数学必修五余弦定理 教案

数学必修五余弦定理教案一、教学目标1.知识与技能目标学生能够理解余弦定理的推导过程，掌握余弦定理的两种表示形式。学生能够运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题：已知三边求三角；已知两边及夹角求第三边。2.过程与方法目标通过对余弦定理的探究和推导，培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，体会从特殊到一般的数学思想方法。在解决问题的过程中，让学生学会运用余弦定理进行简单的数学建模，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。3.情感态度与价值观目标通过合作探究活动，培养学生的团队合作精神和勇于探索的精神。让学生体会数学在实际生活中的广泛应用，感受数学的魅力，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重难点1.教学重点余弦定理的推导过程和理解。余弦定理的应用。2.教学难点余弦定理的向量证明方法。灵活运用余弦定理解决各种解三角形问题。

三、教学方法1.讲授法：讲解余弦定理的基本概念、推导过程和应用方法。2.探究法：引导学生通过自主探究、合作交流，推导余弦定理，培养学生的探究能力和创新思维。3.练习法：通过课堂练习和课后作业，让学生巩固所学知识，提高运用余弦定理解决问题的能力。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）1.展示一个三角形的图形，提问学生：已知三角形的三条边，能否求出三个角？已知三角形的两边及其夹角，能否求出第三边？2.引导学生回顾正弦定理的内容和应用，思考正弦定理能否解决上述问题，从而引出本节课的主题余弦定理。

（二）讲授新课（25分钟）1.余弦定理的推导向量法推导已知在\(\triangleABC\)中，\(\overrightarrow{AB}=\vec{c}\)，\(\overrightarrow{BC}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{CA}=\vec{b}\)，且\(|\vec{a}|=a\)，\(|\vec{b}|=b\)，\(|\vec{c}|=c\)。由向量减法可得\(\vec{c}=\vec{a}\vec{b}\)，两边平方得\(\vec{c}^2=(\vec{a}\vec{b})^2\)。展开\((\vec{a}\vec{b})^2\)可得：\(\vec{c}^2=\vec{a}^22\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}^2\)。根据向量数量积的定义\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cosC=ab\cosC\)，代入上式得：\(c^2=a^22ab\cosC+b^2\)，即\(c^2=a^2+b^22ab\cosC\)。同理可得：\(a^2=b^2+c^22bc\cosA\)；\(b^2=a^2+c^22ac\cosB\)。从三角函数定义推导（以\(c^2=a^2+b^22ab\cosC\)为例）过点\(A\)作\(AD\perpBC\)，垂足为\(D\)。当\(\angleC\)为锐角时，\(CD=b\cosC\)，\(BD=ab\cosC\)。在\(Rt\triangleABD\)中，根据勾股定理\(c^2=AD^2+BD^2\)。又因为\(AD^2=b^2CD^2=b^2(b\cosC)^2\)，所以\(c^2=b^2b^2\cos^2C+(ab\cosC)^2\)。展开并化简得：\(c^2=a^2+b^22ab\cosC\)。当\(\angleC\)为直角时，\(\cosC=0\)，此时\(c^2=a^2+b^2\)，符合\(c^2=a^2+b^22ab\cosC\)。当\(\angleC\)为钝角时，\(CD=b\cosC\)，\(BD=a+b\cosC\)。同样在\(Rt\triangleABD\)中，根据勾股定理可得\(c^2=AD^2+BD^2\)，经过类似的推导也可得到\(c^2=a^2+b^22ab\cosC\)。总结余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即\(a^2=b^2+c^22bc\cosA\)；\(b^2=a^2+c^22ac\cosB\)；\(c^2=a^2+b^22ab\cosC\)。变形可得：\(\cosA=\frac{b^{2}+c^{2}a^{2}}{2bc}\)；\(\cosB=\frac{a^{2}+c^{2}b^{2}}{2ac}\)；\(\cosC=\frac{a^{2}+b^{2}c^{2}}{2ab}\)。2.余弦定理的理解引导学生观察余弦定理的形式，分析其特点。强调余弦定理是勾股定理的推广，当\(\angleC=90^{\circ}\)时，\(\cosC=0\)，余弦定理就变成了勾股定理\(c^2=a^2+b^2\)。

