江苏无锡市湖滨中学2024-2025学年高三（下）数学第5周阶段性训练模拟练习【含答案】

江苏无锡市湖滨中学2024-2025学年高三（下）数学第5周阶段性训练模拟练习一．选择题（共7小题）1．已知点F1，F2是椭圆Ω的两个焦点，P是椭圆Ω上一点，△PF1F2的内切圆的圆心为Q．若，则椭圆Ω的离心率为（）A． B． C． D．2．若非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．π3．在复平面内，复数z＝（sinα﹣2sinβ）+（cosα﹣2cosβ）i（i为虚数单位）与点对应，则cos（α﹣β）＝（）A． B． C． D．4．已知一几何体上半部分为圆台PO，下半部分为圆锥SO，其中圆锥SO底面的半径为r，高为h．圆台PO的两底面的半径分别r和，高为2h．该几何体内接于表面积为100π的球，则圆台PO的体积为（）A． B． C． D．5．已知圆锥的底面半径为3，圆锥内的最大球的表面积为9π，则该圆锥的侧面积为（）A．9π B．15π C． D．6．如图，将边长为1的正五边形ABCDE的各边延长，得到一个正五角星．若点P、Q在正五角星的内部（含边界），则的最小值为（）A． B． C． D．7．已知抛物线C：y2＝4x，其中AC，BD是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，直线AC的倾斜角为α，当α＝45°时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．32二．多选题（共4小题）（多选）8．设z1，z2为复数，则下列说法中正确的有（）A．|z1|+|z2|＝|z1+z2| B． C．若|z1|＝|z2|，则 D．若，则z1为纯虚数（多选）9．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，AB＝AD＝AA1＝2，P为CC1的中点，点Q满足（λ∈[0，1]，μ∈[0，1]），则下列结论中正确的是（）A．若，则四面体A1BPQ的体积为定值 B．若△A1BQ的外心为O，则为定值2 C．若，则点Q的轨迹长度为 D．若λ＝1且，则存在点E∈A1B，使得AE+EQ的最小值为（多选）10．在棱长为的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，下列选项中正确的是（）A．直线EF与A1B所成的角为 B．平面AEF截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积为 C．若点P满足，其中θ∈R，则三棱锥D﹣A1C1P的体积为定值 D．以B1为球心，4为半径作一个球，则该球面与三棱锥B1﹣ABC表面相交的交线长为3π（多选）11．如图所示，已知正三棱锥A﹣BCD底面边长为m，侧棱长为n，E，F，G，H分别为AB，AD，CD，BC的中点，连接EF，FG，GH，HE，CE，CF，则下列说法正确的是（）A．四边形EFGH为矩形 B．向量，不共面 C．点P在△ABC内，点P到点A距离与到底面BCD距离相等，则点P的轨迹是椭圆的一部分 D．若侧棱长n＝m，则直线AC与平面CEF所成角的正弦值为三．填空题（共2小题）12．已知四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，点E满足．设三棱锥P﹣ACE和四棱锥P﹣ABCD的体积分别为V1和V2，则的值为．13．已知在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是底面ABCD内的动点，点N为棱BC上的动点，且tan∠AMA1＝2tan∠BMB1，则MN+ND的最小值为．四．解答题（共7小题）14．如图，在所有棱长都为2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E是棱AA1的中点，AB1⊥CE．（1）求证：平面A1ABB1⊥平面ABC；（2）若，点P满足，求直线CP与平面A1ABB1所成角的正弦值．15．