中考数学模拟试卷含答案解析 (五)

天津市河东区中考数学模拟试卷（解析版）

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共12题，共计36分）

1.下列运算：sin3（T=返，V8=2V2>K°=n,22=-4,其中运算结果正确的个数为（）

2

A.4B.3C.2D.1

【分析】根据特殊角三角函数值，可判断第一个：

根据算术平方根，可判断第二个；

根据非零的零次第，可判断第三个；

根据负整数指数累，可判断第四个.

【解答】W：sin300=-^-»

避=2加,

n°=l,

2.得

故选：D.

【点评】本题考查了特殊带三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键，注意负整数指

数辕与正整数指数曷互为倒数.

2.在△ABC中，ZA：zB：ZC=3：4：5,则NC等于（）

A.45°B.60℃.75°D.90°

【分析】首先根据NA：ZB：ZC=3：4：5,求出NC的度数占三角形的内角和的几分之

几；然后根据分数乘法的意义，用180。乘以NC的度数占三角形的内角和的分率.，求出NC

等于多少度即可.

【解答】解：180°x5

3+4+5

=180°X9

(1乙

=75°

即/C等于75。.

故选：C.

【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三

角形的内角和是180°.

3.一元二次方程4x2+l=4x的根的情况是（）

A.没有实数根B.只有一个实数根

C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根

【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可.

【解答】解：原方程可化为：4X2・4X+1=0,

△=42-4x4x1=。，

二•方程有两个相等的实数根.

故选C.

【点评】本题考查的是根的判别式,熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（aM）的根与△的关系

是解答此题的关键.

4.顺次连接矩形ABCD各边中点，所得四边形必定是（）

A.邻边不等的平行四边形B.矩形

C.正方形D.菱形

【分析】作出图形，根据三角形的中位线定理可得EF二GH|AC,FG=EH^BD,再根据

矩形的对角线相等可得AC=BD,从而得到四边形EFGH的四条边都相等，然后根据四条边

都相等的四边形是菱形解答.

【解答】解：如图，连接AC、BD,

•••E、F、G、H分别是矩形ABCD的AB、BC、CD、AD边上的中点，

AEF=GH-|AC,FG=EHyBD（三角形的中位线等于第三边的一半），

V矩形ABCD的对角线AC=BD,

EF=GH=FG=EH,

二四边形EFGH是菱形.

故选：D.

H

D

【点评】本题考杳了三角形的中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，作辅助线构造出三角

形，然后利用三角形的中位线定理是解题的关键.

5.用配方法解一元二次方程x2・6x-10=0时，下列变形正确的为（）

A.2=1C.2=19

【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断.

【解答】解：方程移项得：X2-6X=1（）,

配方得：x2-6x+9=l9.即（x-3）2=19,

故选D.

【点评】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

6.某校九年级数学兴趣小组的同学调查了若干名家长对"初中学生带手机上学〃现象的看法,

统计整理并制作了如下的条形与扇形统计图.

依据图中信息，得出下列结论：

（1）接受这次调查的家长人数为200人

（2）在扇形统计图中，“不赞同”的家长部分所对应的扇形圆心角大小为162。

（3）表示“无所谓〃的家长人数为40人

（4）随机抽查一名接受调查的家长，恰好抽到“很赞同〃的家长的概率，5.

其中正确的结论个数为（）

A.4B.3C.2D.1

【分析】（l）根据表示赞同的人数是50,所占的百分比是25%即可求得总人数；

（2）利用360。乘以对应的百分比即可求得圆心角的度数；

（3）利用总人数乘以对应的百分比即可求解；

（4）求得表示很赞同的人数，然后利用概率公式求解.

（4）表示很赞同的人数是：200-50-40-90=20（人），

故选A.

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，从不同的统计图中得到必要的

信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项FI的数据，扇形统计图直接反映

部分占总体的百分比大小,用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.总体数目

二部分数目+相应百分比.

7.若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2,则其内切圆半径的长为（）

A/2B.V2-2C.2加D派-2

【分析】由于直角三角形的外接圆半径是斜边的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜边长,

进而可求得两条直角边的长；然后根据直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径的长.

