五年级奥数教材

五年级奥数目录

（一）数的整除★★★（被整除也就是找这个数的倍数）

（二）定义新运算★★★（它的符号不同于课本上明确定义或己经约定的符号,

先求出表示定义规则的一般表达式，方可进行运算。）

（三）列方程解运用题****（一些数量关系较复杂的问或较隐蔽的逆向问

题。用算术方法解答比较困难，如果用方程解就简便得多）

（四）抽屉原理*★★（抽屉原理：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那

么至少有一个抽屉中的物品不少于2件）

（五）不规则图形面积的计（不规则图形，为了计算面积，常常

要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规

则图形的和、差关系）

（六）逻辑推理★★★（条件增多，考虑的范围增大）

（七）牛吃草★★★（重点是草的生长速度的的变量）

（A）流水行船★★★（难点在于是逆水行舟还是顺水行舟）

（九）奇数与偶数★★★（根据奇数和偶数的定理，求出几个数的和是什么数）

（一）（十）周期性问题★★★（找出循环，利用除法算式求出余数，最后根

据余数的大小得出正确的结果，考点）

（二）数的整除

如果整除a除以不为零数b,所得的商为整数而余数为0,我们就说a能被b整

除，或叫b能整除如果a能被b整除，那么，b叫做a的约数，a叫做b的

倍数。

数的整除的特征：

（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2.4.6.8、0,

那么这个整数一定能被2整除。

（2）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被

3（或9）整除，那么这个整数一定能被3（或9）整除。

（3）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4

（或25）整除，那么这个数就一定能被4（或25）整除。

（4）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5,那么

这个整数一定能被5整除。

（5）能被6整除的数的特征：如果一个整数能被2整除，又能被3整除,

那么这个数就一定能被6整除。

一、（6）能被7（或口或13）整除的数的特征：一个整数分成两个数，末三

位为一个数，其余各位为另一个数，如果这两个数之差是0或是7（或11或13）

的倍数，这个数就能被7（或口或13）整除。

二、（7）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8

（或125）整除，那么这个数就一定能被8（或125）整除。

三、（8）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位

数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除.

四、例题与方法指导

例1.一个六位数23口56口是88的倍数,这个数除以88所得的商是

或_____.

思路导航：

一个数如果是88的倍数,这个数必然既是8的倍数，又是11的倍数.根据8

的倍数,它的末三位数肯定也是8的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是0

或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是。或」的倍数，从已知的四个数看，

这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框

内填入的数字是相同的，因此这个六位数有两种可能

23血56血或23国56国

又230560-88=2620

238568:88=2711

所以,本题的答案是2620或2711.

例2.123456789口口，这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的

数最小是_____.

思路导航;…

因为36=94,所以这个十一位数既能被9整除，又能被4整除.因为1+2+…

+9=45,由能被9整除的数的特征，(可知口+口之和是0(0+0)、9(1+8,8+1,

2+7,7+2,3+6,6+3,4+5,5+4)和18(9+9).再由能被4整除的数的特征:这

个数的末尾两位数是4的倍数，可知□□是00,04,…，36,…，72,…96.这样,

这个H^一位数个位上有0,2,6三种可能性.

所以,这个数的个位上的数最小是0.

例3.下面一个1983位数333■口44…4中间漏写了一个数字(方框)，己

991个991个

知这个多位数被7整除，那么中间方框内的数字是____.

思路导航：

991个991个

=33-3xIO"3+3n4x10"0+44—4

990个990个

因为111111能被7整除，所以33…3和44…4都能被7整除,所以只要

990个990个

3口4能被7整除，原数即可被7整除.故得中间方框内的数字是6.

例4.有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三

个数是.

思路导航：

三个连续的两位数其和必是3的倍数，已知其和是11的倍数,而3与11互质，

所以和是33的倍数,能被33整除的两位数只有3个,它们是33.66、99.所以有

当和为33时，三个数是10,11,12；

当和为66时,三个数是21,22,23；

当和为99时,三个数是32,33,34.

所以，答案为10,11,12或21,22,23或32,33,34。

［注］“三个连续自然数的和必能被3整除”可证明如下：

设三个连续自然数为n,n+1,n+2,则

n+(n+l)+(n+2)

