专题17 全等三角形的九大经典模型（举一反三）（浙教版）（原卷版）

专题L7全等三角形的九大经典模型【九大题型】

【浙教版】

♦题型梳理

【题型1平移模型】.............................................................................1

【题型2轴对称模型】...........................................................................3

【题型3旋转模型】.............................................................................4

【题型4一线三等角模型】......................................................................6

【题型5倍长中线模型】.........................................................................8

【题型6截长补短模型1........................................................................................................................10

【题型7手拉手模型】..........................................................................12

【题型8角平分线模型】........................................................................15

【题型9半角全等模型】........................................................................16

，举一反三

【知识点1平移模型】

【模型解读】把aABC沿着某一条直线1平行移动，所得到4DEF与aABC称为平移型全等三角形，图①,

图②是常见的平移蛰全等三角线.

图①

【常见模型】

【例1】（2023春映西咸阳•八年级统考期末）如图，将沿BC方向平移得到ADEF,使点8的对应点E恰

好落在边8c的中点上，点C的对应点?在BC的延长线上，连接力D,AC.DE交于点0.下列结论一定正确的

是（）

A.LB=LFB.ACLDEC.BC=DFD.AC.DE互相平分

【变式1-1]（2023・浙江•八年级假期作业）如图，△ABC的边AC与△CDE的边CE在一条直线上，且点。

为AE的中点，AB=CD,BC=DE.

（1）求证：△ABC沿ACDE；

（2）瘠△A8C沿射线AC方向平移得到△ABC,边夕C'与边CZ）的交点为尸，连接ER若即将CDE分

为面积相等的两部分，且48=4,则CF=_

【变式1-2]（2023春・重庆•八年级校考期中）如图，将△48C沿射线BC方向平移得到△DCE,连接80交4C于

点、F.

（2）若AB=9,BC=7,求的取值范围.

【变式1-3]（2023春•八年级课时练习）已知△48C,AB=AC,^ABC=^LACB,将△ABC沿BC方向平移得

到ADEr.如图,连接BD、AF,则BDAF（填“>"y喊“=”）,并证明.

【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对

称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等.

【常见模型】

【题型2轴对称模型】

【例2】（2023春・河北邯郸•八年级校考期末）如图，在长方形力BCD中，点M为CO中点，将△M8C沿翻

折至AM8E,若乙4ME=a,乙ABE=0,则a与£之间的数量关系为（）

A.a+3/?=180°B./?-a=20°C.a+/?=80°D.3p-2a=90°

【变式2-1]（2023・全国•八年级专题练习）如图，将RSABC沿斜边翻折得到△ADC,点E,F分别为DC,

BC边上的点，且NEAF=：NDAB.试猜想DE,BF,EF之间有何数量关系，并证明你的猜想.

【变式2-2]（2023春•山东青岛•八年级统考期中）如图，在R3WC中，1=90°,将zL48c沿48向下翻折

后，再绕点A按顺时针旋转a度（aV乙4BC）.得到R£A4DE,其中斜边4E交8C于点心直角边DE分别48、BC

于点G,H

（1）请根据题意用实线补全图形；（不得用铅笔作图）.

（2）求证：AAFB=AAGE

(2)知识迁移：如图2,在四边形ABCO中，ZA/9C+Z«=180°,AB=AD,E,尸分别是边8C,C。延长

线上的点，连接AE,AF,且NZMQ=2NEA凡试写出线段BE,EF,。尸之间的数量关系，并说明理由.

(3)实践创新：如图3,在四边形48CQ中，NA8c=90。，AC平分NOA3,点七在A8上，连接CE,

且ND48=NOCE=60。，若DE=a,AD=b,AE=c,求BE的长.(用含a,b,c的式子表示)

[变式3-1](2023春•八年级课时练习)如图，等边△43c中，乙4。8=115。,"OC=125。,则以线段04,08,。。

为边构成的二角形的各角的度数分别为

【变式3-2](2023春・全国•八年级专题练习)已知，如图1,四边形是正方形，E,F分别在边8C、CD

上，且NE4F=45°.

