中考数学一轮复习专题213 根的判别式【十大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）

专题2L3根的判别式【十大题型】

【人教版】

♦题型梳理

【题型1判断不含字母的一元二次方程的根的情况】................................................1

【题型2判断含字母的一元二次方程的根的情况】..................................................3

【题型3由方程根的情况确定字母的值或取值范围1...............................................................................5

【题型4应用根的判别式证明方程根的情况】......................................................8

【题型5应用根的判别式求代数式的取值范围】...................................................10

【题型6根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】........................................13

【题型7根的判别式与三角形的综合】...........................................................16

【题型8根的判别式与四边形的综合】...........................................................20

【题型9关于根的判别式的多结论问题】.........................................................23

【题型10关于根的判别式的新定义问题】.........................................................27

，举一反三

【知识点一元二次方程根的判别式】

一元二次方程根的判别式：△=b2-4ac.

①当△=b2-4ac>0时，原方程有两个不等的实数根；

②当A=b2-4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；

③当A=b2-4ac<（^、h原方程没有实数根.

【题型1判断不含字母的一元二次方程的根的情况】

【例1】（2023春・山东青岛•九年级统考期末）下列方程中，有两个相等实数根的是（）

A.x2-2x+1=0B.x2+l=0C./-2x-3=0D.x2-2%=0

【答案】A

【分析】根据各选项中各方程的系数，利用根的判别式A=炉-4ac可求出各方程的根的判别式A的值，根据

当A=0时，方程有两个相等的实数根即可得出结论.

【详解】解：A.'.'a=1,b=-2,c=1,

=b2—4ac=（-2）2—4x1x1=0,

工方程有两个相等实数根，故选项符合题意；

B.Va=1,b=0,c=1»

：.X=b2-4ac=02—4xlxl=0—4<0,

，方程无实数根，故选项不符合题意；

C.*.*a=1,b=—2,c=—3,

・•・△=b2-4ac=(-2y-4x1x(-3)=16>0,

・••方程有两个不相等的实数根，故选项不符合题意；

D.Va=1,b=—2,c=0,

.*.△=b2-4ac=(-2)2—4xlx0=4>0,

・••方程有两个不相等实数根，故选项不符合题意；

故选:A.

【点睛】本题考查了•元二次方程根的判别式，牢记“①当A>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△二()

时，方程有两个相等的实数根；③当AV。时，方程无实数根”是解题的关键.

【变式1-1](2023春•九年级课时练习)元二次方程丁-20、十2=0的实数根的个数是()

A.0B.1C.2D.无法判断1

【答案】B

【详解】试题解析：A=b2-4ac=8-8=0/

・•・方程有两个相等的实数根；

故选B.

【变式1-2](2023春・江西•九年级统考阶段练习)下列一元二次方程没有实数根的是()

A.%24-1=0B.%2+2z4-1=0C.x2=4D.x2+x-2=0

【分析】根据一元二次方程的系数及根的判别式，逐一求出选项中一元二次方程的根的判别式么的值，△<

0的选项即为答案.

【详解】解：A选项：•••△二。2—4xlxl=-4<0,

・•・方程/+1=0没有实数根，

••・A选项符合题意.

B选项：•・•△=22-4x1x1=0,

・•・方程/+2x+1=0有两个相等实数根，

・・・B选项不符合题意.

C选项:VA=02-4xlx(-4)=16>0,

・•・方程/=4有两个不相等实数根，

・・・C选项不符合题意.

D选项：•••△=12—4xlx(-2)=9>0,

・•・方程/+%-2=0有两个不相等实数根，

・・・D选项不符合题意.

故答案选：A

【点睛】本题考查了根的判别式，熟记“当△<（）,一元二次方程没有实数根”是解题的关键.

【变式1-3］（2023春・上海长宁•九年级上海市延安初级中学校考期中）在下列方程中，有实数根的是（）

A.x24-2x4-3=0B.V4x+1+1=0

C.^二六D./+8=0

【答案】D

【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可判断A；根据二次根式有意义的条件，即可判断B；根据分式

有意义的条件，即可判断C；根据立方根的定义，即可判断D.

【详解】解：A、,••A=/—4QC=22—4X1X3=—8V0,・••该方程无实数根，不符合题意；

B、移项，得：V4x+1=-1,VV4x+1>0,J该方程无实数根，不符合题意；

C、去分母，得：x=l,当x=l时，无一1=0,J该方程无实数根，不符合题意；

D、移项，得：/二一8,解得：工二一2,・••该方程有实数根，符合题意；

故选:D.