=3n+3

照规定的法则进行运算。如果没有给出用字母表示的规则，则应通过给出的具体

的数字表达式，先求出表示定义规则的一般表达式，方可进行运算。

二、值得注意的是：定义新运算一般是不满足四则运算中的运算律和运算性质，

所以，不能盲目地运用定律和运算性质解题。

三、例题与方法指导

例L设ab都表示数，规定aAb表示a的4倍减去b的3倍，即aAb=4

Xa-3Xb,试计算52X6,6A5o

解5A6-5X4-6X3=20-18=2

6A5=6X4-5X3=24-15=9

说明例1定义的△没有交换律，计算中不得将△前后的数交换。

例2.对于两个数a、b,规定a^b表示3Xa+2Xb,试计算(5^6)☆7,5

☆(6^7)o

思路导航：

先做括号内的运算。

解(5*6)☆7=(5X3+6X2)☆7=27☆7=27X3+7X2=95

5^(6*7)=5*(6X3+7X2)=5☆32=5X3+32X2=79

说明本题定义的运算不满足结合律。这是与常规的运算有区别的。

例3.已知243=2X3X4,4A2MX5,一般地，对自然数a、b,aAb表

示aX(a+l)X…(a+b-1).

计算(6A3)-(5A2)o

思路导航二

原式二6X7-5X6

=336-30

规定：d△〜十(a十1)十Q十2)十…十(d十bT),其中a,b表示自然数。

例4.求12\100的值。已知xZ\10=75,求x.

思路导航：

(1)原式=1+2+3+…+100=(1+100)X1004-2=5050

(2)原式即x+(x-l)+(x+2)+-+(X+9)=75,

所以

10X+(l+2+3+…+9)=75

10x+45=75

10x=30

x=3

四、巩固训练

1.若对所有b,aAb=aXx,x是一个与b无关的常数；a☆b=（a+b）+2,且（1

△3）*3=1A（3*3）o

求（1A4）*2的值。

五、如果规定:③=2X3X4,④=3X4X5,⑤=4X5X6,……,⑨=8X9X10,

求⑨+⑧-⑦+⑥-⑤+④-③的值o

六、能力提升

1.a*b表示a的3倍减去b的;，例如：

1*2=1X3-2X：=2,根据以上的规定，

计算：①10*6②7*（2*1）.

2.定义新运算为aOb=:

b

①求20（3GM）的值；

②若xQ4=1.35,则x=?

