专题222 二次函数的图象与性质（一）【八大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）

专题22.2二次函数的图象与性质（一）【八大题型】

【人教版】

♦题型梳理

【题型1二次函数的顶点式与一般式的互化】......................................................1

【题型2根据二次函数的解析式判断其性质】......................................................3

【题型3五点法绘二次函数的图象】..............................................................5

【题型4用待定系数法求二次函数解析式】........................................................10

【题型5二次函数图象的平移变换】..............................................................12

【题型6二次函数图象的对称变换】.............................................................15

【题型7利用二次函数的对称轴、最值求参数】...................................................17

【题型8利用二次函数的增减性求参数范围】.....................................................20

►举一反三

【知识点1二次函数的图象和性质】

二次函数的图象是一•条抛物线。当时，抛物线开口向上；当QV0时，抛物线开口向下。间越大,

抛物线的开口越小；⑷越小，抛物线的开口越大。

尸加y=(Dr+ky=a(x-h)2)=a(x-h)2+ky-ax^+bx+c

b

对称轴y轴y轴x=hx=hx=——

2a

(b4ac-t2、

(0,k)3,0)(h,k)(-----,--------)

(0,0)2a4a

顶点

a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；〃<（）时，顶点是最高点，此时y芍最大

值。最小值（或最大值）为0伏或若三）。

4a

xV0（/7或一刍时，y随x的增大而减小；x>0（〃或一刍时，），随工的增大而增大。

增a>0

即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，），随x的增大而增大。

减

x<O（h或一刍时，丁随x的增大而增大；上>0（人或一枭时，y随x的增大而减小。

性

a<0

即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，），随x的增大而减小。

【题型1二次函数的顶点式与一般式的互化】

【例1】<2023春安徽阜阳•九年级校考阶段练习）抛物线y=ax2+2ax+a24-。的顶点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】将抛物线化为顶点式，求出顶点坐标，即可求解.

【详解】解：y=ax2+2ax4-a2+a=a(x+l)2+a2

顶点坐标为(一1,小)

由题意可得：QHO,所以

顶点位于第二象限，

故选：B

【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是正确求得顶点坐标.

【变式(2023春,全国•九年级专题练习)将二次函数＞=%2-4%+3化为3/=。(工一771)2+攵的形式，下

列结果正确的是()

A.y=(x+2)2+1B.y=(x-2)2+1C.y=(x+2)2-1D.y=(x-2)2-1

【答案】D

【分析】利用配方法整理即可得解.

【详解】解：y=x2-4%+3

=(x2-4x4-4)+3-4

=(x-2)2-1

即:＞，=(%-2)2-1.

故选：D.

【点睛】本题考查了利用配方法把二次函数的一般形式化为顶点式，熟练掌握和运用利用配方法把二次函数

的一般形式化为顶点式的方法是解决本题的关键.

【变式1-2](2023春・河北承德•九年级统考期末)学完一元二次方程和二次函数后，同学们发现一元二次方

程的解法有配方法，二次函数也可以用配方法把一般形式y=ax2+bx+c(a#0)化成y=a(x-h)2+k的

形式.现有甲、乙两位同学通过配方法将二次函数丫=久2-4%+5化成、=。(无一九)2+*的形式如下：

甲：乙：

y=x2-4x+5y=x2-4x4-5

=x2-4x+4-4+5y—5=x2—4x

=(X-2)2+(-4+5)y—5+4=——4x+4

=(X-2)2+1y-\=(x-2)2

y=(x-2)2+1

两位同学做法正确的是（）

A.甲正确，乙不正确B.甲不正确，乙王确

C.甲、乙都正确D.甲、乙都不正确

【答案】C

【分析】此题根据配方的步骤结合利用到的等式性质判断即可.

【详解】解：两位同学做法都正确，甲同学利用配方的要求只对函数式右边的整式同时加或者减同一个数原

式结果不变进行配方；乙同学对利用等式的性质对函数式两边同时进行加减配方，故都正确；

故答案选：C.