（三）例题讲解（20分钟）1.已知三边求三角例1：在\(\triangleABC\)中，\(a=3\)，\(b=5\)，\(c=7\)，求\(\angleA\)，\(\angleB\)，\(\angleC\)。解：由余弦定理\(\cosA=\frac{b^{2}+c^{2}a^{2}}{2bc}\)可得：\(\cosA=\frac{5^{2}+7^{2}3^{2}}{2\times5\times7}=\frac{25+499}{70}=\frac{65}{70}=\frac{13}{14}\)。利用计算器可得\(\angleA\approx21.8^{\circ}\)。再由\(\cosB=\frac{a^{2}+c^{2}b^{2}}{2ac}\)可得：\(\cosB=\frac{3^{2}+7^{2}5^{2}}{2\times3\times7}=\frac{9+4925}{42}=\frac{33}{42}=\frac{11}{14}\)。利用计算器可得\(\angleB\approx38.2^{\circ}\)。因为三角形内角和为\(180^{\circ}\)，所以\(\angleC=180^{\circ}\angleA\angleB\approx180^{\circ}21.8^{\circ}38.2^{\circ}=120^{\circ}\)。总结解题步骤：首先明确已知条件是三角形的三边。然后选择合适的余弦定理公式求出一个角的余弦值。利用计算器求出该角的度数。再用同样的方法求出其他角的度数。2.已知两边及夹角求第三边例2：在\(\triangleABC\)中，\(a=2\)，\(b=3\)，\(\angleC=60^{\circ}\)，求\(c\)。解：由余弦定理\(c^2=a^2+b^22ab\cosC\)可得：\(c^2=2^{2}+3^{2}2\times2\times3\times\cos60^{\circ}\)\(=4+912\times\frac{1}{2}\)\(=136=7\)。所以\(c=\sqrt{7}\)。总结解题步骤：明确已知条件是两边及其夹角。直接代入余弦定理公式求出第三边的平方。对求出的平方值开方得到第三边的长度。

（四）课堂练习（10分钟）1.在\(\triangleABC\)中，\(a=4\)，\(b=6\)，\(c=8\)，求\(\angleA\)，\(\angleB\)，\(\angleC\)。2.在\(\triangleABC\)中，\(a=5\)，\(c=7\)，\(\angleB=120^{\circ}\)，求\(b\)。3.已知三角形的三边分别为\(3\)，\(5\)，\(7\)，求这个三角形最大角的度数。4.在\(\triangleABC\)中，\(a:b:c=2:\sqrt{6}:(\sqrt{3}+1)\)，求\(\angleA\)，\(\angleB\)，\(\angleC\)。

（学生练习，教师巡视指导，及时纠正学生的错误，最后请几位学生上台展示答案并讲解解题思路）

（五）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学内容，包括余弦定理的推导过程、两种表示形式以及应用。2.强调余弦定理在解三角形中的重要性，它为解决已知三边求三角和已知两边及夹角求第三边这两类问题提供了有效的方法。3.总结解题过程中的注意事项，如准确选择余弦定理公式、注意计算的准确性等。

（六）布置作业（5分钟）1.书面作业：课本第[具体页码]页练习第[具体题号]题，习题第[具体题号]题。2.拓展作业：在\(\triangleABC\)中，已知\(a\)，\(b\)，\(c\)满足\(a^2+b^2=c^2+ab\)，求\(\angleC\)的大小。若\(c=2\sqrt{3}\)，求\(a+b\)的取值范围。3.实践作业：测量学校操场上一个三角形花坛的三条边长，然后利用余弦定理求出三个角的度数，并与实际测量的角度进行比较，分析误差原因。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对余弦定理有了较为深入的理解和掌握。在教学过程中，采