

；・x+2x+3x=24,

解得x=4,

・・・AC=4,C£>=8,08=12,CB=20.

•・•点M是线段4c的中点，

：.MC=-AC=2.

2

VM=12,DN=-DB,

4

・•・DN=-x\2=3,

4

分以下两种情况：

①当点N在线段CD上时，MN=MC+CD-DN=2+8-3=7；

②当点N在线段DB上时，MN=MC+CO+ON=2+8+3=13.

综上所述，线段MN的长度为7或13.

6

【类型三分类讨论思想】

【例3】已知A,B,C三点在同一条直线上，A8=80a〃，BC=^AB,E是4c的中点，求3E的长.

【解题思路】根据题意易得BC=60cm,并分当点C在点B的左侧时和当点C在点B的右侧时两种情况

进行讨论，进而根据线段之间口勺和差关系进行求解即可.

【解答过程】解：根据题意可知AB=80a〃，BC="&

4

BC=-x80=60(cm),

4

当点C在点8的左侧时，

AC=Ali-BC=80-60=20(cm),

IE是AC的中点，

：.EC=AE=^AC=x20=10(cm),

BE=BC+EC=60+10=70(cm)；

当点C在点B的右侧时，

4C=AB+8C=8O+6O=I4O(cnz),

■E是AC的中点,

.*.EC=/lE=|AC=1xl40=70(cm),

HE=EC-BC=70-60=10(cw)；

综上所述,BE的长为70cm或10cm.

【变式3・1】已知，线段AB=60o〃，在直线A8上画线段8C使8c=20cw,点。是A8中点，点E是8C

的中点，求OE的长.

【解题思路】画出图形，此题由于点的位置不确定，故要分情况讨论：

(1)点C在线段AB上；

(2)点C在线段的延长线上.

【解答过程】解：(1)当点C在线段A8上时，如图：

ADCB

.・.CD=-{AB-BCy=-x(63-20)=-x40=20cw：

222

(2)当点C在线段48的延长线上时，如图：

----------•♦♦♦

NDBC

7

CD=-(48+4C)=-x(6(K20)=-x80=40c/n；

222

:.CO的长为20cm或40cw.

【变式3-2】已知点C在线段A8上，AC=2BC,点、D、E在直线A8上，点。在点E的左侧.若48=18,

DE=8,线段。E在线段4B上移动.

①如图1,当E为BC中点时，求A。的长；

②点尸(异于A,B,C点)在线段/W上，Ab=3AL),CE+E卜=3,求的长.

ADCE_BACB

图1备用图

【解题思路】①根据AC=24C,A4=18,可求得3C=6,AC=12,根据中点定义求出由线段的和

差即可•得到A。的长：

②点尸(异于A,B,C点)在线段A8上，AF=3AD,CE+EF=3,确定点尸是BC的中点，即可求AD

的长.

【解答过程】解：①AC=28C,A8=18,

•••BC=6,AC=\2,

如图1,

I---------1--------11L

ADCEB

图1

•:E为BC中点、,

:.CE=BE=3,

•・・OE=8,

：.BD=DE+BE=S+3=\\,

：.AD=AB-DB=\S-11=7：

②I、当点E在点尸的左侧，如图2,

工'D^2CEFAD图)店联卓~B

|s|~或闺NI”

\*CE+EF=3,8c=6,

・•・点产是BC的中点,

:,CF=BF=3,

：.AF=AB-BF=\S-3=15,

8

：.AD=-3AF=5；

•：CE+EF=3,故图2（b）这种情况求不出；

II、如图3,当点E在点尸的右侧，

AD~Ec卡/'BC_p£i

图3或图3（b）

V-4C-12,CE+"=C卜=3,

：,AF=AC-CF=9,

：.AF=3AD=9,

：,AD=3.

■:CE+EF=3,故图3（万）这种情况求不出；

综上所述：AD的长为3或5.

【变式3-3］已知直线/依次三点A、B、C,48=6,BC=〃?，点M是AC点中点

（1）如图，当〃?=4,求线段BM的长度（写清线段关系）.

（2）在直线/上一点。，CD=〃<m,用〃I、〃表示线段。M的长度.

••••'••••'

AMBC乂MBC

备■用图

【解题思路】（1）求出AC长，根据线段中点求出AM长，即可求出答案；

（2）先求出AM和CM长，分为当。在线段4C上时和当。在/上且在点。的右侧时，求出何。即可.