【点睛】此题考查了配方法的实际配方过程，涉及到等式性质，难度一般.

【变式1-3]（2023・广东•九年级专题练习）用配方法把二次函数y=2/-3%+1写成旷=。（％-九）2+忆的

形式为________

【答案]y=2（*_*z_,

【分析】本题直接利用配方法将原式变形求出答案即可.

【详解】解：y=2x2-3x+l

2

=2（x-|x）+1

=2|3）20+|

=2（x±）2」.

48

故答案为y=2（%_}2_：

【点睛】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确掌握配方法是解题关键.

【题型2根据二次函数的解析式判断其性质】

【例2】（2023春•九年级单元测试）在函数①y=3/；②y=#+i；③”一步一中，图象开口大小

按题号顺序表示为（）

A.①〉②,③B.①,③〉②C.②）③〉①D.②〉①〉③

【答案】C

【分析】由于抛物线的开口大小是由二次项系数a的绝对值的大小确定，|可越大则开口越小.利用这个结论

即可判断开口大小.

【详解】解：•・•物线的开口大小是由二次项系数a的绝对值的大小确定，|a|越大则开口越小.

()

A.两条抛物线的顶点相同B.两条抛物线的形状相同

C.两条抛物线与y轴的交点相同D.两条抛物线的潮减性相同

【答案】D

【分析】根据二次函数的性质直接判断顶点坐标，对称轴，开口方向及与y轴的交点以及增减性，即可得出

结论.

【详解】解：A.两条抛物线的顶点相同，都是（0,2）,不符合题意；

B.•・・|3|斗3|,・••两条抛物线的形状相同，不符合题意；

C.两条抛物线与y轴的交点相同，都是（0,2）,不符合题意；

D.抛物线yi=2+3x2,当xvO时,y随x的增大而减小，当x>0时,y随x的增大而增大，抛物线为=2-3x2,

当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小，故选项D不正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题主要考查二次函数的性质，利用函数解析式确定顶点坐标，对称轴以及开口方向和与y轴的关

系是解题的关键.

【题型3五点法绘二次函数的图象】

【例3】（2023春・江苏徐州•九年级统考期末）已知二次函数y=%2-2%-3.

（I）完成下表，开在方格纸中画该函数的图象;

X・・.-10123•・•

y••••••

⑵根据图象，完成下列填空：

①当%>1时，y随x的增大而

②当y<0时，人的取值范围是

【答案】（I）见解析；

（2）①增大；②-1VXV3.

【分析】（1）分别将％的值代入函数解析式求出y值，再描点，连线作出图象；

（2）观察图象，当％>1时，），随工的增大而增大，当y<0时，函数图象在“轴下方，即可得x的取值范围.

【详解】（1）解：分别将％=-1,0,1,2,3代入丫=/一2%-3得丫=0,-3,-4,-3,0,

如图，

故答案为：0»—3,—4»—3,0；

（2）观察图象，当为>1时，y随工的增大而增大，当y<0时，函数图象在工轴下方，即一1<工<3.

故答案为：①增大；②一1V%<3.

【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不

等式的关系.

【变式3-1]（2023春・广东河源•九年级校考阶段练习）己知函数图象如图所示，根据图象可得:

（1）抛物线顶点坐标.

（2）对称轴为.

(3)当x=时，y有最大值是.

(4)当时，>-随着x得增大而增大.

(5)当___________时，y>0.

【答案】(一3,2)x=-3-32%<-3-5<x<-1

【分析】(1)由抛物线与x轴两个交点的坐标，根据二次函数的对称性可得顶点坐标；

(2)根据二次函数的性质可得对称轴；

(3)根据抛物线的顶点坐标即可求解；

(4)根据二次函数的性质即可求解；

(5)抛物线在x轴上方的部分对应的x的取值即为所求.

