等差数列的概念及其通项公式(二)课件-高二下学期数学北师大版选择性

第2课时等差数列的概念及其通项公式(二)南阳市五中要点一等差数列与一次函数的关系由an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的________，即自变量每增加1，函数值增加d.当d>0时，数列{an}为________，如图甲所示．当d<0时，数列{an}为________，如图乙所示．当d＝0时，数列{an}为________，如图丙所示．斜率递增数列递减数列常数列

项目等差数列一次函数解析式an＝kn＋b(n∈N*)f(x)＝kx＋b(k≠0)不同点定义域为N*，图象是一系列孤立的点(在直线上)定义域为R，图象是一条直线相同点等差数列的通项公式与函数的解析式都是关于自变量的一次整式

等差

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等．(

)(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关．(

)(3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．(

)(4)任意两个实数都有等差中项．(

)√√√√2．已知点(1，5)，(2，3)是等差数列{an}图象上的两点，则数列{an}为(

)A．递增数列

B．递减数列C．常数列

D．无法确定答案：B

3．若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值是(

)A．26B．29C．39D．52答案：C解析：因为5，x，y，z，21成等差数列，所以y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项，所以5＋21＝2y，∴y＝13，∴x＋z＝2y＝26∴x＋y＋z＝39.故选C.4．在△ABC中，三个内角A、B、C成等差数列，则B等于________.60°解析：因为三个内角A、B、C成等差数列，所以2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，所以B＝60°.题型一等差数列与一次函数的关系例1

已知(2，1)，(4，5)是等差数列{an}图象上的两点．(1)求这个数列的通项公式；(2)判断(n，17)是否是{an}图象上的点，若是，求出n的值，若不是，说明理由；(3)判断这个数列的增减性，并求其最小正数项．

(1)根据等差数列图象上的两点求通项公式的一般方法是设出an＝dn＋b，将图象上的点代入，求d，b.(2)判断等差数列增减性的方法主要有两种，一是公差法：d>0递增；d<0递减；d＝0不单调．二是图象法：图象上升递增；下降递减；图象不上升也不下降，不单调．跟踪训练1

在数列{an}中，a1＝3，a10＝21，已知该数列的通项公式是关于n的一次函数，则a2021＝________．4043

题型二等差中项例2

已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，则这三个数分别为________．答案：3，5，7或7，5，3

变式探究已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．

当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间的一项为a，再以d为公差向两边分别设项，即设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当等差数列的项数n为偶数时，可设中间两项分别为a－d，a＋d，再以2d为公差向两边分别设项，即设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，….

题型三等差数列性质的应用例3

(1)在等差数列{an}中，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，则an＝________________．(2)在等差数列{an}中，a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，且ak＝13，则k＝________．2n－7或－2n＋1318

跟踪训练3

(1)在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为(

)A．20B．30C．40D．50(2)设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________．答案：(1)C

(2)35解析：(1)∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，∴a7＝20.∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.故选C.(2)因为{an}，{bn}都是等差数列所以{an＋bn}是等差数列设{an＋bn}的公差为d则(a3＋b3)－(a1＋b1)＝2d∴d＝7∴a5＋b5＝(a3＋b3)＋2d＝21＋2×7＝35.题型四等差数列的实际应用例4

某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解析：设从第1年起，第n年的利润为an，则由题意知a1＝200，an－an－1＝－20(n≥2，n∈N＋)．所以每年的利润an可构成一个等差数列{an}，且公差d＝－20.从而an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，由an＝220－20n<0，得n>11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列．合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．跟踪训练4

某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km(不含4km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，求需要支付的车费．解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．易错辨析混淆等差数列的公共项问题中n的取值致错例5

两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？

1．已知数列{an}的通项公式是关于n的一次函数，a3＝7，a7＝19，则a10的值为(

)A．26B．28C．30D．32答案：B

2．已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是(

)A．