数学（全国乙卷）（文科）（参考答案）

2024年高考数学第一次模拟考试数学（文科）·参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．123456789101112BDAABBACBDBA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13． 14． 15．-6 16．14三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）【详解】（1）将的等号左右两边同时取自然对数得，所以．，而，所以，．所以，即，所以．..................................................................6分（2）2023年对应的年份代码为7，当时，，，所以（1）中求得的回归方程是理想的．.............................................................12分18．（12分）【详解】（1）设数列的公比为，因为数列是正项等比数列，所以当时，为常数，所以是等差数列..................................................................6分（2）因为，，所以，所以，，，数列的公差，，因为，，所以..................................................................12分19．（12分【详解】（1）证明：方法一

如图所示：

连接AG并延长交PD于点M，延长AE交DC的延长线于点N，连接MN．∵且，∴，．∵G为PAD的重心，∴．∴，∴．∵平面PCD，平面PCD，∴平面PCD．.................................................................6分方法二

如图所示：

延长PG交AD于点O，取线段AD上靠近点D的三等分点F，则．连接EF，FG．∵且，∴．∵平面PCD，平面PCD，∴平面PCD．∵G为△PAD的重心，∴．又，，∴．∴，∴．∵平面PCD，平面PCD，∴平面PCD．又∵，EF，平面EFG，∴平面平面PCD．又∵平面EFG，∴平面PCD．.................................................................6分（2）延长PG交AD于点O，连接AC，如图：

∵PAD为等边三角形，，∴，．∵，，AD，平面ABCD，∴平面ABCD．∵四边形ABCD为直角梯形，，，∴，，．在中，，，∴，，∴，即．.................................................................8分∵，，AD，平面PAD，∴平面PAD．∵平面PAD，∴．设点C到平面PAE的距离为h．∵，，又∵，∴．.................................................................12分故点C到平面PAE的距离为．20．（12分）【详解】（1），令，则，其中，所以在上单调递减，且，所以当时，，即单调递增，当时，，即单调递减，故当时，取得极大值，无极小值...............................................................5分（2）由题得对任意恒成立，即对任意恒成立.令，所以，令，所以，当时，单调递减；当时，单调递增，.................................................................8分所以，又，所以当时，单调递增；当时，单调递减，所以，所以，即的取值范围是...............................................................12分21．（12分）【详解】（1）抛物线T的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过，，，四点中的两点，由对称性，点和点不可能同时在抛物线T上，点和点也不可能同时在抛物线T上，则抛物线只可能开口向上或开口向右，设，若过点，则，得，∴，抛物线过点，∴符合题意；设，若过点，则，得，∴，但抛物线不过点，不合题意．综上，抛物线T的方程为．..............................................................5分（2），设直线，即，由AB与圆相切得，∴，

设，同理可得，∴是方程的两根，．联立，消y得，∴，同理，∴所以为定值16．.................................................................12分（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分．【详解】（1）由曲线的参数方程为（为参数），得，，，即（为焦点在轴上的椭圆）.............................................................4分（2）设直线的倾斜角为，直线过点直线的参数方程为（为参数），将直线的参数方程代入，可得，，.............................................................6分设，两点所对的参数为，，曲线与轴交于两点，在曲线的内部，一正一负，，而，，，，，解得，为直线的倾斜角，，，，或，直线的倾斜角为或..............................................................10分选修4-5：不等式选讲23．（10分）【详解】解：（1），即，利用零点分区间法，对去绝对值，当时，由，得，所以，当时，成立，所以，当时，由，得，所以.综上可知，不等式的解集为...............................................................5分（2）由题意，可知，由（1）得当时，恒成立，因为，所以时不