【详解】解:(1)••・抛物线与“轴交于点(一5,0),(-1,0),

二顶点横坐标为乎=-3,

由图可知顶点纵坐标为2,

••・顶点坐标为(一3,2)；

(2)对称轴为x=-3；

(3)当％=-3时，y有最大值是2；

(4)当》<-3时，y随着％得增大而增大；

(5)当―5<%V—1时，y>0.

故答案为(1)(一3,2)：(2)x=-3：(3)-3,2；(4)x<-3；(5)-5<x<-l.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数、=。/+8％+以。。0)的顶点坐标是(-/,甯3,

对称轴直线％=-/,二次函数丫=a/+匕％+C(Q=0)的图象具有如下性质：①当a>0时，抛物线y=

ax2+bx+c(a*0)的开口向上，x<一/时，y随汇的增大而减小；x>一段时，y随汇的增大而增大；x二一/

时，y取得最小值年打，即顶点是抛物线的最低点.②当。<0时，抛物线y=。/+6%+«°于0)的开口

向下，“<一之时，y随汇的增大而增大；时，y随X的增大而减小；时，y取得最大值差声,

即顶点是抛物线的最高点.

【变式3-2](2023春・河南安阳•九年级校考阶段练习)已知抛物线y=-2/+4x+6.

(1)请用配方法将y=-2x2+4%+6化为y=a(x-h)2+k的形式，并直接写出对称轴;

(2)在如图所示的平面直角坐标系巾，画出y=-2/+4X+6的图象：

⑶该抛物线沿工轴向左或向右平移机(m>0)个单位长度后经过原点，求机的值.

【答案】(l)y=-2(x-l)2+8：x=l

Q)见解析

⑶m=1或3

【分析】(1)利用配方法进行求解即可；

(2)画出二次函数的图象；

(3)求出函数与x轴的交点，根据平移规律进行求解.

【详解】(1)y=-2x24-4x+6

=-2(x2—2x)+6

=-2(7-2x4-1)4-64-2

=-2(x-l)2+8

对称轴为：x=1；

(2)当x=0时，y=6；

当),二o时，x=3或%=—1,

所以该图象经过点(0,6),(—1,0),(3,0)；

・••抛物线沿工轴向左平移3个单位长度或向右平移1个单位长度后经过原点,

，m=1或3.

【点睛】本题考杳二次函数的顶点式、画二次函数的图象，二次函数平移的规律，解题的关键是根据掌握二

次函数平移的规律.

【变式3-3］（2023•上海松江・统考一模）已知二次函数y=2/-4x—1.

⑴用配方法求这个二次函数的顶点坐标；

（2）在所给的平面直角坐标系％Oy中（如图），画出这个二次函数的图像；

⑶请描述这个二次函数图像的变化趋势.

【答案】⑴顶点坐标Q-3）

⑵见解析

⑶这个二次函数图像在对称轴直线％=1左侧部分是下降的，右侧部分是上升的

【分析】（1）将函数解析式化为顶点式，即可得出答案；

(2)先求出几个特殊的点，然后描点连线即可；

(3)根据(2)函数图像，即可得出结果.

【详解】(1)解：(1)y=2x2-4x-1=2(x2-2x)-1=2(x-l)2-3

，二次函数的顶点坐标(1,一3)；

(2)解：当％=0时・，y=-1,

当:y=-1时，x=2,

经过点(0,—1),(2,—1)»

顶点坐标为：(1,一3)

图像如图所示：

(3)解：这个二次函数图像在对称轴直线％=1左侧部分是下降的，右侧部分是上升的.

【点睛】本题主要考查二次函数的基本性质及作图方法，熟练学握二次函数的基本性质是解题关键.