3.有一个数学运算符号。，使下列算式成立：

1234711516.34⑻必

236,5945,6742,115

（七）列方程解应用题

同学们在解答数学问题时，经常遇到一些数量关系较复杂的，或较隐蔽的

逆向问题。用算术方法解答比较困难，如果用方程解就简便得多。它可以进一步

培养我们分析问题和解决问题的能力，抽象思维能力，列方程解应用题一般分

为五步：

（一）审题：（弄清已知数和未知数以及它们之间的关系）

（-）用字母表示未知数；（通常用“X”表示）

（三）根据等量关系列出方程；

（四）解方程求出未知数的值；

（五）验算并答题。

一、例题与方法指导

例L金台小学学生参加申奥植树活动，六年级共植树252棵，比五年

级植树总数的倍少8棵，五年级植树多少棵？

思路导航：

六年级比五年级植树总数的倍少8棵，就是六年级的倍的数少8,等于

六年级植树的总数。等量关系是：五年级的倍一8=六年级的植树总数。

解：设五年级植树x棵，根据题意列方程，得

14-8=252

4

l-x=252+8

4

l-x=260

4

x=260-11

4

x=208

验算：把代入原方程

=1-x208-8=252

左边4

右边=252

左边=右边

x=208是原方程的解。

答：五年级植树208棵。

例2.一瓶农药700克，其中水比硫磺粉的6倍还多25克，含硫磺粉的重

量是石灰的2倍，这瓶农药里，水、硫磺粉和石灰粉各多少克？

思路导航：

这是道比较复杂的“和倍应用题「硫磺粉和水有直接关系，硫磺粉和石灰

也有直接关系，因此应设未知数硫磺粉为X克。水的重量是硫磺的6倍还多25

克，也就是（6x+25）克，石灰的重量就是硫磺粉的重量除以2,也就是克。

等量关系式表不为：

水+硫磺粉+石灰=农药重量

解：设硫磺粉的重量是x克，那么，水的重量是（）克，石灰重量是

克。根据题意列方程，解。

6%+25+xH—x=700

2

7-x=700-25

2

75x=675

x=90

验算：把代入原方程

=6x90+25+90+-x90=700

左边2

右边=700

左边=右边

尤=90是原方程的解。

例3.两袋米同样重，第一袋吃去18千克，第二袋吃去25千克，余下的

第一袋刚好是第二袋的2倍，两袋原来各有多少千克？

思路导航工

题中告诉我们原来两袋大米同样重，解答时可以设两袋大米原来各重x千克,

第一袋剩下的则是千克，第二袋剩下的则是千克。根据题意，第一袋剩下的

大米是第二袋剩下的2倍，也就是说，如果把第二袋剩下的扩大2倍就和第一袋

剩下的相等。

解：设两袋大米原来的重量各为x千克，根据题意，列方程得

（x-25）x2=x-18

2x—50=x—18

2x—x=50—18

x=32

验算：左边

右边=32—18=14

左边=右边

x=32是原方程的解

二、答：两袋大米原来各重32千克。

三、巩固训练

四、1.李红看一本小说，上午看了60页，相当于下午看的页数的又4页，李

红这天共看了多少页小说？

五、2.已知一个长方形的长是20米，如果把它的宽减少4米，新得到一个

长方形，它的面积想法于原来长方形的面积的，原来长方形的周长是多少？

六、3.两根绳共长90米，已知第一根绳长的等于第二根绳长的，求两根绳

各长多少米？

七、拓展提升

1.甲乙两个粮仓共有粮食55万千克，如果甲仓运出，乙仓运出6万千

克，则甲乙两仓存粮相等，甲、乙两仓原来各存取多少万千克？

2.用5千克含盐20*的盐水，如果把它稀释为含盐15%的盐水，需要加水多少

千克？

3.有甲、乙两筐苹果，如果从甲筐取10千克放入乙筐，则两筐相等；如果从两

筐中各取出10千克，这时甲筐余下的比乙筐余下的多5千克。求两筐苹果

原来各多少千克？

虫同学们到郊区野炊。一个同学到老师那里去领碗，老师问他领多少，他说领

55个。又问“多少人吃饭”，他说：“一人一个饭碗，两人一个菜碗，三人一个

汤碗J算一算，有多少人吃饭。

（八）抽屉原理

如果将5个苹果放到3个抽屉中去，那么不管怎么放，至少有一个抽屉中放

的苹果不少于2个。道理很简单，如果每个抽屉中放的苹果都少于2个，即放1

个或不放，那么3个抽屉中放的苹果的总数将少于或等于3,这与有5个苹果的

已知条件相矛盾，因此至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个。

同样，有5只鸽子飞进4个鸽笼里，那么一定有一个鸽笼至少飞进了2只鸽

子。

以上两个简单的例子所体现的数学原理就是“抽屉原理”，也叫“鸽笼原理二

一、抽屉原理1:将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉

中的物品不少于2件。

二、说明这个原理是不难的。假定这n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不

到2件，那么每一个抽屉中的物品或者是一件，或者没有。这样，n个抽屉中所

放物品的总数就不会超过n件，这与有多于n件物品的假设相矛盾，所以前面假

定“这n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到2件”不能成立，从而抽屉原理

1成立。

三、从最不利原则也可以说明抽屉原理1。为了使抽屉中的物品不少于2件，最

不利的情况就是n个抽屈中每个都放入1件物品，共放入n件物品，此时再放入

1件物品，无论放入哪个抽屉，都至少有1个抽屉不少于2件物品。这就说明了

抽屉原理lo

四、例题与方法指导

例1.某幼儿园有367名1996年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋友？

分析与解：1996年是闰年，这年应有366天。把366天看作366个抽屉，将367

名小朋友看作367个物品。这样，把367个物品放进366个抽屉里，至少有一个

抽屉里不止放一个物品。因此至少有2名小朋友的生日相同。

例2.在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？

分析与解：因为任何整数除以3,其余数只可能是0,1,2三种情形。我们将余

数的这三种情形看成是三个“抽屉”。一个整数除以3的余数属于哪种情形，就

将此整数放在那个“抽屉”里。

将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至

少有两个数除以3的余数相同。这两个数的差必能被3整除。

例3.在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是3的倍数？

分析与解：根据例2的讨论，任何整数除以3的余数只能是0,1,20现在,

对于任意的五个自然数，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上

的数，于是可分下面两种情形来加以讨论。

第一种情形。有三个数在同一个抽屉里，即这三个数除以3后具有相同

的余数。因为这三个数的余数之和是其中一个余数的3倍，故能被3整除，所以

这三个数之和能被3整除。

五、第二种情形。至多有两个数在同一个抽述里，那么每个抽屉里都有数,

在每个抽屉里各取一个数，这三个数被3除的余数分别为0,1,2。因此这三个

数之和能被3整除。

六、综上所述，在任意的五个自然数中，其中必有三个数的和是3的倍数。

七、巩固训练

2.1.有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸

出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组

是一样的。

（九）一副扑克牌（去掉两张王牌），每人随意摸两张牌.，至少有多少人才能

保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的？

（+）3.从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有

两个数之和是34。

（十一）不规则图形面积计算（1）

我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和

扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式

直接计算.如下表：

名称图形周长公式面积公式

长方形周长=2(a+b)面积=@匕

正方形口冏长:=4a面积二a'

三角形周长:a+b+c面积二/ah

平行四边形周长=2(a+b)面积二ah

a

b

梯形周长=a+b+c+d面积二+(a+b)•h

a

菱形周长二4a面积二/AC,BD

圆©周长=2冗r而枳=嗤产,

弧长;喷

扇形®R=-360M?