【点睛】本题主要考查了一-元二次方程根的判别式；二次根式有意义的条件：分式有意义的条件：立方根的

定义；解题的关键是熟练掌握相关知识点，并灵活运用.

【题型2判断含字母的一元二次方程的根的情况】

【例2】（2023春•安徽合肥・九年级统考期中）已知关于x的方程办2一（1一。卜一1=0,下列说法正确的

是（）

A.当Q=0时，方程无实数解B.当QH0时，方程有两个相等的实数解

C.当Q=-l时，方程有两个不相等的实数解D.当时，方程有两个相等的实数解

【答案】D

【分析】直接利用一元二次方程根的判别式分析求出即可.

【详解】解：A、当Q=0时，方程为1=0,

解得％=1,

故当a=0时，方程有一个实数根，故A不符合题意;

・•・方程x2+2mx+m（m4-l）=0有两个不相等的实数根.

【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a视）的根的判别式△;b?-4ac：当4>0,方程有两个不相等

的实数根：当^=0,方程有两个相等的实数根：当4V0,方程没有实数根.

【变式2-3］（2023春・福建厦门•九年级厦门市松柏中学校考期末）关于x的一元二次方程/—5x+c=0,

当。=£。时，方程有两个相等的实数根：若将c的值在的基础上增大，则此时方程根的情况是（）

A.没有实数根B.两个相等的实数根

C.两个不相等的实数根D.一个实数根

【答案】A

【分析】先求解亡0=手，再判断当c=C>£o=与，方程/一5%+"0的根的判别式的值的情况，从而可得

44

答案.

【详解】解：•・•关于x的一元二次方程/-5%+c=0,当c=£°时，方程有两个相等的实数粮，

・•・/一5%+无=0有两个相等的实数根，

2

A=（-5）-4t0=0,

解得：

当c=t>t0=B，方程化为"-5%4-1=0,

/.A=（—5）2—4t=25—4t,

由t>片则4025,

4

.\25-4t<0,

・••此时方程没有实数根.

故选A

【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟记根的判别式的含义是解本题的关键.

【题型3由方程根的情况确定字母的值或取值范围】

【例3】（2023春・浙江舟山・九年级校联考期中）在实数范围内，存在2个不同的x的值，使代数式％2—3X+C

与代数式为+2值相等，则c的取值范围是.

【答案】c<6

【分析】根据题意可得方程/-3z+c=x+2有两个不相等的根，即判别式A>0,即可求解.

【详解】解•：由题意得，方程/-3x+c="+2有两个不相等的根，

X3xAc=xI2整理得*2-4x4c—2=0,

:.A=（-4尸-4xlx（c-2）>0,

解得：cV6,

故答案为：eV6.

【点睛】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，熟练掌握一元二次方程的判别式与根的关系是解题

的关键.

【变式3-1]（2023春・北京西城・九年级北京市第三十五中学校考期中）已知关于x的方程租/一3x+1=0

无实数解，则加取到的最小正整数值是.

【答案】3

【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式列出不等式，即可求解.

【详解】解：•・•关于x的方程m/-3x+l=0无实数解.，

当血=0时，原方程为一元一次方程，有解，

当6声0时，原方程为一元二次方程，

:.N=b2-4ac=9-47n<0,

解得：

4

・••则〃，取到的最小正整数值是3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的

意义是解题的关键.

【变式3-2]（2023春・广西梧州,九年级校考期中）关于x的方程/+2（机-2）%+巾2-3血+3=0.

⑴有两个不相等的实数根，求〃?的取值范围；

⑵若方程有实数根，而且，〃为非负整数，求方程的根.

【答案】（l）m<1

（2）x=3或乃=1

【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，即可求解；

（2）首先根据m<1且m为非负整数，可求得m=0,再解方程即可求解.

【详解】（1）解：•・•关于x的方程/+20-2）%+7*-3m+3=0有两个不相等的实数根,

△=[2（m-2）]2—4x1x（m2-37n+3）>0,

解得m<1,

故m的取值范围为m<1：

(2)解：二•关于工的方程/+2(m-2)x+zn?—3m+3=0有实数根，

•••△=[2(m-2)]2—4x1x(m2-3m4-3)>0,

解得mW1,

•••m为非负整数，

•••m=0或m=1,

当仇=。时，原方程化为%2-4%+3=0,

解得与=3,x2=1；

当加=1时，原方程化为/-2%4-1=0,

解得%3=%4=L

所以，原方程的解为％=3或x=1.

【点睛】本题考查了一元二次方程限的判别式及解法，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式及解法足解

决本题的关键.

