中考数学考试易错题-易错06圆（六大易错分析+举一反三+易错题通关）（解析版）

易错06园

弦的圆周角问题卜.易错点一：忽略了两个圆周角

平行弦问题卜一易错点二：忽略两弦与圆心的位互

切线的判定及衽原一易错点三：理解不准确

圆与团的位员奚系］、易错点四：易忽略多种情况

不规则国彩的不同、易错点五：易重复或减少面积

三角形的内心和外心I易错点六：;昆清两心的构成

易错点一：忽略了两个圆周角

易错提醒：在同一个圆中,一条弦对着两种圆周角，这两种圆周角互补.

e0®®

例I.如图，。0的半径是2,AB是。0的弦，点P是弦AB上的动点,且1W0PW2,则弦AB所对的圆周角的度

B.120

C.60或120D.30或150

【答案】C

【详解】作如图,

E

•・•点尸是弦/山上的动点，jai<0P<2,：.0D-\y

NOA3=30,

.404=120,

:.ZAEB=-ZAOB=60,

2

•・•ZE+ZF=180，

ZF=12().

即弦/夕所对的圆周角的度数为60或120.

故选C.

点睛：圆内接四边形的对角互补.

例2.在半径为1的中，弦入区=正，则弦A/3所对的圆周角的度数为().

A.45°B.30°C.45。或135°D.60。或120。

【答案】C

【分析】本题考查了圆周角定理,勾股定理的逆定理,掌握一条弦所对的圆周角有两种情况是解答本题的关

键.连结04,08,先根据勾股定理的逆定理得到NAO8=90。，再根据圆周角的顶点在优弧和劣弧上两种情

况，分别求出弦48所对的圆周角的度数即可.

【详解】如图，连结OA,0B,

•：OA=OB=1,AB=6,

:.OA2+OB2=AB2,

.,.Z4OZ?=9()0,

当圆周角的顶点在优弧上时，NADB=1NAOB=45。，

当圆周角的顶点在劣弧上时，人8=9()。，

...ADB=360°-90°=270°,

.\ZADB=135°

综上所述,弦所对的圆周角的度数为45。或135。.

故选C.

:易错警示：圆周角定理是重点，同弧（等弧）所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角.直角的圆周角所

:对的弦是直径，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

为W7.・面耳二疝玄而/涵圆£'治京3祸：贝忌刘玄而诵祠而加而赢意

【答案】15。或165。

【分析】本题考查圆周角定理，分弦所对的弧为优弧和劣弧两种情况进行讨论即可.解题时，要注意分类讨

论.

【详解】解：当弦所对的弧为劣弧时，

•・•该弦所对的圆心角是30。，

・•・这条弦所对的圆周角的度数是15。；

当弦所对的弧为优弧时，贝IJ：这条弦所对的圆周角的度数是180。-15。=165。；

故答案为：15。或165。.

变式2.已知A4为々的弦，沿43折叠刈圆心。恰好落在上，则弦A4所对的圆周角的度数为.

【答案】60。或120。

【分析】本题考查了折叠的性质，1员I的基本概念，等边三角形的性质，解题关键是〃数形结合”.由沿A3折

叠0a圆心。恰好落在。。上点。‘，”J得△08。是等边三角形，即可得NAO8,再由圆的基本蹴念即可求

解.

【详解】解：沿A8折叠）0,圆心〃恰好落在。。上点。，00,交A8「点C如图：

由折叠可得：OB=O'B,O4=O'4,

；.OB=O'B=O（y,

.•..080'是等边三角形，

.­.Z(7OB=60o,

：.ZAOB=12(T,

・••弦A8所对的圆周角的度数为：60°或120°

故答案为：60。或120。

变式3.如图，GO的半径为1,A3是0。的一条弦，且31,则弦48所对的圆周角的度数为.

【分析】连接Q4,0B,判定△A08是等边三角形，再根据圆周角定理可得NC=；/AO8=30。，根据圆内接

四边形的性质，即可得到答案.

【详解】解：如图：连接OA,05,在优弧/18上取一点C在劣弧月月上取一点〃

AB=\,1。的半径为1,

/.0A-OB=AB,

.•.AAOA是等边三角形，

.:/A0Ba,

・•・NC」2408=3()。，

2

.:/A06=1800-/C=150°,

，弦AB所对的圆周角的度数为30。或150。.

故答案为：30。或150°.

【点睛】本题考查的是圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握同弧所对的圆周

角是圆心角的一半是解题的关键.

变式4.线段是圆内接正十边形的一条边,贝IJ加，所对的圆周角的度数是度.

【答案】18或162/162或18

【分析】作出图形，求出一条边所对的圆心角的度数，再根据圆周角和圆心角的关系解答.

圆内接正十边形的边力。所对的圆心角Z1=36O0^10=36°,

则/2=360。-36。=324。，

根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半，

物所对的圆周角的度数是36。乂：=18。或324秋!=162。.

故答案为：18或162.