A周长=2"弧长

米.求阴影部分的面积。

思路导航:

阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（^

ABG、ABDE>AEFG）的面积之和。

例2如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、4ADF与四边形AECF

的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.

思路导航：

「△ABE、Z\ADF与四边形AECF的面积彼此相等，

・•・四边形AECF的面积与AABE、ZXADF的面积都等于正方形ABCD的,，

3

在4ABE中，因为AB=6.所以BE=4,同理DF=4,因此CE=CF=2,

AECF的面积为2X2+2=2。

所以SZ\AEF=S四边形AECF-S^ECF=12-2=10（平方厘米）。

例3两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。如

右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。

思、路导航:

在等腰直角三角形ABC中

VAB=10

VEF=BF=AB-AF=10-6=4,

・•・阴影部分面积二SZ\ABG-SZ\BEF=25-8=17（平方厘米）。

例4如右图，A为4CDE的DE边上中点，BC=CD,若也杷©（阴

影部分）面积为5平方厘米.

求aABD及4ACE的面积.

取BD中点F,连结AF.因为aADF、Z\ABF和AABC等底、等高，

所以它们的面积相等，都等于5平方厘米.

二、AAACD的面积等于15平方厘米，AABD的面积等于10平方厘米。

三、又由于aACE与4ACD等底、等高，所以AACE的面积是15平方厘米。

四、巩固训练

1.如右图，在正方形ABCD中，三角形ABE的面积是8平方厘米，它是三

角形DEC的面积的，求正方形ABCD的面积。

2.如右图，已知：SZ\ABC=1,AE=ED,BD=BC.求阴影部分的面积。

3.如右图，梯形ABCD的面积是45平方米，高6米，AAED的面积是5平

方米，BC=10米，求阴影部分面积.

（十二）4.如右图，四边形ABCD和DEFG都是平行四边形，证明它们的面

积相等.

（十三）不规则图形面积计算（2）

一、不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长

方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则图形，为了计算它的

面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之

转化为规则图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理”（即：集合A与集合

B之间有：SAUB=SA-Sb-SAnB）合并使用才能解决。

二、例题与方法指导

例1.如右图，在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半

圆.求阴影部分的面积。

解法1：ft1的半▽,得到右图.这

弓影部Mi一样，因此它们

的面积相等.所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。

解法2:将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边

上，如右图所示.阴影部分的面积是正方形面积的一半。

解法3:将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如

右图所示.阴影部分的面积是正方形的一半.

例2.如右图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4

厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。

解：由容斥原理S阴影=S扇形ACB+S扇形ACD-S正方形ABCD

回

例3如右图，矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=4厘米，扇形ABE半

径AE=6厘米，扇形CBF的半CB=4厘米，求阴影部分的面积。

例4.如右图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB=20厘米，

如果阴影（I）的面积比阴影（II）的面积大7平方厘米，求BC长。

分析已知阴影（I）比阴影（II）的面积大7平方厘米，就是半圆面积

比三角形ABC面积大7平方厘米：又知半圆直径AB=20厘米，可以求出

圆面积.半圆面积减去7平方厘米，就可求出三角形ABC的面积，进而求

出三角形的底BC的长.

回

三、巩固训练

1.如右图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。

如右图，将直径AB为3的半圆绕A逆时针旋转60°,此I

AC的位置，求阴影部分的面积（取冗=3）.

回

3.如右图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1,求阴影部分的面积.

回

回I

4.如下页右上图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周上的中点，BC是半圆

的直径，且AB=BC=10,求阴影部分面积（冗取3・14）。

一、总结：对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图

形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决.常用的基本方

法有：

相加法：

二、这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面

积，然后相加求出整个图形的面积.例如，右图中，要求整个图形的面积，

只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就

可以了.

相减法：

三、这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面

积之差.例如，右图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去

里面圆的面积即可.

直接求法：

四、这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下

页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它就是一个底是2,高为4

的三角形，面积可直接求出来。

重新组合法：

五、这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组

合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求右图中阴影

部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用

相减法就可求出其面积了.

辅助线法：

六、这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图

形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如右图,

求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加

一条辅助线后用直接法作更简便.

割补法：

七、这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为

基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如右图，欲求阴影部分的面积,

只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积

的一半.

平移法：

这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合

成一个新的基本规则图形，便于求出面积,例如，如右图，欲求阴影部分面积，

可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个

阴影部分恰是一个正方形。

旋转法：

八、这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴

旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图

形，便于求出面积.例如，欲求图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形

绕B点逆时针方向旋转180。，使A与C重合，从而构成如右图（2）的样

子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面

积.