【变式3-3](2023春・北京平谷・九年级统考期末)关于x的一元二次方程a/—2a%+b+l=0("翔)有

两个相等的实数根仁则下列选项成立的是()

A.若-IVaVO,>7B.若±则0<。<1

abab

C.若0<4<1,则巴<2D.若则-1<〃VO

abab

【答案】B

【分析】根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得。与〃的数量关系，再代入方程求2的值，然后结合

。的取值范围和分式加减法运算法则计算求解.

【详解】解：•・•关于x的一元二次方程a/-2ax+b+l=0("翔)有两个相等的实数根%,

:.△=(—2a)2—4a(b+1)=0,

4a2-4ab-4a=0,

又,.,Qb=0,

:.a-b-\=0,即。=6+1,

:.加-20¥+4=0,

解得：X/=X2=1，

•'Al,

-k-.k--1-.1—_1

abaa-1a(a—1)

当时,即y>o,

abab

即一7j>0,

a(a-l)

••a(a-1)<0»

解得()<4<1

当时，即七一AVO,

abab

即一T-”o,

a(a-l)

：.a(«-l)>0,

即「*或｛「之

解得:a>\或a<0.

故选：B.

【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程根的情况求得。与。之间的等量关系是解

题关键.

【题型4应用根的判别式证明方程根的情况】

【例4】(2023春・广东珠海・九年级统考期末)已知关于工的一元二次方程/一2小%+m2-1=0.

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若方程的一根大于2,一根小于1,求〃?的取值范围.

【答案】(I)见解析

(2)1<m<2

【分析】(1)表示出A,根据△的数值判断即可；

(2)利用公式求出两根，根据两根及其条件列出不等式，并解不等式即可.

【详解】(1)解：依题意，得

'：X=(-2m)2-4x1x(m2-1)=4m2-4m2+4=4>0

・•・方程总有两个实数根：

(2)解；方程/2mx+m2—1=0

由(1)得△=4

...x=-(-2-)±"=zn±1,X,=771+1»X2=m-1,

2x1-1N

丁方程的一根大于2,一根小于1,TH+1>TH-1

.(771+1>2

*-1<1

/.1<m<2.

・••加的取值范围是1VHIV2.

【点睛】本题考查了一元二次方程，相关知识点有：根的判别式、解一元二次方程等，熟悉一元二次方程的

知识点是解题关键.

【变式4-1](2023春•九年级课时练习)已知关于x的一元二次方程27+2mx4-zn-l=0,求证：不论m为

什么实数，这个方程总有两个不相等实数根.

【答案】见解析

【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义计算证明即可.

【详解】证明：△=b2-4ac=(2n)2-4x2x(m-1)=4m2-8m+8=4(m-I)2+4,

V4(m-1)2>0,

.*.4(m-l)2+4>0,即△>(),

・•・不论m为什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根.

【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ay+/xr+c=0(启0)的根与力=〃—4死有女I下关系：①

当1>0时，方程有两个不相等的实数根；②当4=0时，方程有两个相等的实数根；③当/V。时，方程无

实数根.

【变式4-2](2023春•九年级课时练习)已知关于x的一元二次方程/一3%+2=6(％-1).

⑴求证：方程总有两个实数根；

(2)若方程两个根的差是2,求实数m的值.

【答案】(I)见详解

(2)1或一3

【分析】(1)将方程化为一般形式，计算判别式即可；

(2)由因式分解法求出方程的解，根据两个根的差是2方程即可求出加.

(1)证明：x2—(m+3)x+m+2=0,VA=(m+3)2—4(m+2)=(m+l/K),，方程总有两个实数根;

(2)解：x2—(m+3)x+m+2=0,:.(x-1)(x-m-2)=0,.\x/=l,刈=m+2,,方程两个根的差是2,

・,・若m+2-1=2,则m=1；若1一(771+2)=2,则m=-3.，实数m的值为1或-3.

【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式得到方程的根的情况，解一元二次方程，正确学握一元二次方

程的知识是解题的关键.

【变式4-3](2023春,九年级课时练习)已知关于x的一元二次方程(w-2)x+2m-8=0.

(1)求证：方程总有两个实数根.

⑵若方程有一个根是负整数，求正整数〃，的值.

【答案】(I)见解析

(2)1或2或3

【分析】(1)先计算根的判别式的值得到△=(，H-6)2>0,然后根据根的判别式的意义得到结论;

(2)利用求根公式得到x/=,〃-4,芯=2,则〃>4V0,从而得到正整数，〃的值.