【知识点2二次函数解析式的表示方法】

(1)一般式:y=ax?+bx+c(其中a,b,c是常数，a和)；

(2)顶点式:y=a(x—h)2+k(a^0),

它直接显示二次函数的顶点坐标是(h,k)；

(3)交点式:y=a(x—x1)(x—x2)(a^0),

其中X”X2是图象与X轴交点的横坐标.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并

非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与X轴有交点，即y-4。。之()时，抛物线的解析式才可以

用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.

【题型4用待定系数法求二次函数解析式】

【例4】(2023春北京海淀九年级期末)已知二次函数y=ak21bxic经过40,5),B例,0)两点,它的对

称轴为直线％=3,求这个二次函数解析式.

【答案】y=x2-6x+5

【分析】根据待定系数法求解函数解析式即可.

【详解】解：由题意得：

f--=3

j2a

|25a+5匕+c=0'

Ic=5

a=1

解得：b=—6,

c=5

・••该二次函数的解析式为y=/-6%+5.

【点睛】本题主要考查求二次函数解析式，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键.

【变式4-1】(2023春•湖北恩施・九年级校考阶段练习)已知一条抛物线的对称轴是直线x=l,函数的最大

值是y=2,且该抛物线经过坐标原点(0,0).求此抛物线的函数关系.

【答案】y=—2(%—1)2+2

【分析】根据题意得出顶点坐标为(1,2),设抛物线解析式为y=a(x—l)2+2,将点(0,0)代入，得Q+2=0,

即可求解.

【详解】解：•・•对称轴是宜线x=1,函数的最大值是y=2,

，顶点坐标为(1,2),

设抛物线解析式为y=a(x-1尸+2,

将点(0,0)代入，得Q+2=0

解得：。=-2,

，抛物线解析式为y=-2(%一I)?+2.

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键.

【变式4-2】(2023春・河北承德・九年级承德市第四中学校考阶段练习)在二次函数丫=/十匕%+^^中，函数

y与自变量x的部分对应值如下表：

X-2-101234

y72-1-2in27

则〃?的值为()

A.-1B.1C.2D.-2

【答案】A

【分析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，即可求解.

【详解】解：把点(一1,2),(0,-1)代入y=/+b%+c,得：

{li+c=2,解得：(c=-l

Ic=-13=-2

工二次函数的解析式为y=X2-2X-1,

当x=2时，y=4-ZxZ-l=-l.

故选：A

【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，熟练掌握用待定系数法求出二次函数的解析式的方法是解题

的关键.

【变式4-3](2023•全国•九年级假期作业)己知抛物线与入轴交点的横坐标为-3和2,且过点(1,-8),它对

应的函数解析式为()

A.y=x2+x-6B.y=-x2-x+6C.y=-2--2z+12D.y=2/+2x-12

【答案】D

【分析】设函数解析式为丫=。。+3)(工一2),将点(1,一8)代入即可求得〃的值，可得结果.

【详解】解：设抛物线函数解析式为：y=a(x+3)(x-2),

•・•抛物线经过点(1,-8),

/.-8=a(l+3)(l-2),

解得:a=2,

・•・抛物线解析式为：y=2(x4-3)(%-2),

整理得：y=2x2+2x-12,

故选：D.

【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，设出二次函数的交点式是解题的关键.

【知识点3二次函数的平移】

方法一：在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”.

概括成八个字“左加右减，上加下减”.

任意抛物线y=a(x-h)2+k可以由抛物线y=ax2经过平移得到，具体平移方法如下：

上加下减

2

y=axy=ax+k

向上伏＞0)、下(Av0)平移内个单位m

目*

浜

IA

»

vv

o。

)；

班

0lw(-

A

0laA-

能)O

卡)

卡

赛

一

赛

A三

_

|个

-m>岳

l§启

上加下减_

y=a(x-hy向上供＞0)、卜MvO呼移⑶个单密y^=a(x-hY+k

方法二：

⑴产ad+Zu，+c沿y轴平移:向上(下)平移m个单位，y=a.r+bx-^c变成

y=ax1+bx+c+m(或y=ax1-^bx-\-c-m)