【解答】解：•••等腰直角三角形外接圆半径为2,

•••此直角三角形的斜边长为4,两条直角边分别为贝，

.••它的内切圆半径为：Ry（/+/-4）=#-2.

故选B.

【点评】本题考查了三角形的外接圆和三角形的内切圆，等腰直角三角形的性质，要注意直

角三角形内切圆半径与外接圆半径的区别：直角三角形的内切圆半径：r*（a+b・c）；（a、

h为直角边，c为斜边）直角三角形的外接圆半径：Ryc.

_2_

8.函数y=-x+l与函产一戛在同一坐标系中的大致图象是（）

【分析】根据一次函数的图象性质得到y=-x+l经过第一、二、四象限；根据反比例函数

的图象性质得到y=J分布在第二、四象限，然后对各选项进行判断.

【解答】解：函数y=-x+l经过第一、二、四象限，函数分布在第二、四象限.

故选A.

【点评】本题考查了反比例函数的图象：反比例函数卢（Q0）的图象为双曲线，当k>0,

图象分布在第一、三象限；当kVO,图象分布在第二、囚象限.也考查了一次函数的图象.

9.如图，直线1与半径为5cm的OO相交于A、B两点，且与半径0C垂直，垂足为H.若

AB=8cm,1要与OO相切，贝也应沿OC所在直线向下平移（）

A.1cmB.2cme.3cmD.4cm

【分析】连接OB,根据已知条件可以推出HB-4w,所以OH-3W,HC-2um,所以1应沿

0C所在直线向下平移2cm.

【解答】解：连接0B,

/.OB=5cm,

,・,直线10O相交于A、B两点，且与AB1.OC,AB=8cm,

HB=4cm,

OH=3cm,

HC=2cm.

【点评】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、切线性质，解题的关键在于求HC和0H的

长度.

10.如图，在直角NO的内部有•滑动杆AB,当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会

随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到AB，处，那么滑动杆的中

A.直线的一部分B.圆的一部分

C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到oc£AB£AB，=OC,从而得

出滑动杆的中点C所经过的路径是一段圆弧.

【解答】解：连接oc、0C,如图,

/zAOB=90°,C为AB中点,

11

OC另AB^A'B'=OC',

「•当端点A沿直线AO向下滑动时，AB的中点C到O的距离始终为定长,

「•滑动杆的中点C所经过的路径是一段圆弧.

故选B.

【点评】本题考查了轨迹，圆的定义与性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

是解题的关键.

11.如图，在x轴的上方，直角NBOA绕原点0按顺时针方向旋转，若NBOA的两边分别

12

与函数丫=二、y—的图象交于B、A两点，则NOAB的大小的变化趋势为(

人A

A.逐渐变小B.逐渐变大C.时大时小D.保持不变

BM0M1

【分析】如图，作辅助线；首先证明ABOMs△OAN,得而为：设B(-m%),

2122V2

A(n-),得到BM-,AN—,OM=m,ON=n,进而得到mn,mn=，此为解

nmninn

决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tan/OAB班为定值，即可解决问题.

【解答】解：如图，分别过点A、B作ANJ_=/OAN,

•••ZBMO=ZANO=90°,

△BOM'-'△OAN,

副二创

ON^AN；

12

设B(-nL),A(n—),

mn

12

则BM-，AN-,OM=m,ON=n,

mn

2V2

/.mn，mn=；

inn

•/ZAOB=90°,

OB

「.tan/OAB§^①;

,/△BOM-△OAN,

盟理工返

OAONinnT〃

由①②知tanz为定值,

ZOAB的大小不变,

故选：D.

【点评】该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其

应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形

的判定等知识点来分析、判断、推理或解答.

12.二次函数产ax2+bx+c（aH0）的部分图象如图，图象过点（-1,0）,对称轴为直线x=2,

下列结论：

①4a+b=0：（2）9a+c>3b；③8a+7b+2c>0；④当x>・1时，y的值随x值的增大而增大.