A

-------|D//\/

\/\X\7t

/1I7

GBECF

mi图2

(I)在图I中，连接后尸，为了证明结论“ET=EE+。尸”，小亮将ZU。尸绕点A顺时针旋转90。后解答了这个

问题，请按小亮的思路写出证明过程；

(2)如图2,当NE4/绕点乂旋转到图2位置时，试探究EF与。尸、8E之间有怎样的数显关系？

【变式3-3](2023春.江苏•八年级专题练习)如图，在锐角A48c中，△4=60。，点。，E分别是边A8/C上

一动点，连接BE交直线CO于点F.

AAA

M

N.

图1图2备用图

(1)如图1,若AB>AC,曰.BD=CE,乙BCD=^CBE,求4C7•五的度数;

（2）如图2,若/1BFC,且BD=AE,在平面内将线段4C绕点C顺对针方向旋转60。得到线段CM,连接MF,

点N是MF的中点，连接CN.在点D,E运动过程中，猜想线段B居C居CN之间存在的数量关系，并证明你

的猜想.

【知识点4一线三等角模型】

【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD_LDE,AB1AC,CE±DE,那么一定有NB二NCAE.

【题型4一线三等角模型】

【例4】（2023春•山东前泽•八年级校联考阶段练习）（1）如图1,在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,

直线，〃经过点（AQ_L直线5，。足1_直线机，垂足分别为点£＞、E.求证：△ABD^ACAE-

（2）如图2,将（1）中的条件改为：在AABC中，AB=AC,D.4、E三点都在直线〃?上，并且有N8D4

=ZAEC=ZBAC=a,其中a为任意锐角或钝角.请问结论△A3。且△CAE是否成立？如成立，请给出证

明；若不成立，请说明理由.

（3）拓展应用：如图3,D,E是D,A,E三点所在直线机上的两动点（。，A,E三点互不重合），点产

为N84C平分线上的一点，且448尸和△AC尸均为等边三角形，连接BQ,CE,^ZBDA=ZAEC=ZBAC,

求证：AOE厂是等边三角形.

【变式4-1］（2023・浙江•八年级假期作业）如图，在AABC中，A3=AC=9,点E在边AC上，AE的中垂线

交BC于点。，若NAOE=N8,CD=3BD,则CE等于（)

A.3B.2D-i

【变式4-2］（2023春・上海•八年级专题练习）通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习,

解决下列问题:

图1图2图3

［模型呈现］如图I,Z-BAD=90°,AB=AD,过点B作14C于点C,过点。作OE_L4c于点E.求证:

BC=AE.

［模型应用］如图2,力土工/^且7^二人氏8。_1。。且8。=。0,请按照图中所标注的数据，计算图中实线所

围戌的图形的面积为

［深入探究］如图3,/-BAD=^CAE=90°,AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且BC14F于点凡DE与

直线力广交于点G.若8c=21,AF=12,则AADG的面积为

【变式4-3］（2023春•八年级课时练习）（1）课本习题回放："如图①，^ACB=90°,AC=BC,AD1CE,

BEICE,垂足分别为>E,AD=2.5cm,DE=1.7cm.求BE的长”，请直接写出此题答案：BE的长为

（2）探索证明：如图②，点B,C在NMAN的边AM、4N上，AB=AC,点E,尸在ZM/N内部的射线AO上，

KzBED=ZCFD=£.BAC.求证：LABE=LCAF.

（3）拓展应用：如图③，在A4BC中，AB=AC,AB>8C.点D在边8C上，CD=2BO,点E、F在线段力。上,

乙BED=LCFD=LBAC.若ZL48c的面积为15,则△46与A3DE的面积之和为.（直接填写结果,

不需要写解答过程）

A

BM

【知识点5倍长中线模型模型】

【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加

辅助线.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形

的有关知识来解决问题的方法.