⑵产加+Z?x+c沿x轴平移：向左(右)平移m个单位，产加+6+c变成产。。+加产+3+加)+c(或

y=a(x-m)1+b(x-m)+c)

【题型5二次函数图象的平移变换】

【例5】(2023•陕西榆林・统考一模)把抛物线y=/+bx+c向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得

到抛物线y=/-4x+3,则从c的值分别为()

A.b=­12.c=32B.b=4,c=-3C.b=0,c=6D.b=4.c=6

【答案】D

【分析】将抛物线y=M-4x+3化成顶点式，再根据“左加右减，上加下减”，采取逆推的方法可得抛物线

y=x2+bx+c的解析式.

【详解】解：将抛物线y=X2-4X+3化成顶点式为y=(x-2)2-l,

将抛物线y=X2-4X+3向左平移4个单位，再向上平移3个隼位得新抛物线解析式为y=(x-2+4)2-

1+3,

即y=x2+4x+6,

•••抛物线y=x2+bx+c的解析式为y=x2+4x+6,

b=4»c=6,

故选:D.

【点睛】本题主要考查了二次函数平移的特征，热练掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键.

【变式5-1］（2023春•四川绵阳♦九年级统考期末）将二次函数y=/+2x+2的图象向右平移1个单位，再

向下平移一个单位，得到对应函数图象的解析式为.

【答案】y=/

【分析】先将二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数图象平移规律”左加右减，上加下减''解答即可.

【详解】解：将二次函数y=/+2%+2化为顶点式为：y=（x+1尸+1,

将二次函数y=（%+1尸+1的图象向右平移1个单位，再向下平移一个单位，得到的新图象函数的表达式

为y=0+1-1）2+1-1=X2,

故答案为：y=x2.

【点睛】本题考杳二次函数的平移，熟练掌握二次函数图象平移规律是解答的关键.

【变式5-2］（2023・山西运城・统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线为=-2/+以+。经过平移

后得到抛物线丫2,则抛物线力的表达式为（）

A.y=-2x2-4xB.y=-2x2-4%+1C.y=-2x2+4xD.y=-2x2+

4x4-1

【答案】B

【分析】由平移的性质可得二次项的系数为-2,再结合平移后的抛物线的顶点坐标可得答案.

【详解】解：•・・抛物线为=-2/+bx+c经过平移后得到抛物线丫2,而力的顶点坐标为：（-1.3）,

，•.及=-2（%+1产+3=-2X2-4X+1,即y=-2x2-4x+1；

故选B

【点睛】本题考查的是抛物线的平移的性质，熟记抛物线的平移的性质是解本题的关键.

【变式5-3］（2023春・山东烟台•九年级统考期中）在平面直角坐标系中，如果抛物线y=3/不动，而把x

轴、），轴分别向上、向右平移5个单位，那么在新坐标系中此抛物线的解析式是（）

A.y=3（x—5）2+5B.y=3（x—5）2—5

C.y=3（x+5）2+5D.y=3（x+5）2—5

【答案】D

【分析】该题实际上是将抛物线'向下、向左平移5个单位，根据“左加右减”的规律解答即可.

【详解】解:抛物线y=3/的顶点坐标为（0,0）,

把点（0,0）向下、向左平移2个单位（-5,-5）,

，在新坐标系中此抛物线的解析式为y=3a+5）2-5.

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故Q不变，所以求平移后的

抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解

析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.

【题型6二次函数图象的对称变换】

［例6］（2023・陕西・统考二模）在平面直角坐标系中，将抛物线-（m+l）x+m绕原点旋转180。后

得到抛物线C',在抛物线C'上，当xvl时，）­随人的增大而增大，则，〃的取值范围是（〉

A.?n>1B.m<1C.m>—3D.m<-3

【答案】D

【分析】据题意求得抛物线C'的对称轴和开口方向，并结合“在抛物线C'上，当XVI时，），随x的增大而增大”

作答.