【详解】⑴解:证明：•・•△=(w-2)2-4(2m-8)

=nr-12〃?+36

=(w-6)2>0»

・••方程总有两个实数根;

(2)^-b+x^-4ac_m-2±|m-6|

2

XZ=2,

•・•方程有一个根是负整数,

・、〃卜4V0,

，正整数加的值为1或2或3

【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程a&/”+c=0(〃却)的根与A=/-4.c有如下关系：当△>()

时，方程有两个不相等的实数根；当A=0时，方程有两个相等的实数根；当AV0时，方程无实数根.

【题型5应用根的判别式求代数式的取值范围】

【例5】(2023春・浙江温州•九年级校考期中)已知关于义的一元二次方程/-2%+3m=0有实数根，设此

方程的一个实数根为3令y=t2-2t+4m+L则y的取值范围为

【答案】yW4

【分析】由一元二次方程根的判别式先求解mW3,根据一元二次方程的解的定义得出/-2£=3m代入代

数式，进而即可求解.

【详解】解：关于x的一元二次方程M-2x+3m=0有实数杈，

b2-4ac=4-12m>0,

解得：m<3,

设此方程的一个实数根为3

•••tz-2t=-3m

:.y=t2-2t+4m+l

=-3m+4m+1

=m+1

vm<3

Tn+1<4即y<4

故答案为：yW4.

【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义，不等式的性质，熟练的运用一

元二次方程根的判别式是解本题的关键.

【变式5-1］（2023春・安徽合肥・九年级统考期中）关于x的一元二次方程a/+^:+c=0（a工0）有两个相

等的实数根刈，则下列关于2a~+匕的值判断正确的是（）

A.2axQ4-b>0B.2ax0+b=0C.2ax0+b<0D.2ax0+h<0

【答案】B

【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0,表示出这个根，即可得到结论.

【详解】解：••・关于》的一元二次方程以2+版+。=0有两个相等的实数根与，

二b2—4ac=0,且%。=?

则2aX。+b=2a-^+b=—b+b=0.

故选：B.

【点睛】此题考杳了根的判别式，熟练掌握一元一次方程根的判别式的意义是解本题的关键.

22

【变式5-21（2023春•浙江宁波•九年级统考期末）已知实数满足-—mn+层=3,设p=m+mn-n,

则P的最大值为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

2

【分析】由原式得，P=2m-3.将机？一mn+M=3看成关于n的一元二次方程，根据方程有实数解，所

以2=爪2-4（血2一3）20,可得m244,进而得出结论.

【详解】解：将两个等式相加得：P+3=2m2,则P=2m2-3.

要求P的最大值，只需求出7,的最大值.

将机2一6九+九2=3看成关于九的一元二次方程，整理得：n2-mn+m2-3=0.

根据方程有实数解，所以A=m2一Mm?一3）NO.

可得租244,即62的最大值为4.

所以当租2=4时，尸的最大值为5.

故选：C

【点睛】本题考查等式性质，一元二次方程根的判别式，将含有多个参数的等式理解为含参数的一元二次方

程，从而运用方程的知识解决问题是解题的关键.

【变式5-3]（2023春・浙江杭州•九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程%2-2%+m=0有两个不相

等的实数根，设此方程的•个实数根为〃，令y=4后-8匕十3巾+2,则（）

A.y>1B.y>1C.y<1D.y<1

【答案】A

【分析】先根据一元二次方程根的判别式得到m<1,再根据一元二次方程解的定义求出4b2—助=-4m,

进而推出〉=一根+2,由此求解即可.

【详解】解：•・•关于工的一元二次方程/一2%+血=0有两个不相等的实数根，

/.△=（-2）2—4m>0,

Am<1,

•・•此方程的一个实数根为协

At2—2b+m=

.\b2—2b=—m,

/.4b2-8b=-4m,

.*.>■=4h2—8b+3m+2=-4m+3m+2=-m+2,

Vm<1,即一m>—1

.*.>•=-m+2>1,

故选A.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程解的定义，对于一元二次方程a/+b%+

c=0（aH0）,若△=62-4知>0,则方程有两个不相等的实数根，若4=炉-4知=0,则方程有两个相

等的实数根，若A=b2-4acV0,则方程没有实数根.

【题型6根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】

3X+8,

【例6】（2023春・重庆北陪•九年级西南大学附中校考期中）若关于大的一元一次不等式组-+6

.3x+a>4%—5

的解集为％W4,关于x的一元二次方程（。一1）/+3%+1=0有实数根，则所有满足条件的整数。的值之

和是•

【答案】5

【分析】先求出不等式组中不等式的解集，根据不等式组的解集求出Q的范围，再根据根的判别式得出A,。,

求出a的范围，最后取符合条件的整数Q即可.