【点睛】本题主要考查了正多边形的中心角、圆周角定理等知识，解题关键是熟练掌握圆周角和圆心角的

关系,并要注意分两种情况讨论.

1.已知弦A8把。的周长分成1:3的两部分，则弦A8所对•的圆周角的度数为.

【答案】45。或135。

【分析】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质，以及圆心角与弧的关系.此题难度不大，解题的

关键是注意数形结合思想的应用.先根据题意画出图形，然后由圆的一条弦1月把圆周分成1:3两部分，求得

/AO8的度数，又由圆周先定理，求得NACB的度数，然后根据圆的内接四边形的对角互补，求得/A/用的

度数,继而可求得答案.

【详解】解：,•弦A8把。分成1:3两部分，

/.Z4OB=-x36()o=90o,

4

ZACH=-ZAOB=45°,

2

四边形AO3C是：。的内接四边形，

ZADB=I8O0-Z4C«=135°.

「•弦AB所对的圆周角的度数为45°或135。，

故答案为45。或135。.

A

D

2.已知A8是半径为6的圆的一条弦，若A8=6JJ,贝IA8所对圆周角的度数是（)

A.60°B.30。或150。C.60。或120。D.120°

【答案】C

【分析】根据垂径定理和正弦定义求得NAOC=60°,进而得到/AO8的度数，再根据圆周角定理和圆内接

四边形的对角互补求解即可.

【详解】解：如图，OCJ_A8于C则AC=BC=gA8=3G,

在RlOAC中，0A=6,AC=36

・••/sc_AC_氏

••sinNAOC=---=—>

OA2

JZAOC=60。，

•：OA=OB,OC1AB,

・•・ZA?OC=ZAOC=60°,

・•・ZAOB=2ZAOC=\20°,

・•・^ADB=-^AOB=60°,

2

•••四边形AZME是圆内接四边形，

二^AEB=180°-ZADB=120°,

故A3所对圆周角的度数是60。或120。，

故选：C.

【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、解直角三角形以及圆内接四边形的性质,

熟练掌握圆周角定理是解答的关键.

3.在半径为5的弦A6=5,则弦A8所刈的圆周角的度数为.

【答案】30。或150°

【分析】本题考查了圆周角定理,1员I内接四边形对角互补；

弦所对的弧有优弧和劣弧,故弦所对的圆周角也有两个,它们的关系是互补关系;弦长等于半径吐弦所对的

圆心角为60°.

【详解】解:如图，弦A8所对的圆周角为NC,NO,

连接OA、OB,

因为4B=OA=O8=5,

所以，ZAQ8=60°,

根据圆周角定理知，NC=g/AOB=30。，

根据圆内接四边形的性质可知，ZD=180°-ZC=150°.

所以,弦AB所对的圆周角的度数30。或150°.

故答案为：30。或150。.

4.在，。中，NAO4=84。，则弦所对的圆周角的度数为.

【答案】42。或138。

【分析】画出图形,可知弦A/3所对的圆周角有两个，根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，“圆的内

接四边形对角互补”即可求解,本题考查圆周角定理和圆的内接四边形的性质，解题的关键是注意弦所对的

圆周角有两个，且互补.

【详解】解：如图，/AC3和都是弦A8所对的圆周角，

弦AB所对的圆心角ZAOB=84。,

ZACB=-NAOB=42°,

2

四边形4OAC是：。的内接四边形，

ZAZ)8+NAC8=180。，

Z4DB=l80°-ZACfi=138°,

故答案为:42。或138。.

5.己知半径为/■,弦AB=r,则AD所对圆周角的度数为.

【答案】30°或150°

【分析】先计算出N40B的度数，根据圆周角定理即可求出-C的度数，再根据圆的内接四边形定理，可得

的NADB度数,这两个角都是弦仍所对的圆周角.

【详解】解：如图，

。中Q4=O8=A-

,ZAOB=60°,

：.ZC=-ZAOB=30°,

2

•••四边形是。的内接四边形，

・•・ZC+Z4DB=180°,

・•・zfADB=180o-30°=I50°,

・•・弦历所对的圆周角的度数是3。°或150°.

故答案为：30。或150°.

【点睛】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形定理，熟练掌握这两个定理是解题的关键.注意：圆当中

一条弦对了两条弧,也就对了两个圆周角，做题时防止漏掉一个解.

6.如图，四边形4BC。内接于《9,OC=4,AC=4X/L

⑴求点。到AC的距离；

⑵求出弦AC所对的圆周角的度数.

【答案】⑴2夜

(2)/3=45°,N氏135°.

【分析】(1)连接物，作仍U力。于〃根据勾股定理的逆定理得到/力叱90°,根据等腰直角三角形的性质

解答；

(2)根据圆周角定理求出N8,根据圆内接四边形的性质计算，得到答案.