A.1个B.2个C.3个D.4个

b

【分析】根据抛物线的对称轴为直线x=五=2,则有4a+b=0；观察函数图象得到当x=-3

时，函数值小于小则9a-3b+cV0,即9a+cV3b；由于x=-l时,y=0,则a-b+c=O,易

得c=-5a,所以8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a,再根据抛物线开口向下得aVO,于是有

8a+7b+2c>0；由于对称釉为直线x=2,根据二次函数的性质得到当x>2时，y随x的增大

而减小.

b

【解答】解：•••抛物线的对称轴为直线=2,

/.b=-4a,即4a+b=0,（故①正确）；

二,当x=・3时，yV0,

9a-3b+c<0,

即9a+cV3b,（故②错谩）；

.•・抛物线与x轴的一个交点为（-1,0）,

/.a-b+c=0,

而b=-4a,

/.a+4a+c=0,即c=-5a,

/.8a+7b+2c=8a-28a-IOa=-30a,

••・抛物线开口向下，

/.a<0,

/.8a+7b+2c>0,（故③正确）；

••・对称轴为直线x=2,

.•.当-1VXV2时，y的值随x值的增大而增大，

当x>2时，y随x的增大而减小，（故④错误）.

故选：B.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（axO）,二次项系

数a决定抛物线的开I」方句和大小，当a>0时，抛物线向上开口；当aVO时，抛物线向下

开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab>0）,

对称轴在y轴左；当a与b异号时（即abVO）,对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线

与y轴交点.抛物线与》轴交于（0,c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b?-4ac

>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点；△=b2-

4acV0时，抛物线与x轴没有交点.

二、填空题（每小题3分，共6题，共计18分）

13.计算/V3）<2V3）的结果为-1.

【分析】根据平方差公式：(a+b)(a-b)=a2・b2,求出算式让正)立无)的

结果为多少即可.

【解答】解：近的)/正)

版)2-(与2

=2-3

=-1

/.V2V3)/2V3)的结果为-i.

故答案为：-1.

【点评】(1)此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明

确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号

里面的.②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式〃，多个不同类的二次根式的和可以

看“多项式〃.

(2)此题还考查了平方差公式的应用：(a+b)(a-b)=a2-b2,要熟练掌握.

14.因式分解：4m2-16=4(m+2)(m・2).

【分析】此题应先提公因式4,再利用平方差公式继续分解.平方差公式：a2-b2=(a+b)

(a-b).

【解答】解：4m2-16,

=4(m2-4),

=4(m+2)(m-2).

【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公

因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.

15,用2,3,4三个数字排成一个三位数，则排出的数是偶数的概率为著—.

【分析】首先利用列举法可得：用2,3,4三个数字排成一个三位数，等可能的结果有：234,

243,324,342,423,432；且排出的数是偶数的有:234,324,342,432；然后直接利用

概率公式求解即可求得答案.

【解答】解：••・用2,3,4三个数字排成一个三位数，等可能的结果有：234,243,324,

342,423,432：且排出的数是偶数的有：234,324,342,432：

42

二排出的数是偶数的概率为至石.

故答案为.

【点评】此题考查了列举法求概率.用到的知识点为：概率二所求情况数与总情况数之比.

16.如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折

叠后端点D恰好落在边0C上的点F处.若点D的坐标为（10,8）,则点E的坐标为（10,

【分析】根据折叠的性质得到AF二AD,所以在直角aAOF中，利用勾股定理来求OF=6,

然后设EC=x，则EF=DE=8-x,CF=10-6=4,根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐

标.

【解答】解：二.四边形A0CD为矩形，D的坐标为（10.8）,

/.AD=BC=10,DC=AB=8,

・矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，

/.AD=AF=10,DE=EF,

在RtAAOF中，OFVAF2-A0z=6,

FC=10-6=4,

设EC=x,MDE=EF=8-x,

在RtaCEF中，EF2=EC2+FC2,即(8-x)2=x2+42,解得x=3,

即EC的长为3.

.・•点E的坐标为(10,3),

故答案为：(10,3).

y

【点评】本题考查折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等；对应

点的连线段被折痕垂直平分.也考查了矩形的性质以及勾股定理.