对称添补法：

这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来

图形面积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求右图中阴影部分的面积，沿

AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD的面积的一半就是所

求阴影部分的面积。

十、重叠法：

（十四）这种方法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分，然

后运用“容斥原理”（SAUB=SA4-SB-SAnB）解决。例如，欲求右图中阴影部

分的面积，可先求两个扇形面积的和，减去正方形面积，因为阴影部分的面积恰

好是两个扇形重叠的部分.

（十五）逻辑推理

曾经爱因斯坦出过一道测试题，他说世界上有98%的人回答不出！！让我们一

起来看看是什么题呢。

在一条街上有5座颜色不同的房子，住着5个不同国家的人，他们抽着5种

不同的烟，喝着5种不同的饮料，养着5种不同的宠物。有下面15个己知条件,

求解。

L英国人住红色房子。

2.瑞典人养狗。

3.丹麦人喝茶。

4.绿色房子在白色房子左面。

5.绿色房子主人喝咖啡。

6抽PallMall香烟的人养鸟。

7^黄色房子主人抽Dunhill香烟。

8、住在中间房子的人喝牛奶。

9、挪威人住第一间房。

10、抽Blends香烟的人住在养猫的人隔壁。

11.养马的人住抽Dunhill香烟的人隔壁。

12.抽BlueMaster的人喝啤酒。

13.德国人抽Prince香烟。

14.挪威人住蓝色房子隔壁。

15.抽Blends香烟的人有一个喝水的邻居。

问：哪个国家的人养鱼。

一、这道题为什么会难倒这么多人呢，首先，我们就来研究一下关于他的最基

本的逻辑问题吧。

二、例题与方法指导

例1.某地质学院的学生对一种矿石进行观察和鉴别：

甲判断：不是铁，也不是铜。

乙判断：不是铁，而是锡。

丙判断：不是锡，而是铁。

经化验证明：有一个人的判断完全正确，有一个人说对了一半，而另一个人

完全说错了。你知道三人中谁是对的，谁是错的，谁是只对一半的吗？

思路导航:

丙全说对了，甲说对了一半，乙全说错了。先设甲全对，推出矛盾后，再设乙全

对，又推出矛盾，则说明丙全对，甲说对了一半，乙全说错了。

例2.数学竞赛后，小明、小华和小强各获得一枚奖牌，其中一人得

金牌，一人得银牌，一人得铜牌。老师猜测：“小明得金牌，小华不得金牌，小

强不得铜牌。”结果老师只猜对了一个，那么谁得金牌，谁得银牌，谁得铜牌？

忠路曼航:

小华得金牌•，小强得银牌，小明得铜牌

(1)若小明得金牌，小华一定“不得金牌”，这与“老师只猜对了一个“相矛

盾，不合题意。

(2)若小华得金牌，那么“小明得金牌”与“小华不得金牌”这两句都是错的,

那么“小强不得铜牌”应是正确的，那么小强得银牌，小明得铜牌。

例3.一位法官在审理一起盗窃案中，对涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、

丁进行了审问。四人分别供述如下：

甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中。”

乙说：“我没有做案，是丙偷的。”

丙说：“在甲和丁中间有一人是罪犯。”

丁说：“乙说的是事实J

经过充分的调查，证实这四人中有两人说了真话，另外两人说的是假话。

同学们，请你做一名公正的法官，对此案进行裁决，确认谁是罪犯？

思路导航:一

三、乙和丁是盗窃犯。如果甲说的是假话，那么剩下三人中有一人说的也是假话,

另外两人说的是真话。可是乙和丁两人的观点一致，所以在剩下的三人中只能是

丙说了假话，乙和丁说的都是真话C即“丙是盗窃犯，这样一来，甲说的也是

对的，不是假话。这样，前后就产生了矛盾。所以甲说的不可能是假话，只能是

真话。同理，剩下的三人中只能是丙说真话。乙和丁说的是假话，即丙不是罪犯，

乙是罪犯。又由甲所述为真话，即甲不是罪犯。再由丙所述为真话，即丁是罪犯。

四、巩固训练

1.小王、小张、小李三人在一起，其中一位是工人，一位是战士，一位是大学

生。现在知道：小李比战士年龄大，小王和大学生不同岁，大学生比小张年龄

小。那么三人各是什么职业？

解：小李是大学生，小王是战士，小张是工人.