【常见模型】

【题型5倍长中线模型】

【例5】（2023春・甘肃庆阳•八年级校考期末）小明遇到这样一个问题，如图1,中，AB=7,AC=5,

点。为BC的中点，求AD的取值范围.小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线

法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题

的方法，他的做法是：如图2,延长4。到E,使OE=AD,连接BE,构造△BED会△CAD,经过推理和计

算使问题得到解决.请回答：

（1）小明证明/BED=△&4D用到的判定定理是:_（用字母表示）;

(2)/40的取值范围是」

(3)小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造.参考小明思考

问题的方法，解决问题：如图3,在△■员;中，力。为BC边上的中线，且AD平分/44C,求证：AB=AC.

【变式5-1】(2023春•黑龙江哈尔滨•八年级哈尔滨风华中学校考期中)如图，a/lBC中，点。在AC上，力。=

3"B+AC=10,点E是BD的中点，连接CE,/ACB=4ABC+24BCE,则CZ)=.

【变式5-2](2023春•全国•八年级阶段练习)如图，AB=AE,力B1/IE,=AC,力。14C,点M为BC的

【变式5-3](2023.江苏•八年级假期作业)【观察发现】如图①，中，"=7,AC=5,点、D为BC

的中点，求4。的取值范围.

小明的解法如下：延长AO到点E,使。E=A。，连接C£.

(BD=DC

在乙人笈八与4ECD^ADB=乙EDC

(AD=DE

/.ECD(SAS)

：,AB=.

XV^AAECH-1EC-ACCAECEC+AC,而A/=FC=7,AC=5,

,<AE<.

又・,・4E=2AD

,<AD<.

【探索应用】如图②,A例CO,AB=25,CD=8,点后为BC的中点，N。/芯=N3A£,求的长为.(直

接写答案)

【应用拓展】如图③，NBAC=60。，ZCDE=120°,AB=AC,DC=DE,连接BE,P为BE的中点，求证:

APA.DP,

【知识点6截长补短模型】

【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长:指在长线段中截取一段等于已知线

段:补短:指将短线段延长，延长部分等于已知线段。该类题目中常出现等服三角形、角平分线等关键词

句，可以采用截长补短怯构造全等二角形来完成证明过程，截长补短法(往往需证2次全等)。

【模型图示】

(1)截长:在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。

例：如图，求证BE+DC=AD；

方法:①在AD上取一点F,使得AF=BE,证DF二DC;②在AD上取一点F,使DF=DC,证AF二BE

(2)补短:将短线段延长，证与长线段相等

【题型6截长补短模型】

【例6】(2023・浙江•八年级假期作业)如图①，△ABC^^BDC是等腰三角形，且48=AC,BD=CD,^BAC=

80。，^BDC=100°,以D为顶点作一个50。角，角的两边分别交边48.4。于点E、F,连接EE

（1）探究5E、EF、FC之间的关系，并说明理由；

（2）若点E、F分别在48、CA延长线上，其他条件不变，如图②所示，则8E、EF、FC之间存在什么样的

关系？并说明理由.

【变式6-1]（2023•江苏•八年级假期作业）如图，△A3C中，ZZJ=2ZA,ZACZ7的平分线CD交A"于点Z）,

已知AG16,BC=9,则8D的长为（）

A.6B.7C.8D.9

【变式6-2]（2023春•八年级课时练习）在△88。中，BE,CO为△的角平分线，BE,C。交于点£

（1）求证：乙BFC=90。+：乙4；

（2）已知乙4=60°.

①如图1,若BD=4,BC=6.5,求CE的长；

②如图2,若Bf=4C,求乙4EB的大小.

【变式6-3］（2023春・全国•八年级专题练习）阅读下面材料：

【原题呈现】如图1,在△A3C中，N4=2N8,CO平分NAC8,AQ=2,2,AC=3.6,求8c的长.

【思考引导】因为C。平分NAC8,所以可在3c边上取点已使£C=4C,连接。£.这样很容易得到

△DECZADAC,经过推理能使问题得到解决（如图2）.

【问题解答】（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；

（2）拓展提升：如图3,已知AABC中，AB=AC,ZA=20°,8D平分NABC,BD=23,BC=2.求4。的

长.