17.如图，点A,B,C,D在OO上，点O在ND的内部，四边形OABC为平行四边形,

则NOAD+ZQCD=60\

【分析】利用四边形OABC为平行四边形，可得NAOO/B,ZOAB=ZOCB,

ZOAB+ZB=180°.利用四边形ABCD是圆的内接四边形，可得ND+NB=18(T.利用同弧

所对的圆周角和圆心角可得/DaNAOC,求出ND=60。，进而即可得出.

【解答】解：..•四边形OABC为平行四边形，

ZAOC=ZB,ZOAB=ZOCB,ZOAB+ZB=180°.

v四边形ABCD是圆的内接四边形，

ND+ZB=I8O°.

乂NZAOC,

3ZD=180°,

解得ND=60°.

/.ZOAB=ZOCB=1800-ZB=60。.

ZOAD+ZOCD=360°-(ZD+ZB+ZOAB+ZOCB)=360°-(60°+120°+60°+60°)=60°.

故答案为：60.

【点评】本题考查了平行叫边形的性质、圆的内接四边形的性质、同弧所对的圆周角和圆心

角的关系，属于基础题.

18.如图，已知平行四边形ABCD四个顶点在格点上，每个方格单位为1.

（1）平行四边形ABCD的面积为6；

（2）在网格上请画出一个正方形，使正方形的面积等于平行四边形ABCD的面积.（尺规

作图，保留作图痕迹）并把主要画图步骤写出来.

【分析】（I）平行四边形ABCD的面积二矩形的面积-2个直角三角形的面积，即可得出

结果；

（2）由正方形的面积和相交弦定理得出正方形的边长，画出图形即可.

【解答】解（1）平行四边形ABCD的面积=4x2-2-xlx2=6；

故答案为：6

（2）①作AE_LBC于E,DF_LBC于F；

②延长AD至G,使DG二DF；

③以AG为直径作半圆；

④延长FD交半圆于H,则DH即为所求的正方形边长；

【点评】本题考查了平行四边形的性质、正方形的性质、作图-复杂作图、相交弦定理；作

出正方形的边长是解决问题的关键.

三、综合题（共7题，共计66分）

[5x-l>3x-4

19.解不等式2_'一工，并把不等式组的解集在数轴上表示出来.

IIIBIIII

a-3-2-101234

【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可.

'5x-l>3x-4①

【解答】解2r〉.上②

L33

•••由①得x>一趣，

由②得：X<1,

・•.不等式组的解集为一,

在数轴上表示不等式组的解集为：

*IJ•IIII

-4-3-2-101234

【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式组的解

集的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集，难度适中.

20.商场为了促销某件商品，设置了如图的•个转盘，它被分成了3个相同的扇形.各扇形

分别标存数字2,3,4,指针的位置固定，该商品的价格由顾客自由转动此转盘两次来获取，

每次转动后让其自由停止，记下指针所指的数字（指针指向两个扇形的交线时，当作右边的

扇形），先记的数字作为价格的十位数字，后记的数字作为价格的个位数字，则顾客购买商

品的价格不超过30元的概率是多少？

【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出顾客购买商品的价格不超过30元

的结果数，然后根据概率公式求解.

【解答】解：画树状图为：

234

/1\/N/T\

234234234

共有9种等可能的结果数，其中顾客购买商品的价格不超过30元的结果数为3,

31

所以顾客购买商品的价格不超过30元的概率§y.

【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出

n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式求出事件A或B的概率.

21.1种进价为每件40元的T恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件.为提高利

润，欲对该T恤进行涨价销仕：.经过调查发现：每涨价1元，每周要少卖出5件.

(1)请确定该T恤涨价后每周的销售利润y(元)与销雪单价x(元)之间的函数关系式，

并求销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大？

(2)若要使每周的销售利润不低于7680元，请确定销售单价x的取值范围.

【分析】(1)用每件的利润乘以销售量即可得到每周销售利润，即y=(x-40)[300-5(x

-60)],再把解析式整理为•般式，然后根据二次函数的性质确定销售单价定为多少兀时，

每周的销售利润最大.