2.甲、乙、丙分别是来自中国、日本和英国的小朋友。甲不会英文，乙不

懂日语却与英国小朋友热烈交谈。问：甲、乙、丙分别是哪国的小朋友？

解：甲是日本人，乙是中国人，丙是英国人。

3.徐、王、陈、赵四位师傅分别是工厂的木工、车工、电工和钳工，他们

都是象棋迷。

(1)车工只和电工下棋；

(2)王、陈两位师傅经常与木工下棋；

(3)徐师傅与电工下棋互有胜负；

(4)陈师傅比钳工下得好。

（十六）问：徐、王、陈、赵四位师傅各从事什么工种？

（十七）牛吃草

牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿

提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛

吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。

由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天

数不断地变化。解决牛吃草问题重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原

有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出

的草量应该是不变的。这类问题常用到四个基本公式，分别是：

（1）草的生长速度=（对应的牛头数X吃的较多天数一相应的牛头数X吃

的较少天数）+（吃的较多天数一吃的较少天数）；

（2）原有草量=二头数X吃的天数一草的生长速度X吃的天数：

（3）吃的天数=原有草量+（牛头数一草的生长速度）；

（4）牛头数=原有草量♦吃的天数+草的生长速度。

一、这四个公式是解决牛吃草问题的基础。一般设每头牛每天吃草量不变，设为

〃1〃，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量,

再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。

二、例题与方法指导

例L

青青一牧场

青青一牧场，牧草喂牛羊；放牛二十七，六周全吃光。

改养廿三只，九周走他方；若养二十一，可作几周粮？

（注：“廿”的读音与“念”相同。“廿”即二十之意。）

【解说】这道诗题，是依据闻名丁世界的“牛顿牛吃草问题”编写的。牛顿

是英国人，他的种种事迹早已闻名于世，这里不赘述。他曾写过一本书，名叫

《普遍的算术》，“牛吃草问题”就编写在这本书中。书中的这道题目翻译过来

是：

一牧场长满青草，27头牛6个星期可以吃完，或者23头牛9个星期可以吃

完。若是21头牛，要几个星期才可以吃完？（注：牧场的草是不断生长的。）

解答这一问题，首先必须注意牧场里的草是不断生长增多的，而并非一个固定

不变的数值。这虽然大大地增加了解题的难度，但我们不要害怕。只要依据下面

的思路，就一定会找到问题的答案。

思路导航:

因为27头6星期草料二（27X6=）162头一星期草料

23头9星期草料二（23X9=）207头一星期草料

而这一牧场6星期吃完与9星期吃完，草料数量要相差207—162=45（头牛

吃一星期的草料）

这多出的草料，便是9—6=3（个星期之内新长出的草料）

所以，一个星期新长出的草料便是

454-3=15（头牛吃一星期的草料）

进而可知，这牧场最初的草料数量就是

（27—15）X6=72（头牛吃一个星期的草料）

现在，有21头牛来吃这牧场里的草，其中必须拿出15头牛来吃每个星期新

长出来的草料，这就只剩下：2175=6（头牛）

去吃最初已经长成的草料了。所以，21头牛来吃这牧场的草料，全部吃光

所需要的时间就是

72+6=12（个星期）

列成综合算式，就是：

[27-（23X9—27X6）+（9-6）]X64-[21-（23X9—27X6）4-（9—6）]

=[27-454-3]X64-[21-454-3]

=12X64-6

=12（个星期）

答：21头牛要12个星期才可以吃完。

例2.一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，已知牛27头，6天把

草吃尽，同样一片牧场，牛23头，9天把草吃尽，如果有牛21头，几天能把草

吃尽？

摘录条件：

27头6天原有草+6天生长草

23头9天原有草+9天生长草

21头？天原有草+?天生长草

解答这类问题关键是要抓住牧场青草总量的变化。设1头牛1天吃的草为〃1〃,

由条件可知，前后两次青草的问题相差为23X9-27X6=45。为什么会多出这45

呢？这是第二次比第一次多的那（9-6）=3天生长出来的，所以每天生长的青

草为45・3二15

现从另一个角度去理解，这个牧场每天生长的青草正好可以满足15头牛

吃。由此，我们可以把每次来吃草的牛分为两组，一组是抽出的15头牛来吃当

天长出的青草，另一组来吃是原来牧场上的青草，那么在这批牛开始吃草之前,

牧场上有多少青草呢？

（27-15）X6=72

那么：第一次吃草量27X6=162第二次吃草量23X9=207

每天生长草量45・3=15

原有草量（27-15）X6=72或162-15X6=72

21头牛分两组，15头云吃生长的草，其余6头去吃原有的草那么72・6=121天）

例3.一水库原有存水量一定，河水每天入库。5台抽水机连续20天拍干,

6台同样的抽水机连续15天可抽干，若要6天抽干，要多少台同样的抽水机?