如图所示的几何体中，ABC﹣A1B1C1为三棱柱，AA1⊥平面ABC，AA1＝AC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，．（1）求证：AC1⊥平面A1B1CD；（2）若CD＝2，求三棱锥C1﹣A1CD的体积．16．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AA1＝AD＝2BC＝2，．点E在棱A1D1上，平面BC1E与棱AA1交于点F．（1）求证：BD⊥C1F；（2）若BE与平面ABCD所成角的正弦值是，求三角形C1EF的面积．17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA＝PC，AC⊥BC，PH⊥平面ABC，H为垂足，D为AC的中点．（1）证明：DH∥平面PBC；（2）若AC＝2，∠PAH＝∠CAH＝45°，求二面角P﹣BC﹣A的正弦值．

18．梯形ABCD中，AD∥BC，E为AD上的一点且有BE⊥AD，AE＝BE＝1，BC＝ED，将△ABE沿BE翻折到△PEB使得二面角P﹣BE﹣C的平面角为θ，连接PC，PD，F为棱PD的中点．（1）求证：FC∥面PBE；（2）当θ＝，PD＝时，求直线PC与平面BCF所成角的正弦值．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABB1A1⊥平面ABC，平面AA1C1C⊥平面ABC．（1）证明：AA1⊥平面ABC；（2）已知AA1＝3，AB＝2，AC＝1，BC＝，求直线A1B与AC1所成角的正弦值．

20．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝2，BC＝CD＝，∠DCB＝90°，∠DAB＝45°，E，F分别为AD，AB的中点．（1）求证：AD⊥BD；（2）求证：平面BDC1∥平面EFD1；（3）若CC1＝2，P是线段D1F上的动点，求直线A1P与平面BDC1所成角的正弦值的最大值．

参考答案与试题解析题号1234567答案DBCDBBB一．选择题（共7小题）1．【解答】解：不妨设椭圆的方程为：，P（x0，y0），Q（x，y），则有F1（﹣c，0），F2（c，0），所以，因为，所以＝（3x0﹣11x﹣2c，3y0﹣11y）＝（0，0），所以，所以△PF1F2的内切圆的半径为，由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，所以．故选：D．2．【解答】解：设向量与的夹角为θ，θ∈[0，π]，非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则，解得cosθ＝，解得．故选：B．3．【解答】解：由题意，，两式平方相加，可得1﹣4（cosαcosβ+sinαsinβ）+4＝4，即cos（α﹣β）＝．故选：C．4．【解答】解：设该几何体的外接球的半径为R，则该球的表面积为4πR2＝100π，所以R＝5，设该几何体的外接球的球心到圆O平面的距离为t，则根据题意可得，解得h＝3，t＝2，r＝，所以，2h＝6，所以圆台PO的体积为＝．故选：D．5．【解答】解：由球的表面积公式S＝4πR2＝9π，解得R＝，即圆锥内的最大球的直径为，圆锥轴截面如图，则AD＝BD＝3，，因为∠COE+∠DOE＝∠CAB+∠DOE＝π，所以∠COE＝∠CAB，设∠COE＝∠CAB＝2α，则，，则cos2α＝cos2α﹣sin2α＝＝＝，在△COE中，OC＝＝＝，所以CD＝CO+OD＝4，所以，所以圆锥的侧面积为π×3×5＝15π．故选：B．6．【解答】解：，当与方向相反，此时最小，且，由于P，Q在正五角星的内部（含边界），所以P、Q分别是与A、B共线的五角星的顶点M、N，如图所示：此时最小，故此时P点在图中的M点处，由于与方向相反，且要最大，故Q在图中N处．取AE的中点为F，正五角星在AB上的两个顶点分别为M，N，因为cos54°＝sin36°，所以4cos318°﹣3cos18°＝2sin18°cos18°，所以4sin218°+2sin18°﹣1＝0，解得sin18°＝，所以AN＝＝＝，所以AM＝AB+BM＝1+＝，所以＝﹣AN•AM＝＝．