(2)由函数值求出自变量的两个值，再根据二次不等式的解集即可求得x的取值范围.

【解答】解：(1)根据题意得y=(x-40)[300-5(x-60)]

=-5(x2-160x+4800)

=-5(x-80)2+8000,

,/a<0,

.•.当x=80时，y的值最大=8000,即销售单价定为80元时，每周的销售利润最大：

(2)当y=7680时,-5(x-80)2+8000=7680,

整理得：(x-80)2=64,

x-80=±8,

xi=88,X2=72,

724x488.

【点评】本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决利润问题，在商品经营活动中，经

常会遇到求最大利润，最大销量等问题.解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解

析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次

函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围.

22.已知如图，以R3ABC的AC边为直径作。O交斜边AB于点E,连接E0并延长交

BC的延长线于点D,点F为BC的中点，连接EF.

(1)求证：EF是OO的切线；

(2)若。0的半径为3,ZEAC=60%求AD的长.

【分析】(I)连接F0,由F为BC的中点，AO=CO,得到OFIIAB,由于AC是。。的

直径，得出CE_LAE,根据OFIIAB,得出OFJLCE,于是得到OF所在直线垂直平分CE,

推出FOFE,OE=OC,再由/ACB=90°,即可得到结论.

(2)证出△AOE-是等功三角形，得到/EOA=60。，再由直角三角形的性质即可得到结果.

【解答】证明：(1)如图1,连接F0,

•.F为BC的中点，AO=CO,

OFIIAB,

••1AC是。0的直径，

CE_LAE»

•••OFIIAB,

OF±CE,

•••OF所在直线垂直平分CE,

FC=FE,OE=OC,

/.ZFEC=ZFCE,ZOEC=ZOCE,

•/ZACB=90°,

即：ZOCE+ZFCE-90%

/.ZOEC+ZFEC=90°,

即：ZFEO=90%

FE为G)O的切线；

(2)如图2,••・OO的半径为3,

/.AO=CO=EO=3,

.•ZEAC=60°,OA=OE,

ZE0A=6()°,

/.ZCOD=ZEOA=60°,

..在RsOCD中，ZCOD=60°,OC=3,

/.CD,

•.在RSACD中,ZACD=90%

CD,AC=6,

/.AD.

【点评】本题考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分

线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握定理是解题的关键.

23.如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正

前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30。，朝着这棵树的方向走到台阶

下的点C处，测得树顶端D的仰角为60。.已知A点的高度AB为2m,台阶AC的坡度为

1代，且B,C,E三点在同一条直线上.请根据以上条件求出树DE的高度（测倾器的

高度忽略不计）.

D

【分析］由于AF±AB,则四边形ABEF为矩形，设DE=x,在RtACDE中，CE^/DCE

DEa1

tan60°V在RtAABC中,V3,求出BC,在RtZkAFD中，求出AF,

由AF=BC+CE即可求出x的长.

【解答】解：♦,AF_LAB,AB_LBE,DEXBE,

四边形ABEF为矩形,

/.AF=BE,EF=AB=2

DEDEV3

X>

设DE=x,在RSCDE中,CEtanZDCE*。。T

在RtAABC中，

AB1

BC，AB=2,

BC=VS,

在RtAAFD中，DF=DE-EF=x-2,

DFx-2V3

A，；tanZDAFtan30°=㈠-2),

AF=BE=BC+CE.

解得x=6.

答：树DE的高度为6米.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用--仰角、坡度问题、矩形的判定与性质、三角函

数；借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解决问题的关键.

24.（1）操作发现：

如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到aGBE,且点G在矩

形ABCD内部.小明将BG延长交DC丁点F,认为GF-DF,你同意吗？说明理由.

（2）问题解决：

AD

保持（1）中的条件不变，若DC=2DF,初的值；

（3）类比探求：

AD

保持（1）中条件不变，若DC=nDF,施的值.