【详解】解：解不等式手工x+6得：x<4,

解不等式3%+a>4%—5得：xVa+5,

3X+8公

I--x+b的解集为xv4,

{3%4-a>4%-5

，a+5>4,解得Q>-L

•・•关于X的一元二次方程（a-l）x2+3x+l=0有实数根，

=32-4（a-1）>0,Q-1芋0,

解得且1,

综上所述，-1<Q43：且。工1,

・•・所有满足条件的整数，的值是0、2、3,

・•・所有满足条件的整数。的值之和是0+2+3=5,

故答案为：5.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和根的判别式，能求出a的取值范围是解此题的关键，特别注意aH

1.

【变式6-1］（2023春•安徽安庆•九年级安庆市第四中学校考期末）若关于x的一元一次方程一十2丫十上匕十I=

0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（）

【分析】利用判别式的意义得到A=22-4(k8+l)>0,贝丸bvO,然后根据一次函数的性质对各选项进行

判断.

【详解】解：•・•关于工的一元二次方程%2+2%+kb+1=0有两个不相等的实数根，

・・"=22-4(内?+1)>0,

kb<0,

当k>0,b<0时，一次函数经过第一、三、四象限；

当A<0,b)0时，一次函数经过第一、二、四象限.

故选:B.

【点睛】本题主要考查了一元二次函数根的判别式，一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握A=〃一

4ac>0,则方程有两根不相等的实数根;A=b2-4ac=0,则方程有两根相等的实数根;A=b2-4ac<0,

则方程有没有实数根.

【变式6-2](2023春•九年级课时练习)要使关于x的一元二次方程以2+2%-1=0有两个实数根，且使

关于x的分式方程士+皆=2的解为非负数的所有整数Q的个数为()

A.5个B.6个C.7个D.8个

【答案】B

【分析】根据一元二次方程根的情况得到a工0且d=22-4a-(-l)>0解得：a>一1且a工0,再把分式方

程化简求值得：x=-Q+6,因为解为非负数，一Q+6N0且-a+6工4即Q<6HaH2,所以-1<a<6

且a不0,a。2,即可得出满足题意的整数解.

【详解】解：关于x的一元二次方程a/+2x—1=0有两个实数根

皿0去°

=22-4a-(-1)»0

:.a>—1且aH0

关于x的分式方程」7+^=2

去分母得：%-(a+2)=2(%-4)

解得：x=-a+6

•••分式方程的解为非负数

•••-a4-6>0且一。+6H4即Q<6且aH2

-1<a<6且aH0,a。2

•••演足题意的整数a的值为—1,1,3,456

故答案为：B.

【点睛】本题考查一元二次方程根的情况、分式方程的解，注意二次项系数不为0及分式方程的解要有意义，

这是此题的易错点.

【变式6-3](2023•湖北武汉•校联考模拟预测)已知a,b为正整数，且满足=2则。+白的值为()

a2+ab+b249

A.4B.10C.12D.16

【答案】D

【分析】将已知方程整理为一元二次方程，结合方程根的情况，得出k的取值范围，再代入方程即可求解.

【详解】解：。2；：：+1)2=、变形得，49(a+b)=©a?+帅+川)，

Va,b为正整数,

・••存在正整数匕使得a+b=4k①，

.*.G2+ab+b2=49k,即(Q+b]2—ab=49k,

/.ab=(a+b)2-49k=16k2—49〃②，

设a,b关于％的方程为/一4依+(161—49k)=0③，方程有两个正整数解，

・・.A=16k2-4(16/-49k)>0,

."Wk餐，

为正整数,

・•・A的值为1,2,3,4,可证k为1,2,3时方程③无正整数根，

・2

••当k=4时，方程―4依+(16炉一4%)=0得，X-16x4-60=0,解得，xt=10,x2=6,

G4-b=4/c=4x4=16»

故选:D.

【点睛】本题主要考查将分式转化为一元二次方程方程，根据根的情况解一元二次方程的参数，再代入计算,

学握以上相关知识的运用是解题的关键.

【题型7根的判别式与三角形的综合】

【例7】(2023春・广东惠州.九年级校考期中)已知关于x的一元二次方程(a+c)/-2枚+(a-c)=0,其

中分别a、氏c是△/WC的边长.

(1)若方程有两个相等的实数根，试判断△48C的形状；

(2)若△ABC是等边三角形，试求该一元二次方程的根.

【答案】(ISEBC是直角三角形

⑵/=0,不=1

【分析】(1)根据方程有两个相等的实数根，可得A=0,代入化简即可；

(2)根据△ABC是等边三角形，可得a=b=c,将原方程化简求解即可.