故选：B．7．【解答】解：已知抛物线C：y2＝4x，则F（1，0），又直线AC的倾斜角α＝45°，则直线AC的方程为y＝x﹣1，联立，得x2﹣6x+1＝0，解得，结合图可取，，故，，根据抛物线的对称性结合AC，BD是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，可知，故，故结合抛物线对称性可得“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为2×4＝8．故选：B．二．多选题（共4小题）8．【解答】解：对于A：对于z1＝1+i，z2＝1﹣i，则|z1+z2|＝2，故A错误；对于B，令z1＝a+bi，z2＝m+ni，且a，b，m，n∈R，则，，所以＝，故B正确；对于C：对于z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，显然，故C错误；对于D，令z1＝a+bi，z2＝m+ni，且a，b，m，n∈R，，则，可得，即z1为纯虚数，故D正确．故选：BD．9．【解答】解：对于A选项，取DD1，DC的三等分点分别为M，N，如图所示，因为，所以3λ+3μ＝1，令，，则，所以Q∈MN．因为MN∥CD1，CD1∥A1B，所以MN∥A1B，所以△A1BQ的面积为定值，点P到平面A1BQ的距离也是定值，故A选项正确．对于B选项，如图，若△A1BQ的外心为O，过点O作OH⊥A1B于点H，则H是A1B的中点．因为，所以，故B选项错误．对于C选项，如图，在平面A1B1C1D1中作A1K⊥C1D1，显然A1K⊥平面CC1D1D，由长度和角度，可得．在Rt△A1KQ中，，所以，则点Q在以K为圆心，为半径的圆上运动．设此圆与D1D交于点A3，因为且KD1＝1，所以，则点Q的轨迹长度是．故C选项正确．对于D选项，若λ＝1且，则点Q与点P重合．把△A1AB沿着A1B进行翻折，使得A1，A，B，P四点共面，此时AE+EQ有最小值AP（这里和后面的A均为翻折后的点）．在△A1PB中，，，，所以，所以，从而，在△APB中，由余弦定理得：，故D选项正确．故选：ACD．10．【解答】解：作出图形如下：对A选项，根据题意易知EF∥BC1，且三角形A1C1B为正三角形，所以直线EF与A1B所成的角为，所以A选项错误；对B选项，易知EF∥BC1∥AD1，所以平面AEF截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面为等腰梯形AEFD1，又易知AD1＝2EF＝，D1F＝AE＝，所以平面AEF截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积为：＝，所以B选项正确；对C选项，因为点P满足，又cos2θ+sin2θ＝1，cos2θ≥0，sin2θ≥0，所以根据向量共线定理可得P在线段B1C上，又易知B1C∥A1D，又B1C⊄平面A1DC1，A1D⊂平面A1DC1，所以B1C∥平面A1DC1，所以P到平面A1DC1的距离为定值，又三角形A1DC1的面积也为定值，所以三棱锥D﹣A1C1P的体积为定值，所以C选项正确；对D选项，如图，分别作出以B1为球心，4为半径的球与三棱锥B1﹣ABC三个表面的交线，易得图中GB＝＝2，B1B＝，所以∠GB1B＝，所以HB1G＝＝，所以的长度为＝，由对称性可知该球在侧面B1BC内所截得的圆弧长等于的长度，又易知侧面ACB1为边长为的正三角形，所以该球在侧面ACB1内所截得的圆弧长为＝，在底面三角形ABC内，易知K点即为G点，所以BK＝BL＝BG＝2，所以该球在底面三角形ABC内所截得的圆弧长为＝π，所以以B1为球心，4为半径的球面与三棱锥B1﹣ABC表面相交的交线长为＝3π，所以D选项正确．故选：BCD．11．