G

RC

【分析】（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即连接EF,证^EGa△EDF

即可;

（2）可设DF=x,BC=y；进而可用x表示出DC、AB的长，根据折叠的性质知AB=BG,

即可得到BG的表达式，由（1）证得GF二DF,那么GF=x,由此可求出BF的表达式，进

AD

而可在RSBFC中，根据勾股定理求出x、y的比例关系，即可得市的值；

（3）方法同（2）.

【解答】解：（1）同意，连接EF,

则根据翻折不变性得，

ZEGF=ZD=90°,EG=AE=ED,EF=EF,

在RtAEGF和RtAEDF中，

「EG二ED

<EF=EF

RtAEG於RIAEDF（HL）,

/.GF=DF：

（2）由（1）知，GF=DF,设DF=x,BC=y,则有GF=x,AD=y

DC=2DF,

CF=x,DC=AB=BG=2x,

BF=BG+GF=3x；

在RsBCF中,BC2+CF2=BF2,即y2+x2=（3x）2

AB2x=^2；

（3）由（1）知，GF=DF,设DF=x,BC=y,则有GF=x,AD=y

DC=nDF,

二BF=BG+GF=（n+1）x

在RSBCF中，BC2+CF2=BF2,BPy2+[(n-1)x]2=[(n+1)x]2

y=2«,

【点评】此题考查了矩形的性质、图形的折叠变换、全等三角形的判定和性质、勾股定理的

应用等重要知识，难度适中.

25.如图甲，四边形OABC的边OA、0C分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛

物线交x轴于点A、D,交y轴于点E,连接AB、AE、BE.已知(anZCBEy,A(3,0),

D(-1,0),E(0,3).

(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标；

(2)求证：CB是△ABE外接圆的切线；

(3)试探究坐标轴上是否存在一点P,使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存

在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由：

(4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(OV33)时，△AOE与△ABE重叠部分的

图甲图乙(备用图)

【分析】(1)已知A、D、E三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，进而

能得到顶点B的坐标.

(2)过B作BMJ_y轴于M,由A、B、E三点坐标，可判断出△BME、△AOE都为等腰

直角三角形，易证得NBEA=90°,UPAABE是直角三角形，而AB是△ABE外接圆的直径，

因此只需证明AB与CB垂直即可.BE、AE长易得，能求由tanZBAE的值，结合tanZCBE

的值，可得至l」NCBE=NBAE,由此证得NCBA=NCBE-NABE=NBAE+NABE=90°,此题

得证.

(3)△ABE中，NAEB=90。，tan/BAE£,即AE=3BE,若以D、E、P为顶点的三角形

与^ABE相似，那么该三角形必须满足两个条件：①有一个角是直角、②两直角边满足1：

3的比例关系；然后分情况进行求解即可.

(4)过E作EFIIx轴文AB于F,当E点运动在EF之间时，△AOE与^ABE重叠部分是

个四边形；当E点运动到F点右侧时，△AOE与△ABE重叠部分是个三角形.按上述两种

情况按图形之间的和差关系进行求解.

【解答】(1)解：由题意，设抛物线解析式为y=a(x-3)(x+1).

将E(0,3)代入上式，解得：a=-I.

y=-x2+2J_y于点M,则M(0,4).

在RSAOE中，OA=OE=3,

・•.N1=Z2=45°,AEV0A2+0E2=户.

在RQEMB中，EM=OM-OE=I=BM,

JEM+BM

...ZMEB=ZMBE=45°,BE

...ZBEA=1800-Z1-ZMEB=90°.

AB是^ABE外接圆的直径.

BE1

在RIAABE中，tanzBAEAE~3=tanzCBE,

ZBAE二NCBE.

在RtZkABE中，ZBAE+Z3=90°,/.ZCBE+Z3=90°.

/.ZCBA=90°,即CB_LAB.

CB是^ABE外接圆的切线.

(3)解：为△ABE中，ZAEB=9O°,tanZBAE717，sinZBAEV-1io-r-,cosZBAE3V-^1r0—；

J1U1U

若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形：

①DE为斜边时，Pi在x轴上，此时Pi与O重合；

由D(-1,0)、E(0,3),得OD=1>OE=3,即tanzDEo4=tan