【知识点7手拉手模型】

【模型解读】如图，AABC是等腰三角形、4ADE是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,

ZBAC=ZDAE=^。结论：ABAD^ACAEo

【模型分析】手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现。

【题型7手拉手模型】

【例7】（2023・江苏•八年级假期作业）如图，是一个锐角三角形，分别以4B、4c为边向外作等边三

角形AABD、^ACE,连J妾BE、CO交于点尸，连接力打.

(1)求证:^ABE^hADC；

⑵求"”的度数；

⑶求证：AF平分4DFE.

【变式7-1](2023春・上海•八年级专题练习)如图，大小不同的等腰直角三角形△ABC和AOEC直角顶点

重合在点C处，连接4E、8。，点A恰好在线段B。上.

(1)我出图中的全等三角形，并说明理由；

(2)猜想4E与8。的位置关系，并说明理由.

【变式7-2](2023・江苏・八年级假期作业)如图，若2\力。8和均为等腰直角三角形,"C8=zDCE=90。,

点A、。、E在同一条直线上，CM为△OCE中DE边上的高，连接BE.

(1)求证：AACD"BCE；

(2)若CM=2,BE=3,求力E的长.

【变式7-3](2023春・全国•八年级专题练习)已知ZiABC,分别以AB、AC为边作△48。和△ACE,且A。

=AB,AC=AE,^DAB=ZCAE,连接DC与BE,G、尸分别是DC与BE的中点.

(1)如图1,若ND48=60°,则N4/G=

(2)如图2,若ND4B=90。，则NAFG=；

(3)如图3,若NDA8=a,试探究NAR7与a的数量关系，并给予证明.

【知识点8角平分线模型】

模型一：如图一，角平分线+对称型

图一

利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，

可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移,这是经常使用的一种解题技巧。

【理论依据】：三边对应相等的三角戏是全等三角形(SSS)、全等三角形对应角相等

模型二：如图二，角平分线+垂直两边型

如图二

【几何语言】：・・・0C为NAOB的隹平分线,D为0C上一点DE_LOA,DF_LOB

AACEDg△OFD(AAS),

ADE=DF

模型三：如图三，角平分线+垂直平分线型

【说明】构造此模型可以利用等腰三角形的三线合一,也可以得到两个全等的直角三角形，进而

得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合•联系了起来。

模型四：如图四，角平分线+平行线型

.M

如图四

【说明】有角平分线时，常过角平分线上一点作角的有边的平行线,构造等腰三角形，

为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。

【题型8角平分线模型】

【例8】（2023春・浙江•八年级期中）如图，4ABC的外角NDAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点,

PD_LAB于D,PE_LAC于E.

（1）求证：BD=CE；

（2）若AB=6cm,AC=10cm,求AD的长.

【变式8-1］（2023春•八年级课时练习）如图，ZkABC的外角NACO的平分线CP与内角NA3c平分线3P

交于点P，若NBPC=36°,则NCAP=.

【变式8-2］（2023春・江苏•八年级专题练习）如图，△ABC中，4B=4C,ZBAC=90°,CO平分/AC8,

BELCD,垂足七在CO的延长线上.求证：BE=^CD.

B

【变式8-3](2023春•八年级课时练习)⑴如图I,射线8平分NMON,在射线OM,QV上分别截取

线段04,OB,使04=05,在射线OP上任取一点。，连接AD,BD.求证：AD=BD.

(2)如图2,在M△A8C中，ZACB=90°,ZA=60°,CQ平分NAC8,求证：BC=AC+AD.

(3)如图3,在四边形A8QE中，AB=9,DE=\,BD=6,。为8。边中点，若AC平分N84E,EC平分NAEQ,

ZACE=\2G0,求AE的值.

【知识点9半角模型】

【模型解读】如图：已知NZ^NAOB,OA=OB

【说明】连接PB,将aFOB绕点0旋转至aFOA的位置，连接FE、FE,可得△()£口也△OEF

【题型9半角全等模