基本初等函数复习课知识总结

知识结构及知识梳理基本初等函数指数与指数函数对数与对数函数幂函数指数指数函数N次方根及其性质根式及其性质分数指数幂有理数指数幂的运算性质定义图像及性质对数对数函数定义运算性质换底公式定义图像和性质定义图像和性质

根式的性质

(1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号

表示.(2)当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号

表示，负的n次方根用符号

表示.正负两个n次方根可以合写为(a＞0)(3)

(4)当n为奇数时，

；当n为偶数时，

(5)负数没有偶次方根(6)零的任何次方根都是零

()()îíì<³-=00aaaa()aann=指数式与对数式1、各种有理数指数的定义：①正整数指数幂：an=a·a···a（n∈N）②零指数幂：a0=1（a≠0）③负整数指数幂：a－n=（a≠0，n∈N）④正分数指数幂：a=（a＞0，n＞1，m、n∈N）⑤负分数指数幂：a－

=（a＞0，n＞1，m、n∈N）1anmnmn√nam√nam12、幂的运算法则：①am．an=am＋n②am÷an=am－n

（a≠0）③（am）n=amn④（ab）m=ambm3、对数：如果ab=N，那么b叫做以a为底N的对数，记为b=logaN。ab=Nb=logaN。（a＞0且a≠1）logaN4、对数恒等式：a=N（a＞0且a≠1，N＞0）5、对数的性质：①0和负数没有对数；②loga1=0；③logaa=1。6、对数的运算法则：①loga(MN)=logaM＋logaN（M，N＞0）③logaMn=nlogaM（M＞0）②

loga=logaM－logaN（M，N＞0）MN7、对数的换底公式：logaN=logbNlogba重要推论：

logab·logba=1，logabn=logabmmn8、以e为底的对数叫做自然对数以10为底的对数叫做常用对数。1．以下四个结论：①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若10＝lgx，则x＝10；④若e＝lnx，则x＝e2.其中正确的是(

)A．①③

B．②④C．①②D．③④答案：C2.给出下列5个命题:(1)负数与零没有对数;(2)1的对数等于零;(3)底的对数等于1;(4)正实数都可以作为对数的底数;(5)正数的对数必定大于零.其中正确的有_______.656131212132)3()6)(2(bababa-¸-（4）题型一：指对运算课堂互动讲练题型二：已知值求代数式的值课堂例题

指数函数与对数函数1、指数函数y=ax(a＞0且a≠1)的图象和性质：a＞10＜a＜1图象性质①x∈R；②y∈(0,+∞);③过定点(0,1)④当x＞0时,y＞1,x＜0时,0＜y＜1④当x＞0时,0＜y＜1,x＜0时,y＞1⑤在R上是增函数.⑤在R上是减函数.xoyxoy底数互为倒数的两个指数函数的函数图像关于y轴对称。xoyxoy2、对数函数y=logax(a＞0且a≠1)的图象和性质：a＞10＜a＜1图象性质①x∈(0,+∞)；②y∈R;③过定点(1,0)④当x＞1时,y＞0,0＜x＜1时,y＜0④当x＞1时,y＜0,0＜x＜1时,y＞0⑤在R上是增函数.⑤在R上是减函数.底数互为倒数的两个对数函数的函数图像关于x轴对称。题型三：概念5．函数y＝ax－1(0＜a＜1)的图象必过定点________．答案：(0,0)7．(2009年高考江苏卷改编)函数f(x)＝(a2＋a＋2)x，若实数m、n满足f(m)＞f(n)，则m、n的大小关系为________．答案：m＞n

题型四：定点与单调性题型五：利用单调性比较大小例2A．y3>y1>y2B．y2>y1>y3C．y1>y2>y3D．y1>y3>y2【答案】

D

(3)log1.10.7与log1.20.7【解析】∵y1＝40.9＝21.8，y2＝80.44＝21.32，,1.8>1.5>1.32.∴根据指数函数的性质可得，y1>y3>y2.故选D.(3)法一：∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2，∴0＞log0.71.1＞log0.71.2.即由换底公式可得log1.10.7<log1.20.7.法二：作出y＝log1.1x与y＝log1.2x的图象．如图所示，两图象与x＝0.7相交可知log1.10.7＜log1.20.7.[例2](4)

0.32，log20.3,20.3这三数之间的大小顺序是(

)A．0.32<20.3<log20.3B．0.32<log20.3<20.3C．log20.3<0.32<20.3D．log20.3<20.3<0.32答案：C5.若loga2＜logb2＜0，则()(A)0＜a＜b＜1(B)0＜b＜a＜1(C)1＜b＜a(D)0＜b＜1＜a