【详解】(1)连接制作勿L/C丁〃

VOA=OC=4,4C=45/2,

:.OA2+OC2=42+42=32,AC2=(472)=32,

:.勿?+心力戊

•••△力"为等腰直角三角形，44比=90。，

又1・O〃_LAC,

・•・AH=CH,

：.O*三A。：?叵，即点。至U力。的距离为20；

(2)Q?AOC90?,

二.N比力妗45°,

•••四边形4a力内接于。Q

，/方180°-45°=135°.

综上所述：弦AC所对的圆周角N8=45°,NZM35。.

【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，圆周角定理,勾股定理的逆定理,掌握圆内接四边形对角互补

是解本题的关键.

7.如图，四边形A8CO内接于。0,OC=4,AC=4&.

Dr

A

⑴求点。到AC的距离；

(2)直接写出弦AC所对的圆周角的度数.

【答案】⑴点〃到到4c的距离为2a

(2)弦AC所对的圆周角的度数为45。或135。

【分析】(1)过点。作OE/AC于点£利用勾股定理求解即可;

⑵连接04,利用圆周角定理求出再利用圆内接四边形的性质求出-ADC即可.

【详解】(1)解：过点。作OE/AC于点七则。石一^人。，

'：AC=4立

AC£=2>/2,

在RtCCE中，0。=4,

-\0E=>j0C2-CE2业_(2扃=2立

・••点。到到AC的距离为2及;

(2)解：连接。4,

由(1)知，在Rt.OCE中，0E=CE

・•・NOCE=NEOC=45。,

*：OA=OC,

・•・^OAC=OCA=45°f

・•・Z4OC=90。、

:.ZB=45°,

ZADC=180°-ZB=I80。-45°=135°,

；•弦AC所对的圆周角的度数为45°或135。.

D

【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键.

易错点二：忽略两弦与圆心的位置

易错提醒：求两条弦间的距离时要分类讨论两条弦与圆心的相对位置：两弦在圆心的同侧，两弦在圆心的

异侧.

例3.如图，一下水管道横截面为圆形,直径为260cm，下雨前水面宽为100cm,一场大雨过后，水面宽为

240cm,则水位上升cm.

【答案】70或170/170或70

【分析】过圆心作垂直于弦的线段，构造直角三角形，再分水位分别在圆心上方和下方的两种情况去讨论,

垂径定理与勾股定理结合求解即可.

【详解】解：

如图所示：。石_18,。尸_1弁4、由题意48=1005］，CZ>240cm,

根据垂径定理，DE=-CD=\20cm,BF=-AB=50cm,

22

直径为260cm，半径OD=OB=130cm,

・•・在RtVOED+,OE2=OD2一O炉=13()2-1202=2500,

1.OE=5()cm

在Rt/XOFB中，。尸2=OB2_BF2=13O2_5O2=14400,

OF=120cm

①当C。在圆心下方时,

EF=OF-OE=l20-50=70cm

②当CD在圆心上方时，

EF=OF+OE=120+50=170cm

故答案为：70或170

【点睛】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理、灵活运用分类讨论的思想是解题的关键.

例4.已知。0的直径为20,AB,CI)分别是己0的两条弦，且AB//CD,AB=16,Q)=10,则AB,Cl)之间的距离是.

【答案】5G-6或56+6

【分析】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心0一侧时，如图】所示,过。作OE_LCD,交CI)于点E,交AB

于点F,连接0A,0C,由AB//CD,得到OF_LAB,利用垂径定理得到E与F分别为CD与AB的中点,在直角三

角形A0F中，利用勾股定理求出0F的长,在三角形COE中,利用勾股定理求出0E的长，由OE-OF即可求用

EF的长；当两条弦位于圆心0两侧时，如图2所示，同理由OE+OF求出EF的长即可.

【详解】解：分两种情况考虑：

当两条弦位于圆心0一侧时，如图1所示，

过0作OE_LAB,交CD于点E,交AB于点F,连接0A,0C,

VAB//CD,.\OE1CD,

・・・F、E分别为AB、CD的中点，

AF=BF=-AB=8,CE=DE=-CD=5,

22

在RbCOE中，OC=10,CE=5,

根据勾股定理得：OE=doc，-CE2=11()2-5-=56，

在RtAOF中，OA=10,A尸=8,

2

根据勾股定理得：OF7OA】_AF=J1()2—G=6,

则E尸=OE-O尸=56一6;

ffil图2

当两条弦位于圆心。两侧时，如图2所示，同理可得Eb=OE+OF=5G+6,

综上,弦AB与CD的距离为56-6或5后+6,

故答案为：56-6或56+6.

【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键.

变式1.如图，的半径为4,AB,CO是。的弦，且人两/C。，43=4,CQ=4&，则A8和C。之间的距

离为.

【答案12>/3±2>/2

【分析】作0EJ_AB于E,交CD于F,连结OA,0C,根据平行线的性质等到。尸_LCO,再利用垂径定理得到

AE=；AB,b=再由勾股定理解得OE,OF的长，继而分类讨论解题即可.