【详解】(1)•・•方程有两个相等的实数根，

：・(—2b)2—4(a+c)(a—c)=0,

/.4b2-4a2+4c2=0,

Ac2=b2+c2,

.・・zM8c是直角三角形；

(2)当是等边三角形，

:.(a4-c)x2-2bx+(a—c)=0,

可整理为：2a/_2ax=0,

一%=o,

».x(x—1)=0,

解得：Xi=0,x2=1.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元一次方程，勾股定理，熟知关于x的一元二次方程

ax2+bx+c=0(a*0)：若△>(1,方程有两个不相等的实数根；若A=0,方程有两个相等的实数根；若

A<0,方程没有实数根；是解本题的关键.

【变式7-1](2023春・浙江杭州•九年级校考期中)已知关于文的一元二次方程/一(2k+1)无+H+忆=0

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)若4718c的两边48,的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5,

①若k=3时，请判断aABC的形状并说明理由：

②若A/IBC是等腰三角形，求攵的值.

【答案】（1）见解析

⑵①△48C是直角三角形，理由见解析：②斤的值为4或5

【分析】（1）先计算出A=l,然后根据判别式的意义即可得到结论；

（2）①k=3代入方程，解方程求得AB=3,AC=4,然后利用勾股定理的逆定理即可判断445c是直角三

角形；②把5代入方程，求得女的值，然后判断即可.

【详解】（1）证明：•・•△=[—（2k+1）]2-4（/+k）=i>o,

・••方程有两个不相等的实数根.

（2）解：①k=3时，方程为7一7%+12=0,

解得%1=3,%2=4,

*.AB=3,AC=4,

'：BC=5,

：.AB2+AC2=BC2,

•••△/IBC是直角三角形；

②TA=1>0,

：.ABHAC,

・・"8,力。中有一个数为5.

当x=5时，原方程为：25—5（2女+1）+1+左=0,

即A2-9k+20=0,

解得：3=4,七=5.

当A=4时,原方程为炉-9x4-20=0.

:.勺=4,%2=5.

由三角形的三边关系，得4、5、5能围成等腰三角形，

:・k=4符合题意；

当A=5时，原方程为/一11%+30=0,

解得:%1=5,%2=6.

由三角形的三边关系，得5、5、6能围成等腰三角形，

:・k=5符合题意.

综上所述：k的值为4或5.

【点睛】本题主要考杳了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(aH0),当4=

b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当A=b?-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当A=b?-

4ac<0时，方程没有实数根是解题的关键.也考查了三角形三边的关系以及直角三角形和等腰三角形.

【变式7-2](2023春・浙江金华•九年级校考期中)已知关于x的方程/—(m+l)x+2(m—l)=0.

(1)当方程一个根为x=3时，求用的值.

(2)求证：无论，〃取何值，这个方程总有实数根.

(3)若等腰△48C的一腰长Q=6,另两边氏c恰好是这个方程的两个根.则△48C的面积为.

【答案】(l)m=4

(2)见解析

⑶回

【分析】(1)把无=3代入求解即可；

<2)求出判别式的符号，即可得证；

(3)根据等腰三角形两腰相等，得到方程有一个根为6,代入方程，求出m的值，进而求出另外一个根，据

此即可得解.

【详解】(1)解：当x=3时，方程为9一3(m+1)+2(血-1)=0,

整理得一7几+4=0,

解得771=4：

(2)证明：VA=[-(m+l)]2-4x2(7n-l)

=m2-6m+9

=(m-3)2>0,

,无论力取何值，这个方程总有实数根；

(3)解：•・•等腰的一腰长Q=6,

工方程有一个根为6,

将x=6代入原方程，得：36-6(m+l)+2(m-l)=0,

解得：771=7,

・••原方程为/一8%+12=0,

解得：xr=2,x2=6.

・：2、6、6能组成三角形,

不妨设A8=4C=6,则8c=2,

作18c于D,则80=DC=^BC=1,

：,AD=V62-l2=V35,

・•・该三角形的面枳为：x2xV35=V35.

故答案为：V35.

【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系，以及等腰三角形的定义，一元二次方程的解，

解一元二次方程.熟练掌握相关知识，是解题的关键.

【变式7-31(2023春福建厦门•九年级厦门市松柏中学校考期末)已知关于K的一元二次方程/—(m+5)%+

57n=0.

(1)求证：此一元二次方程一定有两个实数根；

⑵设该一元二次方程的两根为。，b,且6,a,分别是一个直角三角形的三边长，求机的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)〃1的值为：闹或JIT.

【分析】(1)利用根的判别式求出关于，〃的代数式，整理成非负数的形式即可判定炉-4碇20；

(2)把原方程因式分解，求出方程的两个根，分别探讨不同的数值为斜边，利用勾股定理解决问题.