B[例3]解关于x的不等式（6）（0，2）题型六：利用单调性解不等式----关键：化同底

题型七：求定义域与值域不为零为非负数不为零大于零且不等于1大于零课堂互动讲练∴函数的定义域为(－∞，－2)∪(－2，－1]∪[1,2)∪(2，＋∞)．课堂互动讲练课堂互动讲练例3已知f(x)＝log4(2x＋3－x2)，(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)的最大值，并求取得最大值时的x的值．例2.若指数函数在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a等于_______.涉及值域问题关键是画图像，若直接不能画出的换元之后画图。【解】

(1)先求定义域得，x∈(－1,3)，由于u＝2x＋3－x2＝－(x－1)2＋4在区间(－1,1]上是增函数，在区间[1,3)上是减函数，又由y＝log4u在(0，＋∞)上是增函数，故原函数的单调递增区间为(－1,1]，递减区间为[1,3)．课堂互动讲练(2)因为u＝－(x－1)2＋4≤4，当x＝1时，u＝4，所以y＝log4u＝log44＝1，所以当x＝1时，f(x)取最大值1.【失误点评】最易忽视函数定义域．解：由例3解析知，函数的增区间为[1,3)，减区间为(－1,1]，无最大值，只有最小值1.课堂互动讲练互动探究练习：函数y＝log3(9－x2)的定义域为A，值域为B，则A∩B＝________.解析：由9－x2>0⇒－3<x<3，则A＝(－3,3)，又0<9－x2≤9，∴y＝log3(9－x2)≤2，则B＝(－∞，2]．∴A∩B＝(－3,2]．答案：(－3,2]三基能力强化

例4当x∈[2,8]时，求函数 的最大值和最小值.

例5已知集合A={x|log2(-x)<x+1},函数f(x)=ln(2x+1)的定义域为集合B，求A∩B.A（1）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（）

A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度题型八：函数图像与奇偶性C(8)已知有是奇函数，则常数m的值=______.(10)方程log3x＋x＝3的解的个数————

(11)方程loga(x+1)+x2＝2(0＜a＜1)的解的个数是()(A)0(B)1(C)2(D)无法确定C三、解答题解：（1）由ax-1>0，得ax>1。当a>1时，ax>1的解集是当0<a<1时，ax>1的解集是(0,+∞)；(-∞，0).（2）当a>1时，y=logau是增函数，u=ax-1是增

函数，从而函数f(x)=loga(ax-1)在(0,+∞)

上是增函数，

同理可证：当0<a<1时，函数f(x)在(-∞,0)

上也是增函数.一、选择与填空：1.给出下列5个命题:(1)负数与零没有对数;(2)1的对数等于零;(3)底的对数等于1;(4)正实数都可以作为对数的底数;(5)正数的对数必定大于零.其中正确的有_______.2.下列函数中,其图象与函数y=2x图象关于y轴对称的是()3.如果0<a<1,且x>y>1,则下列不等式中正确的是()4.如果lgm=b-lgn,则m等于()5.已知则6.对数式中，实数a的取值范围是_________.7.下列关系式中，成立的是()8.函数的定义域是

，值域是

.9.若指数函数在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a等于_______.10.当a＞0且a≠1时，函数f(x)=ax-2-3必过定点

.11.已知－1<a<0，则三个数由小到大的顺序是

.12.已知，则下列正确的是(）A．奇函数，在R上为增函数B．偶函数，在R上为增函C．奇函数，在R上为减函D．偶函数，在R上为减函数13.已知有是奇函数，则常数m的值=______.14.已知函数f(x)的定义域是（1，2），则函数的定义域是

.15.设时,x的取值范围是_____.幂函数1、定义：形如y=xn（n是常数）叫做幂函数。2、在高考中n限于在集合{－２，－1，－，，，1，2，3}中取值。1212133、图象与性质：n＜0n＞1n＝10＜n＜1xyo①定义域、值域、奇偶性：视n的情况而定；②当n＞0时在(0,＋∞)为增函数，当n＜0时在(0,＋∞)为减函数；③当n＞0时图象都过(0,0)和(1,1)点;

当n＜0时过(1,1)点.D6．已知函数(a＞1).

（1）判断函数f(x)的奇偶性；

（2）证明f(x)在(－∞，+∞)上是增函数.5.如图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是()

(A)a＜b＜1＜c＜d(B)a＜b＜1＜d＜c(C)b＜a＜1＜c＜d(D)b＜a＜1＜d＜c

=111.比较下列各组中两个值的大小，并说明理由.2．设函数.(1)确定函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)证明函数f(x)在其定义域上是单调增函数；2．设函数.(1)确定函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)证明函数f(x)在其定义域上是单调增函数；1