【详解】作OE_L于E,交CD于F,连结OA,0C,如图,

AB//CD

:.OFA.CD

:.AE=BE=-AB=2fCF=DF=-CD=2y/2

22

在心△OAE中，

•.-04=4,AE=2

:.0E=^"=26

在2.ObW,

0C=4,CF=2x/2

OF=%-（2扬2=25/2

当圆心0在AB与CD之间时，

EF=OF+OE=2拒+2五

当圆心0不在AB与CD之间时，

EF=OF-OE=2+-2近

即AB和CD之间的距离为2G±2及,

故答案为：2G±2&.

【点睛】本题考查勾股定理、垂径定理、分类讨论等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关

键.

变式2.在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MV为10分米.截面如图，油面宽/仍为6分米,如果再注入

一些油后，当油面宽变为8分米,油面力8上升（）

B.4分米

C.3分米D.1分米或7分米

【答案】D

【分析】实质是求两条平行弦之间的距离.根据勾股定理求弦心距,作和或差分别求解.

解：连接OA.作gL/18于G,

则在直角△物◎利力G=3分米,

因为a=5分米,根据勾股定理得到：06=4分米，即弦49的弦心距是4分米,

同理当油面宽AB为8分米时,弦心距是3分米,

当油面没超过圆心。时，油上升n分米；当油面超过圆心。时，油上升了7分米.

因而油上升了1分米或7分米.

故选:D.

【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，灵活运用是本题解题关键，注意要分类讨论.

变式3.。。的半径是1(),弦A3/7C。，43=16,8=12,则弦A3与CO的距离是()

A.2B.14C.2或14I).7或1

【答案】C

【分析】本题考查了垂径定理的应用.作于£。尸_1。。于£由垂径定理得

==C/=：C£>=6,由于，易得A0、〃三点共线，在RtZ\4OE和RIAOCF中，利用勾

股定理分别计算出OE与O尸，然后讨论：当圆心。在弦人B与CO之间时，人8与CO的距离=OF+OE;当圆

心。在弦A8与CO的外部时，AB与CD的距离=OF-OE.

【详解】解：如图，作O£_LA6于七Of_LC。于门连。4,OC,OA=OC=lO,

•：AB//CD,

:・E、0、尸三点共线,

在RtZXAOE中，OE=ylOA2-AE2=V102-82=6.

在RtOC"中，OF=>]OC2-CF2=V102-62=8,

当圆心〃在弦A8与CO之间时，48与。。的距离OP+OE=8+6=14;

当圆心。在弦A8与CD的外部时：AB与CD的距离OF-OE=8-6=2.

所以A3与。。的距离是14或2.

故选：C.

变式4.已知20的半径为13,弦平行于CO,CO=10,A8=24,求AB和CO之间的距离.

【答案】A8和。。之间的距离为7或17

【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，分当0的圆心。位于A8、CO之间时，当。的圆心。不

在两平行弦A3、8之间时，两种情况分别利用勾股定理和垂径定理求出点。到A3和CO的距离,据此可

得答案.

【详解】解：如图，当。。的圆心。位于48、C。之间时，作OE_L4?于点6并延长EO,交CD于尸

点.分别连接AO、CO.

ABCD,

:・EF，CD,

VCD=10,43=24,

AAE=-AB=\2,CF=-CD=5,

22

在中，由勾股定理得o月=，042一人月2=5,

在RtATF。中，由勾股定理得OE=J℃2_c产=口,

.・.E尸=OE+O尸=5+12=17,

・•・A8和CD之间的距离为17;

如图所示，当。的圆心0不在两平行弦AB、CO之间（即弦48、C。在圆心。的同侧）时,

同理可得：OF=12.OE=5r

：.EF=OF-OE=7,

，A8和C。之间的距离为7;

综上所述，和C。之间的距离为7或17.

1.在半径为4cm的。中，弦切平行于弦仍AB=4&m,/BOD=90。，则/归与5之间的距离是cm.

【答案】26+2或26-2

【分析】根据题意,分析两种/伊的位置情况进行求解即可；

【详解】解：①如图,/1次7〃过点。作G"JL48、GHLCD

在。。中

ZBO£>=90°,GH±AB、GH1CD

JNGOB+/DOH=90。

J4GOB=/ODH

ZOGB=4DHO

*.•</GOB=ZODH

OB=OD

：.AGOBw^DHO(AAS)

・•・BG=OH

,：OGLAB

：.OH=BG=-AB=2y/3

2

22

・•・OG=yJOB-BG="一(2可=2

••・GH=OH+OG=2s/3+2

'：AB//CD

:"B与必之间的距离即GH

••J8与⑦之间的距离为+2

②如图，作O/_LAB、2。，4机连接/1〃

则有四边形如叨是矩形，

:.*PD

•••ZZ?(7D=90°

工/曲£>=45。

,/PDLAB

，AP=PD

*：OF1AB

：.BE=-AB=2yf3

2

/.OE=-BE2="-(2厨=2

,/OD1=OF-+FD2

：.42=(2+PD)1+(2石-

，PQ=2痒2

故答案为：26+2或26-2

【点睛】本题主要圆的的性质、三角形的全等，勾股定理,掌握相关知识并正确做出辅助线是解题的关键.