【详解】(1)解：•・,/一(m+5)x+5m=0,

：,h2-^ac=[-(m+5)f-4x5m=m2-10m+25=(?n-5)2>0,

・•・这个一元二次方程一定有两个实数根；

(2)原方程可变为(％-5)(x-m)=0,

则方程的两根为=a=m,x2=b=5,

・•・直角三角形三边为6,5,〃?；

1<m<11,

①若〃?为直角三角形的斜边时，则：m=V52+62=V61；

②若6为直角三角形的斜边时，则：m=倔二号=41.

综上：，〃的值为：闹或低.

【点睛】此题考查利用根的判别式b2-4ac探讨根的情况，以及用因式分解法解一元二次方程，勾股定理等

知识点；注意分类讨论思想的渗透.

【题型8根的判别式与四边形的综合】

【例8】（2023春•四川成都・九年级校考阶段练习）已知：矩形/18C0的两边<氏8C的长是关于方程/一血工+

；一）二0的两个实数根.

24

⑴当〃?为何值时，矩形A8C0是正方形？求出这时正方形的边长；

（2）若AB的氏为2,那么矩形力BCD的周长是多少？

【答案】（l）m=l,矩形A8CZ）是正方形，边长是：

（2）5

【分析】（1）根据正方形的性质可得48=8C,则有关于入•的方程有两个相等的实数根，然后根据一元二次

方程根的判别式可进行求解；

（2）根据题意把工=2代入方程求解,然后再求解方程的解，进而问题可求解.

【详解】（1）解：四边形力8co是正方形，

:.AB=BC.

又・.NB,BC的长是关于x的方程M一旭工+日一；=0的两个实数根，

L4

.*.△=（-771）2-4X停-3=（7H-1）2=0,

Am=1,此时四边形为正方形；

当加=1时，原方程为产一%+；=0,

解得：无1=小=\>

，正方形ABC。的边长是

(2)・・NB的长为2,

・•・把％=2代入原方程，得22-2加+:-：=0,

24

解得m=（.

将血=3代入原方程，得%2-3%+1=0,

解得=1=2,x2-\

，方程的另一根8C=；,

・•・矩形力BCD的周长是2x（2+J=5.

【点睛】本题主要考杳正方形的性质及一元二次方程的应用，熟练掌握正方形的性质及一元二次方程的应用

是解题的关键.

【变式8-1]（2023春・湖南益阳•九年级统考期末）已知口A8C。两邻边是关于x的方程「心+比1=0的两个

实数根.

（1）当相为何值时，四边形ABCD为菱形？求出这时菱形的边长.

（2）若AB的长为2,那么uABCZ）的周长是多少？

【答案】（1）当，〃为2«寸，四边形A8C。为菱形，菱形边长为1;（2）C平行网边话ABCD=6.

【分析】（I）根据根的判别式得出△=nf-4（m-l）=0即可得出m的值，进而得出方程的根得出答案即可；

（2）由AB=2知方程的一根为2,将x=2代入得，4-2m-l=0,解出m的值，此时方程化为：x2-3x+2=0,得

出方程根，进而得出C平行四边留ABCD・

【详解】（1）若四边形为菱形，则方程两实根相等.

/.△=m2-4（m-1）=0

m2-4m+4=0

:.nn=iny=2

方程化为f-2x+1=0

解得：Xl=X2=\

・••菱形边长为1.

（2）由48=2知方程的一根为2,将x=2代入得,4-2w-1=0,

解得：〃-3此时方程化为：P3x+2=0,

解得（x-1）（x-2）=0

解得：A/=l,X2=2

**•C平行四边脑ABCD=2X(1+2)=6.

【点睛】考查了•元二次方程的解法以及菱形的性质等知识，正确应用菱形的性质得出是解题关键.

【变式8-21(2023春・浙江杭州•九年级杭州市采荷中学校考期中)已知关于x的一元二次方程/+(m-5)x-

5m=0.

(1)判别方程根的情况，并说明理由.

⑵设该一元二次方程的两根为小b,且。，。是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长.

【答案】(I)有两个实数根，见解析

(2)5

【分析】(1)根据•元二次方程根的判别式，即可进行解答；

(2)根据矩形对角线相等的性质可得Q=b,则该方程有两个相等的实数根，即可求出机的值，最后将加的

值代入原方程，即可求解.