【解答过程】解：（1）当机=4时，8C=4,

又・・・48=6,

••AC=4+6=10,

又M为4c中点，

：,AM=MC=5,

AM,

=6-5

=1;

（2）VAB=6,BC=m,

AC=6+〃?，

•・•〃为AC中点,

9

.•.AAAM”=Ma”C=-6-+-m

2

①当。在线段8C上，”在。的左边时，CD=〃,AMBD

MD=MC-CD

6+m

=—"n

6+m-2n

111f1

②当。在线段4c上，例在。的右边时，CD=n,幺BDMC

MD=DC-MC

6+m

=n-----

2

2n-6-m

I.1111

③当。在/上且在点。的右侧对，CD=〃，"BMCD

MD=MC+CD=—+n

2

_6+m+2n

-2，

综合上述：0M的长度是纪?或生/或号卫.

【类型四数形结合思想】

（ft4］如图，点户是线段A8上的一点，点M、N分别是线段AP、的中点.

•・・-----•••••••

aMpNBA.VPNB

图1图2

（1）如图1,若点P是线段A8的中点，且MP=4cm,则线段A3的长16c〃?；

（2）如图2,若点P是线段AB上的任一点，且A8=12s〃，求线段MN的长；

（3）小明由（I）（2）猜想到，若点尸是直线A片上的任意一点，且A8=l2c”线段MN的长与（2）

中结果一样，你同意他的猜想吗？说明你的理由.

【解题思路】（1）根据线段中点的定义可求解AP的长，进而可求解的长；

（2）根据线段中点的定义可求得A8=2MM即可求解MN的值；

（3）可分两种情况：当P点在线段48延长线上时，当P点在线段84延长线上时，根据中点的定义求

解M,N两点间的距离.

10

【解答过程】解：（1）•・•点M、N分别是线段AP、P3的中点,

：.AP=2MP,BP=2PN,

*：MP=4cm,

.\AP=Scm,

・・•/为A3的中点,

：,AB=2AP=\6cnu

故答案为16；

(2)•:点、M、N分别是线段HP、P8的中点,

：,AP=2MP,BP=2PN,

AP+BP=2MP+2PN=2MM

却AB=2MN,

'：AB=\2cm,

:.MN=6cm；

(3)同意.

理由：当P点在线段AB延长线上时，

•・•点M、N分别是线段人尸、PB的中点，

：.AP=2MP,BP=2PN,

：.AP-BP=2MP-2PN=2MN,

即AB=2MN,

'：AB=\2cm,

:.MN=6cm；

当P点在线段BA延长线上时•，

•・•点M、N分别是线段AP、PB的中点，

：.AP=2MP,BP=2PN,

：.BP-AP=2PN-2Mp=2MN,

即AB=2MN,

\*AI3=\2cm,

:・MN=6cm.

【变式4-1］如图，点C在线段A8上，M、N分别是线段AC、8C的中点,

11

（1）若AC=7c〃?，BC=5cm,求线段MN的长：

（2）若点。为线段力8上任意一点，你能用含a的代数式表示MN的长度吗？若能，请写出结

果与过程，若不能，请说明理由.

（3）若将（2）中“点C为线段48上任意一点”改为“点C为直线AB上任意一点“，其余条件不变，（2）

中的结论是否仍然成立？请画图并写出说明过程.

AVCV

【解题思路】（1）由中点的定义可得MN=MC+CN=6c，〃；

（2）将（1）中推导过程中的A8=6换为人8=。即可；

（3）分两种情况说明：当点C在线段AB延长线上时，加汽="（7-根7=，。一/。二，8；当点C在线

段BA延长线上时，MN=NC-CM=/C=

【解答过程】解：⑴・・・AC=7a〃，点M是AC的中点，

:,MC=-AC=-cm,

22

,:BC=5cm，点N为BC的中点，

CN=：BC=-cm,

22

:・MN=MC+CN=6cm；

（2）•・•点M是AC的中点，

：.MC=-AC,

2

•・•点N为8C的中点，

:.CN=

:・MN=MC+CN=/C+：BC=/B=）；

（3）结论成立；

理由如下：

当点C在线段4/3延长线上时，

A---------------------------------------

MBNC

•・•点N为8。的中点，

:・CN=BN=±BC,

12

•・•点M是AC的中点,

：,MC=^AC,

:・MN=MC-NC=-AC--BC=-AB.

222

当点C在线段84延长线上时，

------------------------------------.B

CMAN

•・•点N为的中点，

：，CN=BN=-B2C,

•・•点M是AC的中点，

：.MC=-AC,

2

:,MN=NC-CM=\BC-^AC=*

综上所述，（2）的结论成立.

【变式4-2］如图1,将一段长为505?绳子AR拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使

绳子与自身一部分重叠.

AB

01

（1）若将绳子A8沿M、N点折叠，点A、3分别落在8、夕处.