2.已知力从切是。。的两条平行弦，。。的半径为17cm,AB=3(km,CQ=16a〃，则力从5间的距离为.

【答案】7或23

【分析】过圆心作两条平行线的垂线,根据垂径定理分别在直角三角形中计第即可.

【详解】如图，当两条弦在圆心两恻时:

TAB、5是。。的两条平行弦，

.•.过圆心作MN分别垂直于AB、CD,

则根据垂径定埋可得：BN=15,DM=8,

在Rt/XDMO中，OM=doti1-DM?=A/172-82=15；

同理在Rt^BNO4'，ON=yjOBr-BN1=V172-152=8；

则MN=15+8=23,

同理可得:当两条弦位于圆心同侧时,MN=15-8=7,

故答案为：7或23.

【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理解直角三角形，熟练掌喔垂径定理并仔细计算是解题关键.

3.如图，已知用是半圆。的直径，弦QV/力氏折8./俗=10,则切与用之间的距离是.

【分析】过点。作于〃连接值;先利用垂径定理得到CHM,然后在Rtzxa〃中，利用勾股定理即可

求解.

【详解】解:过点。作。从L8于〃

在RtzXM/中，011=752-42=3,

所以CD与/历之间的距离是3.

故答案为3.

【点睛】此题主要考查垂径定理和勾股定理,熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题关键.

4.若弦AB,切是。〃的两条平行弦，。。的半径为13,月於10,小24,则AB,切之间的距离为

A.7B.17C.5或12D.7或17

【答案】I)

【分析】过0作0E_LAB交AB于E点，过。作0F_LCD交CD于F点，连接0A、0C,由题意可得：

0A=0C=13,AE=EB=12,CF=FD=5,E>F、0在一条直线上,EF为AB、CD之间的距离，再分别解RtZXDEA、RtA

OFC,即可得0E、OF的长，然后分AB,CD在圆心的同侧和异侧两种情况求得AB与CD的距离.

【详解】解：①当AB、CD在圆心两侧时；

过。作OE±AB交AB于E点，过。作OF_LCD交CD于F点,连接0八、0C,如图所示:

•・•半径r=13,弦AB/7CD,且AB=24,CD=10

.*.CA=0C=13,AE=EB=12,CF=FD=5,E.F、0在•条直线上

・・・EF为AB、CD之间的距离

在RtAOEA中，由勾股定理可得：

0E2=0A2-AE2

••-CE=V132-122=5

在RtAOFC中，由勾股定理可得：

OF^-OC-CF2

AEF=OE+OF=17

AB与CD的距离为17;

②当AB、CD在圆心同侧时;

同①可得：0E=5,0F=12;

则AB与CD的距离为:0F-0E=7;

故答案为：17或7.

【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧.也考查了勾股定理以及分

类讨论思想的运用.

5.AB和CD是。0的两条平行弦,AB=6,CD=8,00的半径为5,则AB与CD间的距离为（）

A.1或7B.7C.1D.3或4

【答案】A

【分析】分两种情况：①当AB、CD在圆心两侧时;②当AB、CD在圆心同侧时;利用垂径定理及勾股定理求

出答案.

【详解】解：①当AB、CD在圆心两侧时;

过0作OE_LCD交CD于E点，过。作OF_LAB交AB于F点,连接OA、0C,如图所示：

:半径r=5,弦ABZ/CD,且AB=6,CD=8,

•••CA=0C=5,CE=DE=4,AF=FB=3,E、F、0在一条直线上,

・・・EF为AB、CD之间的距离

在RtAOEC中,由勾股定理可得:

0E2=0C2-CE2

22

/.CE=A/5-4=3,

在RtAOFA中，由勾股定理可得：

0尸=042-AF2

••-CF=752-32=4,

.\EF=OE+OF=3+4=7,

AB与CD的距离为7;

②当AB、CD在圆心同侧时;

同①可得：0E=3,0F=4;

则AB与CD的距离为:OF-OE=1;

综上所述：AB与CD间的距离为1或7.

【点睛】此题考查圆的垂径定理、直角三角形的勾股定理，解题中注意运用分类讨论的思想避免漏解.

6.已知：。的半径长为R=5,弦A4与弦C。平行，48=6,6=8,求间的距离.

【答案】1或7

【分析】先根据勾股定理求出OF=4,OE=3,再分AB、CD在点。的同侧时,AB、CD在点0的两侧时两种情况

分别计算求出EF即可.

【详解】如图，过点。作OEJLCD于E,交AB于点F,

VAB//CD,

ACE1AB,

在RtAAOF中，OA=5,AP=^AB=3,AOF=4,

在RtACOE中,0C=5,CE=；CD=4,・・・0E=3,

当AB、CD在点0的同侧时，AB、CD间的距离EF=OF-OE=4-3=1;

当AB、CD在点0的两侧时,AB、CD间的距离EF。的0F=3+4=7,

故答案为：1或7.