摘录条件:

5台20天原有水+20天入库量

6台15天原有水+15天入库量

?台6天原有水+6天入库量

设1台1天抽水量为〃1〃，第一次总量为5X20二100,第二次总量为6X15=90

每天入库量（100-90）+（20-15）=2

20天入库2X20=40,原有水100-40=60

60+2X6=72724-6=12（台）

三、巩固训练

某车站在检票前若干分钟就开始排队了，每分钟来的旅客一样多，从开始检票

到队伍消失（还有人在接受检票），若开5个检票口，要30分钟，开6个检票

口，要20分钟。如果要在10分钟消失，要开多少个检票口？

画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的

观众一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，

9点5分就没有人排队。求第一个观众到达的时间。

三、3、由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天匀速减少。经过计算，牧场上狗草

可供20头牛吃5天，或者供16头牛吃6天，那么这片牧场上的草可供11头牛

吃几天？

四、4、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减

少。如果牧场上的草可供20头牛吃5天，或者供15头牛吃6天，那么可供多少

头牛吃10天?

五、拓展提升

1.自动扶梯以均匀的速度由上往下行驶，小明和小红要从扶梯上楼，小明每

分钟走20梯级，小灯每分钟走14梯级，结果小明4分钟到达楼上，小红用5分钟

到达楼上，求扶梯共有多少级？

2.两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶走向井底，白天往下走，一只蜗

牛一个白天能走20分米，另一只只能走15分米；黑夜里往下滑，两只蜗牛下滑

速度相同，结果一只蜗牛5昼夜到达井底，另一只却恰好用了6昼夜。问井深是

多少？

（十八）3.有三块草地，面积分别是5公顷，15公顷和24公顷。草地上的

草一样厚而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天；第二块草地可供

28头牛吃45天。那么第三块草地可供多少头牛吃80天？

（十九）4.12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可

以吃完30公亩牧场上全部牧草。多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧

草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生长草量相等）？

（-+）流水行船

船在流水中航行的问题叫做行船问题。行船问题是行程问题中比较特殊的类

型，它除了具备行程问题中路程、速度和时间之间的基本数量关系，同时还涉及

到水流的问题，因船在江、河里航行时，除了它本身的前进速度外，还会受到流

水的顺推或逆阻。

行船问题中常用的概念有：船速、水速、顺水速度和逆水速度。船在静水中

航行的速度叫船速；江河水流动的速度叫水速；船从上游向下游顺水而行的速度

叫顺水速度；船从下游往上游逆水而行的速度叫逆水速度。

除了行程问题中路程、速度和时间之间的基本数量关系在这里要反复用到外,

行船问题还有几个基本公式要用到。

顺水速度=船速+水速

逆水速度二船速一水速

如果已知顺水速度和逆水速度，由和差问题的解题方法，我们可以求出船

速和水速。

船速二（顺水速度-逆水速度）+2

水速二（顺水速度一逆水速度）+2

一、例题与方法指导

例1.船在静水中的速度为每小时13千米，水流的速度为每小时3千米，

船从甲港顺流而下到达乙港用了15小时，从乙港返回甲港需要多少小时？

思路导航:

根据条件，用船在静水中的速度+水速=顺水速度，知道了顺水速度和顺水

时间，可以求出甲乙两港之间的路程。因为返回时是逆水航行，用船在静水中的

速度-水速二逆水速度，再用甲乙两港之间的全长除以逆水速度即可求出乙港返

回甲港所需时间。

解：顺水速度：13+3=16（千米/小时）

逆水速度：13-3=10（千米/小时）

全程：16X15=240（千米）

返回所需时间：2404-10=20（千米/小时）

答：从乙港返回甲港需要24小时。

例2.一艘小船往返丁一段长120T米的航道之间，上行时行了15小时，

下行时行了12小时，求船在静水中航行的速度与水速各是多少？

思路导航:

求船在静水中航行的速度是求船速，用路程除以上行的时间就是逆行

速度，路程除以下行时间就是顺水速度。顺水速度与逆水速度的和除以2就是船

速，顺水速度与逆水速度的差除以2就是水速。

解：逆水速度：120肌15=8（千米/小时）

顺水速度：120+12=10（千米/小时）

船速：（10+8）4-2=9（千米/小时）

水速：（10—8）4-2=1（千米/小时）

答：船在静水中航行的速度是每小时9千米，水速是每小时1千米。

例3.甲、乙两港相距200千米。一艘轮船从甲港顺流而下10小时到达

乙港，已知船速是水速的9倍。这艘轮船从乙港返回甲港用多少个小时？

思路导航:

根据甲、乙两港的距离和从甲港到乙港的时间可以求出顺水速度是每小时

2004-10=20（千米/小时）,顺水速度是船速与水速的和，已知船速是水速的9

倍，可以求出水速是20+（1+9）=2（千米/小时），船速为2X9=18（千米/小

时），逆水速度为18-2为6（千米/小时）

解：顺水速度:2004-10=20（千米/小时）

水速：204-（1+9）=2（千米/小时）

船速:2X9=18（千米/小时）

逆水速度：18-2二16（千米/小时）

返回时间:2004-16=12.5（小时）

二、答：这艘轮船从乙港返回甲港用12.5个小时。

三、巩固训练

1.A.B两港间相距360千米，一艘轮船往返两港需35小时，逆流航行

比顺流航行多花了5小时。另有一艘机帆船，静水中速度是每小时12千米，这

艘机帆船往返两港要多少小时？

（二十一）2.甲、乙两只小船在静水中速度分别为每小时•12千米和每小时16

T米，两船同时从相距168T米的上、下游两港同时出发相向而行，几小时相

遇？如果同向而行，甲船在前，乙船在后，几小时乙船追上甲船？

（二十二）3.一艘轮船从上游的甲港到下游的乙港，两港间的水路长72千

米。已知这艘船顺水4小时能行48千米，逆水6小时能行48千米。开船时，一

个小朋友放了个木制玩具在水里，船到乙港时玩具离乙港还有多少千米？

（二十三）奇数与偶数

能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的叫做奇数。奇数平常也叫做单数，偶

数也叫做双数。0也是偶数。所以。一个整数不是奇数，就是偶数。

奇数和偶数的运算有如下一些性质：

1.偶数土偶数二偶数；奇数土奇数二偶数；偶数土奇数二奇数。

2.奇数X奇数=奇数；奇数X偶数=偶数；偶数X偶数=偶数。

一、3.如果一个偶数能被奇数整除，那么，商必是偶数。偶数除以，如果能整

除，商可能是奇数，也可能是偶数。奇数不能被偶数整除。

二、4.偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1。

三、例题与方法指导

例1.用0〜9这十个数码组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它

们的和是奇数，那么这五个两位数的和最大是多少？

思路导航：

有时题目的要求比较多，可先考虑满足部分要求，然后再调整，使最后结果达

到全部要求。

这道题的几个要求中，满足“和最大”是最容易的。暂时不考虑这五个数的

和是奇数的要求。

要使组成的五个两位数的和最大，应该把十个数码中最大的五个分别放在

十位上，即十位上放5,6,7,8,9,而个位上放0,1,2,3,4。根据奇数的

定义，这样组成的五个两位数中，有两个是奇数，即个位是1和3的两个两位

数。

要满足这五个两位数的和是奇数，根据奇、偶数相加减的运算规律，这五个

数中应有奇数个奇数。现有两个奇数，即个位数是1,3的两位数。所以五个数

的和是偶数，不合要求，必须调整。调整的方法是交换十位与个位上的数字。要

使五个数有奇数个奇数，并且五个数的和尽可能最大，只要将个位和「位上的

一个奇数与一个偶数交换，并且交换的两个的数码之差尽可能小，由此得到交

换5与4的位置。满足题设要求的五个两位数的十位上的数码是4,6,7,8,9,

个位上的数码是0,1,2,3,5,所求这五个数的和是(4+6+7+8+9)X10+

(0+1+2+3+5)=351o

例2.7只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻转其中的2只杯子。

能否经过若干次翻转，使得7只杯子全部杯口朝下?

思路导航：

盲目的试验，可能总也找不到要领。如果我们分析一下每次翻转后杯口朝上的杯

子数的奇偶性，就会发现问题所在。一开始杯口朝上的杯子有7只，是奇数；第

一次翻转后，杯口朝上的变为5只，仍是奇数；再继续翻转，因为只能翻转两只

杯子，即只有两只杯子改变了上、下方向，所以杯口朝上的杯子数仍是奇数。类

似的分析可以得到，无论翻转多少次，杯口朝上的杯子数永远是奇数，不可能

是偶数0。也就是说，不可能使7只杯子全部杯口朝下。

例3.有m(m>2)只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻转其中的

(m-l)只杯子。经过若干次翻转，能使杯口全部朝上吗？

思路导航:

当m是奇数时，(m-1)是偶数.由例2的分析知，如果每次翻转偶数只杯子：那

么无论经过多少次翻转，杯口朝上(下)的杯子数的奇偶性不会改变。一开始口

只杯子全部杯口朝下，即杯口朝下的杯子数是奇数，每次翻转(m-l)即偶数只

杯子。无论翻转多少次，杯口朝下的杯子数永远是奇数，不可能全部朝上。

当m是偶数时，(mT)是奇数。为了直观，我们先从"4的情形入手观察,

在下表中用U表示杯口朝上，G表示杯口朝下，每次翻转3只杯子，保持不动

的杯子用*号标记。翻转情况如下：

初始状态nnnn

第一次翻转A*uuu

第二次翻转Uu*nA

第三次翻转nnn*u

笫四次翻转uu