【解答】解：对于A，∵E，F，G，H分别为AB，AD，CD，BC的中点，根据中位线定理得EF∥BD，，HG∥BD，，∴EF∥HG，EF＝HG，∴四边形EFGH为平行四边形，取BD中点O，连接OC，OA，∵正三棱锥A﹣BCD，AB＝AD，得BD⊥OA，BC＝DC得BD⊥OC，OA∩OC＝O，OA，OC⊂平面OAC，∴BD⊥平面OAC，AC⊂平面OAC，∴BD⊥AC，又∵EH∥AC，HG∥BD，∴EH⊥HG，四边形EFGH为矩形，A正确；对于B，四边形EFGH为矩形，，向量可以由向量，线性表示，向量，，共面，B错误；对于C，点P在△ABC内，过点P作PM⊥底面BCD，BC⊂底面BCD，则PM⊥BC，过点P作PN⊥BC，连接MN，∵PM∩PN＝P，PM，PN⊂平面PMN，∴BC⊥平面PMN，MN⊂平面PMN，∴BC⊥MN，∴∠PNM为二面角A﹣BC﹣D的平面角θ，当m，n确定时，二面角A﹣BC﹣D的平面角θ是定值，，∵点P到点A距离与到底面BCD距离PM相等，∴定值，且0＜sinθ＜1，根据椭圆第二定义，到定点A和到定直线BC的距离比为定值sinθ∈（0，1）的点的轨迹为椭圆，故C正确；对于D，若侧棱长n＝m，正三棱锥A﹣BCD为正四面体，设m＝2，以BC中点H为坐标原点，HC，HD，Hz所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示：则C（1，0，0），，B（﹣1.0，0），，E，F，，设平面CEF的法向量，，，则，即，取，则，∴平面CEF的法向量，设直线AC与平面CEF所成的角为α，∴，D正确．故选：ACD．三．填空题（共2小题）12．【解答】解：四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，点E满足，设三棱锥P﹣ACE和四棱锥P﹣ABCD的体积分别为V1和V2，设点C到平面PAD的距离为h，∵，∴，∴，其中三棱锥P﹣ACE的体积为V1，则VC﹣EAD＝2V1，VP﹣ACD＝VC﹣PAE+VC﹣EAD＝V1+2V1＝3V1，∵VP﹣ABCD＝2VP﹣ACD，∴V2＝6V1，则．故答案为：．13．【解答】解：如图（一），因为，，又tan∠AMA1＝2tan∠BMB1，所以MB＝2MA，如图（二），建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（3，0），D（0，3），设点M（x，y），根据MB＝2MA，所以，化简得：（x+1）2+y2＝4（x≥0，y≥0），该方程表示圆心为P（﹣1，0），r＝2的圆的一部分，又点D（0，3）关于BC的对称点D′（6，3），所以．故答案为：．四．解答题（共7小题）14．【解答】解：（1）证明：取AB的中点O，连接EO，A1B，OC，因为E为AA1中点，O为AB中点，所以EO∥A1B，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，则四边形ABB1A1是菱形，所以AB1⊥A1B，则AB1⊥EO，又AB1⊥CE，EO∩CE＝E，EO，CE⊂平面EOC，所以AB1⊥平面EOC，又因为OC⊂平面EOC，所以OC⊥AB1，因为△ABC是等边三角形，O为AB中点，所以OC⊥AB．又因为OC⊥AB1，AB∩AB1＝A，AB，AB1⊂平面A1ABB1，所以OC⊥平面A1ABB1，又因为OC⊂面ABC，所以平面A1ABB1⊥平面ABC．（2）连接A1O．因为，AB＝AA1，所以△A1AB是等边三角形，所以A1O⊥AB，又平面A1ABB1⊥平面ABC，平面A1ABB1∩平面ABC＝AB，A1O⊂平面A1ABB1，所以A1O⊥平面ABC，由OC，OB⊂平面ABC，得A1O⊥OC，A1O⊥OB，又OC⊥AB，如图，以O为原点，OC、OB、OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，则O（0，0，0），，B（0，1，0），，．设C1（x，y，z），又，即，得，所以，，，则，易知平面A1ABB1的一个法向量，所以，设直线CP与平面A1ABB1所成角为θ，则．15．【解答】解：（1）证明：∵AA1⊥平面ABC，AA1＝AC，∴AC1⊥A1C，∵AA1⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，∴AA1⊥CD，又AD＝2CD，，∴CD2+AC2＝AD2，CD⊥AC，∵AC∩AA1＝A，CD⊥平面ACC1A1，∵AC1⊂平面ACC1A1，∴CD⊥AC1，又AC1⊥A1C，且CD∩A1C＝C，∴AC1⊥平面A1B1CD；（2）∵CD＝2，∴AD＝4，，∴三棱锥C1﹣A1CD的体积为：＝．