【点睛】此题考查了圆的垂径定理，勾股定理，在圆中通常利用垂径定理和勾股定理求半径、弦的一半、弦

心距三者中的一个量.

7.已知的半径为5cm,弦A8//C。，A8=6cm,CD=8cm,求48与CD间的距离.

【答案】7c“7或1cm

【分析】有两种情况,即AB,CD在圆心0的同侧或两侧两种情况,需分类讨论.

【详解】解：如图①，过。作于/交CO于E,连接OA；OC,

..0E1CD;

由垂径定理得=CE=DE=-CD=4,

-2

:.OF=ylOA2-AF2=4,0E=y/0C°-CE。=3,

EF-OF-OE-\cm;

①

如图②，过。作O产_LAB于f，O£_LC。于E,连接AO,CO,

同理可得。产=①*OE=3cmf

当AB,CO在圆心。的两侧时,

EF=OF+OE=7(cm),

.:A8与CD的距离为7cm或\cm.

②

【点睛】此题主要考查的是勾股定理及垂径定理的应用，需注意AB、CD的位置关系有两种，不要漏解.

易错点三：理解不准确

切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直;②不知道直线与圆有没有公共点

时，作垂直,证垂线段等于半径.

切线性质定理及推论；①圆的切线垂直于过切点的半径;②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；③经

过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

易错提醒：运用判定和性质时,要严格根据方法及定理进行说明,不能凭主观进行判断.

例5.如图，A8是Q。的直径，弦CD_LA4,垂足为点£。尸为©。的切线，A/交COF点G,若A£=3,

【答案】C

【分析】本题考查圆的相关知识，三角形相似的判定及性质，等腰三角形的性质.

连接。。，由题意易证0的半径长,从而在RdODE中，求得ED=JOD2—OE2=2・由。/是。的切线,

得到4ODE+/CDF=90。，又ZEAG+ZAGE=90°,NCOF=ZFGD=ZAGE,得到/EAG=/EDO,从而?.

“吁"。，根据对应边成比例求得EG《进而QG=E。YG3

『过点〃作WCO于点附根据"

I3

三线合一”可得6例=-6。=二，因此由4人£<?-QWG即可解答.

28

【详解】连接。0.

33

加33

•••，0的半径00=04=

2236

135

：.OE=AE-AO=3---=-

66

<C7)_L/W,即NAEQ=90°

2

⑸

・••在RtZ\OO£中，ED=yJOD2-OE2==2,

丁。尸是。的切线,

：.0D±DF

Z.ODF=90°,即NODE+NCDF=90°,

•；ZA£G=90°.

O

ZEAG+ZAGE=9(),

•・•FD=FG,

・•・/CDF=/FGD=ZAGE,

：.4EAG=NEDO,

'：/AEG=NOEO=90。,

・••AEGsDEO,

加“3EG

.AEEG—=_

..——=——，即Hrt25,

DEE0-

O

EG=-

4t

53

•.DG=ED-EG=2--=-.

44

过点，'作「加j_a＞于点M

.*FD=FG,

\GM=-GD=-x-=-,

2248

・•ZAGE=ZFGM,NA£G=NGMG=90。,

•・AEGsFMG,

5

AG_-4-10

8

故选：C

例6.如图，AC是。。的切线,8为切点，连接04,OC.若NA=30。，A8=OC=2x/5,则8c的长度是

C.2GD.4

【答案】B

【分析】本题考查切线性质、正切定义、勾股定理，连接08,先根据切线性质得到2084=90。，再利用正

切定义求得08,然后利用勾股定理求解即可.

【详解】解：连接04,

•••AC是。的切线，

/./OBA=/OBC=90。,

VZ4-300,AB=OC=2y/3,

，OB=AB•tan300=2V5x—=2,

3

・••BC=yl0C2-0B2=J仅豆丫-2?=2&,

故选：B.

变式1.⑴如图①，.4?。中，/。=90。,"＞平分/84C交BC于点D,点。在边A4上，月.。经过A、D

两点,分别交/W、AC于点E、F.求证：是OO的切线：

图①

⑵如图②，.A8C中，NC=90。，用直尺和圆规作P,使它满足以下条件：圆心P在边上,经过点A,且

与边8c相切.（保留作图痕迹，不用写出作法）

图②

【答案】（1）证明见解析

（2）作图见解析

【分析】木题考查了圆的性质、圆的切线的判定、等边对等角、平行线的判定与性质，解题的关键是作出

恰当的辅助线.

连接。。，由04=OD得ZOAD=AODA,再由Z.OAD=NCAD得NODA=ZC4D,从而得OD〃AC,结合

NC=90。可证OO1BC,因0Q为圆的半径，从而得证.

【详解】（1）证明：连接00,如图.

图①

:)0经过力、〃两点，

：・OA=OD,

，4)AD=/ODA,

•・•AO平分N84C

・••^0AD=ZCAD

：.^ODA=ZCAD

：.0D//AC

;ZC=90°,

・•・/ODB=90。,

：.0D_L8C,又点〃在1。上，

・・・8C是。的切线.