①如图2,若8、8恰好重合于点。处，MN=30。小

*"‘消）N

ABA*%.2B

图2

②如图3,若点A,落在点8的左侧,且如B'=20cvn,求MN的长度;

.4,¥ff丫.R

图3

③若A9=〃o〃，求MN的长度.（用含〃的代数式表示）

A.-----------------------------------.B

备用图

13

(2)如图4,若将绳子44沿N点折叠后，点6落在8处，在重合部分UN上沿绳子垂直方向剪断，将

绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为3：4：5,直接写出AN所有可能的长度.

X।

图4

【解题思路】(1)①由题意可得：AM=MO=\A0,ON=BN=；OB,再结合图形可求得答案；

②先结合图形可求得AA'+BB'=40cm,再根据中点性质和线段和差关系计算即可；

③分两种情况分别计算即可：当点4落在点ZT的左侧时，当点A落在点"的右侧时；

(2)根据三段的长度由短到长的比为3：4：5,分别按以下几种情况进行计算：①当夕。：CD：AC=3：

4：5时，②当BD：AC：CD=3：4：5时，③当CQ：B'D：AC=3：4：5时，④当CO：AC：B'D=3：

4：5时，⑤当AC：B'D：CD=3：4：5时，⑥当AC：CD：87)=3：4：5时.

【解答过程】(1)①•・・绳子AB沿M、N点折叠，点A、8分别落在A、夕处，A、8恰好重合于点。处,

・•・AM=MO=/。，ON=BN=^OB,

：.MN=MO+ON=-(AO+OB)=48=30；

22

故答案为：30.

②AB=60cm,A'B'=20。"?，

••・AA'+4/r=AB-Ab=60-20=40cm.

根据题意得，M、N分别为AW、8夕的中点，

：.AM=-AAr,BN、BB',

22

:.AM+BN=^AA'+^BBr=^AAr+BB')=x40=20cm,

：.MN=AB-(AM+BN)=60-20=40cm.

③如•・•"、N分别为44、8方的中点,

：.AM=MA,=-AA,,BN=B'N=-BB,.

22

当点4落在点9的左侧时，如第(1)小题②图，

••・MN=MA'+Ab+/rN=/4'+A7r+；/r3=：(A4'+Ab+6'6)(44+49)=(30+/)(cm)；

当点A落在点夕的右侧时，如(1)③图，

14

•.•A4'+43'=A4+A7r=(60+H)cm.

：.AM+BN=\AA'+^BB'=\{AA'+88')=x(604-n)=(304-^)cni.

:.MN=AB-(AM+BN)=60-(30+-)=(30--)(cm).

22

综上，MN的长度为(30+2或(30-^cm.

(2)由于三段的长度由短到长的比为3；4；5,CN=*D,

所以可分为以下几种情况：

①当用O：CD：AC=3：4：5时，

AC=—AB,CD=-AB,

123

：.AN=-AB+-CD=—AB=35(cm),

12212

②当zr。：AC：CD=3：4：5时，

AC=-AB,CD=-AB,

312

：.AN=\AB+^CD=^B=32.5(cv〃)，

③当CD：B'D：AC=3：4：5时，

AC=—AB,CD=-AB,

1212

c11■1

：,AN=-AB+-CD=—AB=32.5(C〃?)，

12224

④当CD：AC：夕0=3：4：5时，

AC=-AB,CD=-AB,

312

:・AN=^AB+^CD=^-AB=21.5cm,

3224

此时不符合题意,舍去；

⑤当AC：B'D：CD=3：4：5时，

AC=-AB,CD=-AB,

412

：.AN=-AB+-CD=—AB=21.5cm,

4224

此时夕D>AC,不符合题意，舍去；

⑥当AC：CD：9。=3：4：5时，

15

AC=-AB,CD=-A13,

43

:.AN=-AB+-CD=—AB=25cm；

4212

此时87）＞4C,不符合题意，舍去；

综上所述，AN所有可能的长度为：32.5cm或35。〃.

第（切\题图的

R_____・B

⑴③图

__________更________・B

第（1）小题②图

,MONR

第（1）小题①图

【变式4-3】已知线段48=〃？（机为常数），点C为直线上一点（不与点A、B重合），点M、N分别

在线段BC、AC±,且满足CN=34V,CM=3BM.

（1）如图，当点。恰好在线段中点，且加=8时，则MN=6；

（2）若点C在点A左侧，同时点M在线段A4上（不与端点重合），请判断CN+2AM-2MN的值是否

与机有关？并说明理由.

（3）若点C是直线AB上一点（不与点A、B重合），同时点M在线段AB上（不与端点重合），求

MN长度（用含m的代数式表示）.

NM

・••••

ACB