5道微分方程计算练习题及答案B10

5道微分方程计算练习题及答案1.二阶常微分方程5y''+86y'=0的通解主要内容：本文通过一阶微分方程分离变量法、一阶齐次微分方程和二阶常系数微分方程通解计算，介绍二阶常微分方程5y''+86y'=0通解的计算步骤。主要步骤：※.分离变量法由5y''=-86y'有：5d(y')=-86y'dxeq\f(5d(y'),y')=-86dx,两边同时积分有：5eq\i(,,\f(d(y'),y'))=-86eq\s\up5(\i(,,))dx，即：5eq\s\up5(\i(,,))d(lny')=-86eq\s\up5(\i(,,))dx，5lny'=-86x+C00,对方程变形有：eq\f(dy,dx)=eeq\s\up12((-eq\f(86x,5)+eq\f(C00,5)))=C01eeq\s\up10(-eq\f(86x,5)),再次积分可有：eq\s\up5(\i(,,))dy=C01eq\s\up5(\i(,,eeq\s\up10(-eq\f(86x,5))dx))，即：y=-C01*eq\f(5,86)eq\s\up5(\i(,,eeq\s\up10(-eq\f(86x,5))deq-\f(86x,5)))=C1eeq\s\up10(-eq\f(86x,5))+C2。※.一阶齐次微分方程求解因为5(y')'+86y'=0，即：(y')'+eq\f(86,5)y'=0，按照一阶齐次微分方程公式有：y'=eeq\s\up12(-eq\s\up5(\i(,,eq\f(86,5)dx)))*(eq\s\up5(\i(,,0*eeq\s\up12(eq\s\up5(\i(,,eq\f(86,5)dx)))dx))+C0)，进一步化简有：y'=C0eeq\s\up10(-eq\f(86x,5))，继续对积分可有：eq\s\up5(\i(,,))dy=C0eq\s\up5(\i(,,eeq\s\up10(-eq\f(86x,5))dx))，即：y=-C0*eq\f(5,86)*eq\s\up5(\i(,,eeq\s\up10(-eq\f(86x,5))deq-\f(86x,5)))=C1eeq\s\up10(-eq\f(86x,5))+C2。※.二阶常系数微分方程求解该微分方程的特征方程为5r2+86r=0，即：r(5r+86)=0，所以r1=-eq\f(86,5)，r2=0。此时二阶常系数微分方程的通解为：y=C1er1x+C2er2x=C1eeq\s\up10(-eq\f(86x,5))+C2。2.微分方程y'=eq\f(5x-8y,8x+6y)的通解计算步骤主要内容：本文通过换元法，介绍计算微分方程y'=eq\f(5x-8y,8x+6y)的通解的计算过程。主要过程：根据题意有：eq\f(dy,dx)=eq\f(5x-8y,8x+6y)，eq\f(dy,dx)=eq\f(5-8*eq\f(y,x),8+6*eq\f(y,x)).设eq\f(y,x)=u，即y=xu，求微分为dy=udx+xdu,有：eq\f(dy,dx)=u+xeq\f(du,dx)，代入微分方程有：u+xeq\f(du,dx)=eq\f(5-8u,8+6u),xeq\f(du,dx)=eq\f(5-8u,8+6u)-u,微分方程右边通分得到：xeq\f(du,dx)=eq\f((5-8u)-u(8-6u),8+6u)，xeq\f(du,dx)=-eq\f(6u2+16u-5,8+6u)，eq\f((6u+8)du,6u2+16u-5)=-eq\f(dx,x),两边同时取积分得：eq\i(,,eq\f((6u+8)du,6u2+16u-5))=-eq\i(,,eq\f(dx,x)),eq\f(1,2)eq\i(,,eq\f((u+16)du,6u2+16u-5))=-eq\i(,,eq\f(dx,x))，eq\f(1,2)eq\i(,,eq\f(d(6u2+16u-5),6u2+16u-5))=-ln|x|，eq\f(1,2)ln|6u2+16u-5|+ln|x|=c1，xeq\r(6u2+16u-5)=ec1，x2(6u2+16u-5)=C，将u=eq\f(y,x)代入方程得微分方程的通解为：x2[6(eq\f(y,x))2+16eq\f(y,x)-5]=C,6y2+16xy-5x2=C。3.微分方程y'=(9x5-5)y4的计算主要内容：本文通过分离变量微分方程计算法，介绍微分方程y'=(9x5-5)y4的主要计算步骤。主要步骤：因为y'=(9x5-5)y4，所以eq\f(dy,dx)=(9x5-5)y4,由微分方程分离变量计算有：eq\f(dy,y4)=(9x5-5)dx,两边同时取积分，有：eq\i(,,eq\f(dy,y4))=eq\i(,,(9x5-5)dx)eq\i(,,y-4dy)=eq\i(,,(9x5-5)dx)-eq\f(y(-3),3)=9eq\i(,,x5)dx-5eq\i(,,)dx-eq\f(y(-3),3)=eq\f(3,2)*x6-5x+C1，两边同时乘以6，则有：-2*y(-3)=9x6-30x+C将方程变形为：y3(9x6-30x+C)+2=0。4.微分方程y'=(13x8+13)y9的计算主要内容：本文通过分离变量微分方程计算法，介绍微分方程y'=(13x8+13)y9的主要计算步骤。主要步骤：因为y'=(13x8+13)y9，所以eq\f(dy,dx)=(13x8+13)y9,由微分方程分离变量计算有：eq\f(dy,y9)=(13x8+13)dx,两边同时取积分，有：eq\i(,,eq\f(dy,y9))=eq\i(,,(13x8+13)dx)eq\i(,,y-9dy)=eq\i(,,(13x8+13)dx)-eq\f(y(-8),8)=13eq\i(,,x8)dx+13eq\i(,,)dx-eq\f(y(-8),8)=eq\f(13,9)*x9+13x+C1，两边同时乘以72，则有：-9*y(-8)=104x9+117x+C将方程变形为：y8(104x9+117x+C)+9=0。5.微分方程28ydx+(4x2-19x)dy=0的通解计算主要步骤：解：由微分方程的分离变量积分法来求通解。因为28ydx+(4x2-19x)dy=0，所以(4x2-19x)dy=-28ydx，即：(4x2-19x)eq\f(dy,dx)=-28y，进一步变形为：eq\f(dy,y)=28eq\f(dx,19x-4x2),两边同时对x积分得：eq\i(,,eq\f(dy,y))=28eq\i(,,eq\f(dx,19x-4x2))=28eq\i(,,eq\f(dx,x(19-4x))),ln|y|=eq\f(28,19)(eq