⑵根据(1)题的证明过程，所作P如下图.

变式2.如图，BD是'0的直径，力是8。延长线上的一点，点£在：。上，8C_LAE,交AE的延长线于点C

AC交（。于点F,且点E是DF的中点.

H\

IDA

(1)求证：AC是。的切线；

(2)若AD=3,AE=3v/5,CE=75,求AC的长.

【答案】(1)证明见解析

⑵2

【分析】(1)由圆周角定理及等腰三角形的性质可得NEBC=NOAE=NAEO,经过角的转化即可证明

NOEC=90。，再根据切线的判定定理可得答案；

(2)设(。的半径为2；在RtZ\AOE中，由勾股定理可得关于r的方程,求出r的值,再根据等角，利用三角函

数即可求出8c1的值.

【详解】⑴证明：如图，连接

*/B。为直径，

・•・Zr>BE+ZBDE=90°.

又AE_LBC,

/.N£BC+N4EC=90。，

又OB=OE,

J£DBE=NBEO,

又E为。尸中点,

・•・ZEBC=QBE=/BEO,

・•・ZBEO+ZBEC=90°,

即ZOEC=90°

：,OE1AC,

则AC为。的切线.

(2)设。半径为r,

〈AC为。的切线,

・•・ZOEC=90°,

即zMOE为直角三角形，

AAE2+OE2=AO\l^AE=3y/2,4。=3,

A18+r2=（3+r）2,

/•=1.5,

，80=3,00=1.5,

・••在RtZSAOE中,

1.51

AO45~3

・••在RtAABC中,

BC

sinZA而

BC=sinNAxAB=—x6=2,

3

BC=2.

【点睛】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理及锐知的三角函数等知识点,熟练掌握相关性质及定理是

解题的关键.

变式3.如图，己知等腰4A8C,AB=AC,以AB为直径作：。交8c于点〃过〃作。产工AC于点£交加

⑵若CE=6。。=2,求2。的半径.

【答案】(1)证明

⑵毡

3

【分析】本题主要考查切线的性质和判定及特殊角的三角函数的应用，掌握切线问题中的辅助线的作法是

解题的关键.

(D连接0D,证明4ODB=/C,推出AC//OD,即可证明结论成立；

⑵连接AD,在RtCE£＞中，求得利用三角形函数的定义求得NC=30。，ZAOD=60。，在RtAD8中，利用勾

股定理列式计算求得圆的半径即可.

NB=NC,

又・：OB=OD,

:.NB=NODB、

NODB=/C,

AC//OD,

-DFA.AC,

:.OD1DF,

.•.。「是(，。的切线；

(2)连接4),设©半径为，

CE=®CD=2,

ED2=CD2-CE2=22-(V3)2=L

V/「CE退

乂cosZC=-----=——，

CD2

/.ZC=30°,

...ZB=30°,

/.ZAOZ)=60°,

/正是：。的直径.

；.ZADB=9Qo,

AD=—AB=r,

2

•・•AB=AC,

・•・CD=BD=2,

又•.•仞2+4。2=.2

.\?4-22=(2r)2,

.•/=38(负值已舍).

3

变式4.如图，A8是。的直径，CO是：。的弦，A6_LCD,垂足是点〃，过点C作直线分别与A8,AO的

延长线交于点E,F,且NECD=2NBAD.

(1)求证：C尸是的切线；

(2)如果A3=20,CD=12,求AE1的长.

【答案】(1)证明见解析

⑵当

【分析】(1)连接oc,5C,利用圆周角定理，垂径定理，同圆的半径线段,等腰三角形的性质和圆的切线的判

定定理解答即可；

(2)利用勾股定理在RlOCH中求出O”=8,同理求出BC=2jib,4c=6后，利用切线的性质及勾股定理

建立等式解答即可.

【详解】(1)证明：连接OC、3C,如图所示:

他是：。的直径，

/.zACB=90°.AO=OB,

ABLCD,

.•.AB平分弦CD,A3平分CQ,

:.CH=HD,CB=DB,NCHA=9D°=NCHE,

ABAD=ZBAC=NDCB,

NECD=2/BAD,

/.NECD=2ZBAD=2ZBCD,

•/Z.ECD=NECB+/BCD,

/.NBCE=NBCD,

:.ZBCE=^BAC,

\'OC=OA,

：.ZBAC=ZOCA,

:.ZECB=/OCA,

•・•ZACB=90°=ZOCA+ZOCB,

.•.NECB+NOCB=90°,

二.半径CO_LR7,

.•.CF是1。的切线;

(2)解：-AB=20,CD=\2,

在⑴的结论中有40=08=10,CH=HD=6、

在Rt007中，OH=JOC?-C〃2=JlO?-6?=8，则BH=OB-OH=10-8=2,

在RtZk4CH中，BC=dCH2+BH?=2M，

在Rt.AC"中，物=3+0〃=8+10=18,贝==6而,

,:HE=BH+BE,

・••在RlAECH+,EC2=HC2+HE2=62+(2+BE)2,

CF是。的切线，

.，.NOC8=90°,

在RtA.EC。中，EC2=OE2-OC2=(OB+fiE)2-102=(10+BE)2-IO2,

.•.(10+BE)2-102=62+(2+Z?£)2,

解得=

545

/.AE=AB+BE=20+-=—

22

【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理,垂径定理，勾股定理,解题的关键是连接经过切点的

半径是解决此类问题常添加的辅助线.