16．【解答】解：（1）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AA1＝AD＝2BC＝2，，点E在棱A1D1上，平面BC1E与棱AA1交于点F．在直四棱柱中ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，∵BD⊂平面ABCD，∴AA1⊥BD，连接AC，∵tan∠ADB＝＝，，∴∠ADB＝∠CAB，又∠ADB+∠DBA＝90°，∴∠CAB+∠DBA＝90°，∴AC⊥BD，∵AA1，AC⊂平面ACC1A1，AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面ACC1A1，∵C1F⊂平面ACC1A1，∴BD⊥C1F．（2）以A为坐标原点，AD所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则A（0，0，0），，，，设E（x，0，2），x＞0，平面ABCD的法向量为，∵BE与平面ABCD所成角的正弦值是，∴＝|cos＜＞|＝＝，解得，则，，，设F（0，0，z），，∵C1，B，E，F四点共面，则，∴（﹣1，﹣，z﹣2）＝m（）+n（﹣，﹣，0），∴，解得，，z＝1，∴F（0，0，1），∴F为棱AA1的中点．∴，∴cos＜＞＝＝＝，∴sin＜＞＝＝，∴三角形C1EF的面积为：S＝||×||×sin＜＞＝．17．【解答】（1）证明：连接PD，因为PA＝PC，D为AC的中点，所以AC⊥PD，又因为PH⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以PH⊥AC，又因为PD，PH⊂平面PHD，PD∩PH＝P，所以AC⊥平面PHD，又DH⊂平面PHD，所以AC⊥DH，因为AC⊥BC，且HD，BC⊂平面ABC，所以DH∥BC，因为BC⊂平面PBC，DH⊄平面PBC，所以DH∥平面PBC；（2）解：如图，过点H作HQ⊥BC于点Q，连接PQ，因为PH⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PH⊥BC，又HQ⊥BC，HQ∩PH＝H，HQ，PH⊂平面PHQ，所以BC⊥平面PHQ，又PQ⊂平面PHQ，所以PQ⊥BC，所以∠PQH为二面角P﹣BC﹣A的平面角，因为AC＝2，∠PAH＝∠CAH＝45°，所以，HQ＝DC＝1，所以，所以，所以二面角P﹣BC﹣A的正弦值为．18．【解答】解：（1）证明：取PE中点G，连接GB，GF，因为BC∥ED，，在△PED中，GF∥ED，，所以GF∥BC，GF＝BC，所以四边形BCFG为平行四边形，所以FC∥GB，又因为FC⊄平面PBE，GB⊂平面PBE，所以FC∥平面PBE；（2）BE⊥AD，则BE⊥PE且BE⊥ED，所以BE⊥平面PDE，又BE⊂平面BCDE，平面PDE⊥平面BCDE，在平面PDE内，过点E作EQ⊥ED交PD于点Q，因为平面PDE∩平面BCDE＝DE，所以EQ⊥平面BCDE，以{，，}为正交基底建立如图坐标系，，D（0，2，0），，B（1，0，0），C（1，1，0），，，，设为平面BCF的法向量，则，则，所以．19．【解答】解：（1）证明：在△ABC中，取点P并作PG⊥AB，PH⊥AC，G，H为垂足，∵PG⊥AB，平面ABB1A1⊥平面ABC，且平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，PG⊂平面ABC，∴PG⊥平面ABB1A1，∵AA1⊂平面ABB1A1，∴PG⊥AA1，∵PG∩PH＝P，且PG，PH⊂平面ABC，∴AA1⊥平面ABC；（2）AA1＝3，AB＝2，AC＝1，BC＝，∴AB2+AC2＝BC2，∴AB⊥AC，由（1）知AA1⊥平面ABC，又∵AB⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，∴AB⊥AA1，AC⊥AA1，以A为坐标原点，AB，AC，A