【详解】•・•抛物线C的表达式是y=x2-（?n+l）x+m

・•・抛物线。的开I1向上，对称轴为x="?，

又抛物线C'是抛物线C绕原点旋转180。得到的，

・•・抛物线C'的开口向下，对称轴为％=-等，

・•・抛物线C'上，在对称轴％=-?的左边），随x的增大而增大，

又在抛物线。'上，当》<1时.，），随x的增大而增大，

=解得mW-3.

故选:D.

【，点睛】此题考杳二次函数的图象和性质及中心对称与坐标变换等，熟悉相关性质是关键.

变式6-1］（2023•浙江•九年级假期作'也）先将抛物线y=Q-1产+2关于x轴作轴对称变换，所得的新抛

物线的解析式为（）

A.y=-（x-I）2I2B.y=-（xIl）2卜2

C.y=-(x-I)2-2D.y=-(x+l)2-2

【答案】C

【分析】若抛物线关于％轴作轴对称变换，则图象上所有的点横坐标不变纵坐标互为相反数，据此即可解答.

【详解】抛物线y=(x-l)2+2关于％轴作轴对称变换，

则所得抛物线为一y=(x-I)?+2,即y=-(x-l)2-2.

故选：C.

【点睛】此题考杳了抛物线的轴对称变换，解题的关键是找到对称轴，并熟知关于x轴、y轴的对称点的坐标

特征.

【变式6-2](2023春・江苏•九年级专题练习)将二次函数丫=(%-1)2-4的图象沿直线/=1翻折，所得图

象的函数表达式为()

A.y=-(x-I)2+4B.y=(%+I)?-4

C.y——(x+l)2—6D.y——(x—l)2+6

【答案】D

【分析】根据翻折对称性，写出翻折后所得图象的顶点坐标，即可写出函数表达式.

【详解】解：将二次函数y=(x-l)2—4的图象的顶点坐标是(L—4),沿直线y=l翻折后所得图象的顶点

坐标为(1,6),所以翻折后所得图象的函数表达式为y=-(%-1)2+6,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了根据二次函数的图象的变换求二次函数解析式，明确关于直线y=1翻折前后的两个

图象的顶点坐标特征是解题的关键.

【变式6-31(2023春・北京朝阳•九年级校考期中)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-^(x-4)2+2

可以看作是抛物线y=[/+2经过若干次图形的变化(平移、轴对称、旋转)得到的，写出一种由抛物线

y=^x2+2得到抛物线y=-1(x-4)2+2的过程：.

【答案】抛物线y=：i+2先向右平移4个单位，再关于直线y=2轴对称得到抛物线y=-：(x-4)2+2.

(分析】由抛物线y=+2向右平移4个单位后得到抛物线y=^(%-4/+2后，此时正好与y=-^2+

2关于直线y=2对称，即可得到答案.

【详解】解：•・•抛物线y=1x2+2向右平移4个单位后得到抛物线y=-4尸+2后，正好与y=-^x2+2

关于直线y=2对称，

，抛物线y=-1(x-4)2+2可以看做是抛物线y=^x2+2先向右平移4个单位，再关于直线y=2轴对称

得到的，

故答案为：抛物线y=：/+2先向右平移4个单位，再关于直线y=2轴对称得到抛物线y=-：(％-4)2+

【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，轴对称变化，解题的关键在于能够熟练掌握相关知认进行求解.

【题型7利用二次函数的对称轴、最值求参数】

【例7】(2023•吉林长春・长春市解放大路学校校考三模)已知二次函数y=m/-+2(zn工0),当一1W

“W2时，函数的最大值为y=4,则机的值是______.

【答案】】或一2

【分析】将二次函数配方成顶点式，分机＞0和mV0两种情况分析即可.