1.一个边长为4cm的等边三角形/WC与。等高，如图放置，。与4c相切于点C。与AC相交于点/:；

则C石的长为cm

【答案】3

【分析】本题连接OC,并过点。作OF1CE于月根据等边三角形的性质，等边三角形的高等于底边的立

2

倍.已知边长为4cm的等边三角形A8C与。。等高，说明。的半径为即OC=G，又NAC3=60。，故

有NOb=30。，在RtZkOR?中，利用锐角三角函数,可得出“C的长,利用垂径定理即可得出C£的长.

【详解】解：连接OC,并过点。作。“工CE于月

ABB为等边三角形，边长为4,

故高为2百，即OC=Ji,

,•。0与4c相切于点C

.•.zOCB=90°,

又乙4。=60。、故有NOB=30。；

3

在中，可得FC=0C•cos300=1,

O尸过圆心，H.OF1CE，根据垂径定理易知CE=2/C=3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质、切线的性质、锐角三角函数、垂径定理，熟练掌握相关性质并灵

活运用，即可解题.

2.如图，正方形A8C。的边长为J点E是A8边上的一点，将"CE沿着CE折叠至若C/、CE恰

好与正方形/WCQ的中心为圆心的。相切，则折痕CE的长为（)

C.触

D.以上都不对

【答案】c

【分析】此题考查了翻折变换的知识.连接OC,则根据正方形的性质可推出NE6=/次”=；NA8=30。,

在RtBCE中，设BE=X,则CE=2x,利用勾股定理可得出X的值，也即可得出CE的长度.

(详解］解：连接OC,则4DC0=ZBCO,AFCO=ZECO,

B

:.ZDCO-ZFCO=/B8-/EC0,BP/DCF=/BCE,

又QVBCE沿着CE折叠至AFCE,

/BCE=NECF,

ZECF=ZBCE=-/BCD=30°,

3，

在RtBCE中，设BE=x，则CE=2x,

得CE?=BC2+BE2,即4X2=x2+4-,

解得8E=理，

:.CE=2x=—.

3

故选:C.

3.如图，在ABC中，AB=AC,AO平分/8AC,交3c于点〃以AO为直径作9。，交A8于点£交AC于

点F,连接EF交AD千点、G,连接0B交EF千点、P,连接DF.

(1)求证：BC是。的切线;

(2)若OG=3,EG=4,求：

①tanDQ庄的值；

②线段PG的长.

【答案】(1)见解析；

⑵①/②3.

【分析】（1）根据三线合一得到AD/8C,即可证明BC是（。的切线；

（2）①如图所示，连接OE,DF,OE,由角平分线的定义和圆周角定理得到NEM=N%,即N利用三线合

一得到AG_LE尸，利用勾股定理求出OE=5,即可求出AD的长,从而得出Z）G=2,由垂径定理得出G尸，最

后根据正切的定义即可得出答案；

②证明EF//BC,得到△AEGSAABZZ利用相似三角形的性质求出BD=5,证得△OD3,OPG是等腰直

角三角形即可求出PG的长.

【详解】（1）证明：•・•AB=AC,A。平分N84C,

・•・AD1BC,

•••。。是。的半径,

:・BC是。的切线；

⑵解：①连接DE,DF,OE,

•・•AO为O的直径,

,ZA£D=ZA/7>=90°,

「AO平分NB4C,

，/痴9=N物〃，

ZADE=ZADF,

'AE=A尸，

・•・AGLEF,

V0G=3,EG=4,

•••OE=V32+42=5>

・•・AG=8,4。=10,

DG=2,

由垂径定理可得G/=EG=4,

21

tanNDFE=­=—

GF42

②•・•AG1EF,AD1BC,

•・EF//BC,

•・AAEGSAABZ),

.AGEG

.诟—访，

*1()-BD，

•.80=5,

•.BD=OD,

,・4ODB是等腰直角三角形,

•・NOBD=45。,

：EF〃BC,

•・NOPG=/OBD=45。,

•・OPG是等腰直角三角形，

•.PG=OG=3.

【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，三线合一定理，勾股定理，相似三角形的性质与判定等等,

正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

4.如图，在二"C中，AB=AC,A。2BC于点。，少是祀上一点，以BE为直径的。交BC于点£连接OE,

。0,且/DOB=90。.

⑴求证：AC是。的切线；

(2)若"1=1,OC=3,求BE的长