【详解】(1)解：这个一元二次方程一定有两个实数根

理由：△=b2-4ac=(m-5)2+20m=m2+10m+25=(m+5)2>

V(m+5)2>0,

.\b2—4ac>0,

・•・这个一元二次方程一定有两个实数根；

(2)解：：小》是矩形两条对角线的长，

••G—b»

•・•该一元二次方程的两根为。，b,

・•・/+(机-5)x-5m=0有两个相等的实数根，

，(m+5)2=0,解得m=-5,

这个一元二次方程为/一10%+25=0,解得％=5.

••・这个矩形对角线的长是5.

【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当b2-4ac>

0时，方程有两个不相等的实数根：当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac<0时，方程

没有实数根.

【变式8-31(2023春・广东佛山•九年级校考期中)关于x的一元二次方程，2-+2m-1=0的两个根

4

是平行四边形4BCD的两邻边长.

（1）当m=2,且四边形力BCO为矩形时，求矩形的对角线长度.

（2）若四边形A8C。为菱形，求菱形的周长.

【答案】（1）2710

（2）8

【分析】（I）由m=2可以求出方程的两个根，再由矩形性质即可求值；

（2）由菱形邻边相等得到方程有两等根，再由判别式求值即可.

【详解】（1）解：当m=2时，-x2-2%+3=0

4

整理得：（4-2）（工-6）二0

••X]—2,%2=6

•・•四边形A8CD为矩形

・•・矩形的对角线长为〃J+&2=V22+62=2/10.

（2）解：・・•四边形4BCD为菱形

・•・关于x的一元二次方程:/一mx+2m-1=0有两相等的根

4

:•A=——4x：（2m-1）=0

解得：m=1

此时原方程为：/一%+1=0

4

••X]=%2=2

・•・菱形周长为2x4=8.

【点睛】本题考查一元二次方程与四边形综合，解题的关键是熟练解方程并理解矩形和菱形的性质.

【题型9关于根的判别式的多结论问题】

[例J9]（2023春・河北保定•九年级保定市第十七中学校考期末）己知关于x的方程依2-（2k-3）%+k-2=

0,则①无论出取何值，方程一定无实数根；②k=0时，方程只有一个实数根；③kW：且AH0时，方程有

两个实数根；④无论攵取何值，方程一定有两个实数根.上述说法正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】利用根的判别式，可得出A=9-4k,进而根据各选项的情况得出结论.

【详解】解：关于x的方程kx2-(2k-3)x+k-2=0,

△=[-(2k-3)]2-4k(k-2)=9-4fc,

当A=0时，关于x的方程为3x-2=0,则％

方程只有一个实数根，故②说法正确；

当9一4k20,解得kW则kW：且kHO时，方程有两个实数根，故③说法正确，①④说法错误；

44

综上，上述说法正确的是②③，共2个，

故选：B.

【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，牢记“当AZOE寸，方程有两个实数根”是解题的关键.

【变式9-1](2023春・浙江绍兴•九年级统考期末)己知a(a>l)是关于x的方程%2-8工+/,-。=0的实数

根.下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当a=t+l时，一定有匕="1；③〃是此方程的根；

④此方程有两个相等的实数根.上述说法中，正确的有()

A.®®B.®@C.①③D.③④

【答案】C

【分析】根据一元二次方程根的定义求出b=Q,以及根的判别式判断根的情况，进一步可得结论.

[详解]解：・・・Q(a>1)是关于A-的方程/一b%+b-Q=0的实数根，

.*.a2—ab+b—a=0,

整理得，(。-1)(。-b)=0

VG>1,

a-1>0,

.\a-b=0,即b=a；

①4=d2-4xlx(b-a)=a2-4xlx(a-a)=a2>l,

•••此方程有两个不相等的实数根，故①说法正确；

②二"=a,

，当a=t+1时，一定有b=£+1,故②说法错误；

③•・・Q(Q>1)是关于工的方程/一bx+b-a=O的实数根.且力=a,

・•・£也是关于x的方程/一bx+b-a=0的实数根.故③说法正确；

④此方程有两个不相等的实数根，故④说法错误：

所以，正确的结论是①

故选：c.

【点睛】本题主要考查了•元二次方程的解的意义，•元二次方程根的判别式，熟练掌握运用根的判别式判

断根的情况是解答本题的关键.

【变式9-2](2023春・浙江杭州•九年级校考期中)对于代数式ax2+bx+c(。工。，小b,c为常数)①若

b2-4ac=0,则a/+匕》+c=0有两个相等的实数根；②存在三个实数m。nHs,使得am?+bm+c=

22

an+bn+c=as+bs+c；③若a/+/)%+(?+2=0与方程[x+2)(x—3)=0的解相同，则4Q—2b+

c=-2,以上说法正确的是.

【答案]®