［详解】y=mx2-2mx+2=mix2-2x+l）4-2-m=m（x-l）2+2-TH

故该抛物线的对称轴为直线x=1

当相＞。时，抛物线开口向上，且一1WXW2时，函数的最大值为y=4

即x=-1时，y=4

代人求得m=|

当血＜0时，抛物线开口向下，且一14x42时，函数的最大值为y=4

即x=1时，y=4

代人求得m=-2

・・・m的值为彳或一2

故答案为：;或一2.

【点睛】本题主要考查二次函数的顶点式，二次函数的性质，二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类

讨论是解题的关键.

【变式7-1］（2023春•九年级单元测试）已知抛物线＞=%2+（加一1次一：的顶点的横坐标是2,则m的值是

【答案】-3

【分析】由抛物线y=/的顶点的横坐标是2可得抛物线的对称轴为％=一紧=2,即可求

得m的值.

【详解】解：•••抛物线、=/+（加一1）》一；的顶点的横坐标是2.

二对称轴x=一;二?=2,

«cXX

:.m=-3,

故答案为：—3.

【点睛】本题主要考杳了二次函数的性质，由抛物线y=%2+（爪-1）%的顶点的横坐标是2可得抛物线

的对称轴为％=-*=2,是解题的关键.

NX］

【变式7-2](2023春•九年级单元测试)若抛物线y=x24-(m-l)x+(m+3)的顶点在y轴上，则m

【答案】1

【分析】根据顶点在)，轴上，得出该抛物线对称轴为y轴，则-5=-彳=0,即可求解.

ZQ2

【详解】解：根据题意可得：

:抛物线y=x2+(m-l)x+(m+3)的顶点在y轴上，

••・该抛物线对称轴为)，轴，

・bm-1八

••--=------0»

2a2

解得：771=1,

故答案为：1.

【点睛】本颍主要考杳了二次函数的顶点，解撅的关犍是掌握二次函数的对称轴为直线％=-；.

2a

【变式7-3](2023•浙江温州•校考三模)抛物线y=x2-2ax+b的顶点落在一次函数y=-2x+4的图象上,

则b的最小值为.

【答案】3

【分析】首先求出抛物线y=无2-2。%+6的顶点坐标，然后代入一次函数y=-2%+4,然后利用二次函数

的性质求解即可.

【详解】解：y=x2—2ax+b=(x—a)2—a2+b,

，顶点坐标为(。,一。2+b),

•・•抛物线y=x2-2ax+b的顶点落在一次函数y=-2x+4的图象上，

(a,-a2+b)在一次函数y=-2x+4的图象上,

-a2+b=-2a+4

，匕=a2-2a4-4=(a—I)2+3

VI>0,

・•・抛物线开I」向上，

・•・当Q=1时，b有最小值3.

故答案为：3.

【点睛】此题考查了二次函数的最值，二次函数的顶点式，解题的关键是熟练掌握以上知识点.

【题型8利用二次函数的增减性求参数范围】

【例8】(2023•陕西西安•交大附中分校校考模拟预测)已知抛物线y=/-4mx+血，当一2Vx<1时，y的

值随工值的增大而增大，则此抛物线的顶点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】先计算出抛物线对称轴为直线％=—等=2m,再根据抛物线开口向下，得到苏>2小时，)，随k的增

大而增大，结合当-2。<1时，)，随x的增大而增大，得到机工-1,再根据抛物线的顶点坐标，判断出顶点

所在象限.

【详解】解：抛物线的对称轴为x=-等=2m,

•・•抛物线开口向上，

J当％>2m时，)，随工的增大而增大，

丁当一2V%V1时，y随x的增大而增大，

.",2m<-2,即mW—1；

;抛物线的顶点纵坐标为4m2-8m2+m=-4m2+m,

工顶点坐标为(m,-4m2+m),

2

Vm<-1,而-4/+m=-(2m-Dj