初中数学自主招生难度讲义-7年级专题11 设元的技巧

专题11设元的技巧

阅读与思考

应用数学知识和方法解决实际问题是学习数学的重要目的之一．应用题联系实际，反映现实生活

中的数量关系，通过解应用题可以培养运用数学知识去分析和解决问题的能力．

列方程解应用题，一般有审题、设元、布列方程、解方程、作答等几个步骤．恰当地设元是列方

程解应用题的关键步骤之一，常见的设元技巧有：

1．直接设元

题目要求什么量，就设什么量为未知数，或有几个要求的量，而设其中的某一个量为未知数．

2．间接设元

即所没的不是所求的，适当地选择与题目要求的未知数有关的某个量为未知数，则易找出符合题

意的数量关系，从而列出方程．

3．辅助设元

有些应用题中隐含一些未知的常量，这些量对于求解无直接联系，但如果不指明这些量的存在，

则难求其解，因而需把这些未知的常量设为参数，作为桥梁帮助思考，这就是辅助设元．

4．整体设元

有些应用题未知量太多而已知关系又少，如果在未知数的某一部分存在一个整体关系，可设这

一部分为一个未知数，这样就减少了设元的个数，这就是整体设元．

例题与求解

【例1】某编辑用0~9这10个数字给一本书的各页标上页码，若共写了636个数字，则该书有

____页.

解题思路：依题意可知该书页码的数字组成有三种：一个数字、两个数字、三个数字.一共有

636个数字，可设直接未知数，列方程求解．

找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系是列方程解应用题又一关键．寻找相等关系常用

方法有：

①从关键词中寻找相等关系；

②利用基本公式寻找相等关系；

③利用不变量寻找相等关系；

④对一种“量”，从不同的角度进行表述（即计算两次），形成一种相等关系．

行程问题、工程问题、劳力分配问题、浓度问题、数字问题等是列方程解应用题的基本类型，

此外，还有趣味问题（如年龄、时钟等）、经济问题（如银行存款、销售利润等），尽管形式多变，但是

解题实质未变，需要我们用数学观点，理清数量关系，恰当设未知数，准确列方程．

【例2】某服装厂生产某种定型冬装，9月份销售冬装的利润（每件冬装的利润＝出厂价一成

本）是出厂价的25%，10月份将每件冬装的出厂价调低10%（每件冬装的成本不变），销售件数比9月

份增加80%，那么该厂10月份销售这种冬装的利润总额比9月份的利润总额增长()。

A.2%B．8%C.40.0%D．62%

（江苏省竞赛试题）

解题思路：设出与总额相关的量：出厂价、销售件数．

解决以实际生活为情景的应用题时，需要具备一定的优化意识和估算决策能力.

【例3】某音乐厅决定月初在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其

2

中团体票占总票数的，若提前购票，则给予不同程度的优惠，在五月份内，团体票每张12元，共售

3

3

出团体票数的；零售票每张16元，共售出零售票数的一半，如果在六月份内，团体票按每张16元出

5

售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持

平？

（北京市东城区中考试题）

解题思路：票款与票数、票价有关，故既要用字母表示六月份零售价，又要用字母表示总票数．

与商品利润相关的基本知识：

利润

①利润率＝×100%；

进货价

②利润＝售出价一进货价；

③售出价＝利润＋进货价＝进贷价×(1＋利润率)．

【例4】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，

该市自来水收费价格见价目表．

价目表

每月用水量单价

不超过6m3的部分2元/m3

超过3m3不超出10m3的部分4元/m3

超出10m3的部分8元/m3

注：水费按月结算．

若某居民1月份用水8m3，则应收水费2×6＋4×(8－6)＝20（元）．

(1)若该户居民2月份用水12.5m3，则应收水费______元．

(2)若该户居民3，4月份共用水15m3（4月份用水量超过3月份），共交水费44元，则该居民3，4

月份各用水多少立方米？

（江苏省扬州市中考试题）

解题思路：第(1)问须分段计费；第(2)问设3月份用水量为xm3，则4月份用水量为(15x)m3，分

两种情况进行讨论．

【例5】A，B，C三个微型机器人围绕一个圆形轨道高速运动，它们顺时针同时同地出发后，

A在2秒钟时追上B，2.5秒钟时追上C，当C追上B时，C和B的运动路程之比是3：2，问第1分钟

时，A围绕这个圆形轨道运动了多少圈？

（“华罗庚金杯”竞赛试题）

解题思路：要充分运用问题中的等量关系，需设出A，B，C三个微型机器人的速度、圆形轨

道长等多个未知数．

【例6】有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等），如果放牧24头牛，

则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草.设每头牛每天吃草的量是相等的，问：

(1)如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？

(2)要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？

（全国数学通讯赛试题）

解题思路：此题可采取设定多个间接未知数的解决方法.

能力训练

A组

1．光明中学七年级一、二、三班，向希望学校共捐书385本，一班与二班捐书的本数之比为4：3，

一班与三班捐书的本数之比为6：7，那么二班捐书______本．

（北京市“迎春杯”竞赛试题）

2．一个六位数1abcde的3倍等于abcde1，则这个六位数为________．

（黑龙江省竞赛试题）

3．某种电器产品，每件若以原定价的9.5折销售，可获利150元，若以原定价的7.5折销售，则亏

损50元．该种商品每件的进价为________元．

（“希望杯”竞赛试题）

4.某出租汽车的车费是这样计算的：路程在4公里以内（含4公里）为10.40元；达到4公里以后，

每增加1公里加1.60元；达到15公里后，每增加1公里加2.40元．增加不足1公里时按四舍五人计算．则

乘坐15公里该种出租车应交车费____元．某乘客乘坐该种出租车交了车费95.20元，则这个乘客乘该出

租车行驶的路程为________公里．（精确到两位小数）

（“希望杯”邀请赛试题）

5．甲、乙两种茶叶，以x:y（重量比）相混合制成一种混合茶，甲种茶叶的价格每千克50元，乙

种茶叶的价格每千克40元，现在甲种茶叶的价格上调了10%，乙种茶叶的价格下调了10%，但混合茶

的价格不变，则x:y等于().

A．1:1B．5:4C．4:5D.5:6

（北京市竞赛试题）

6．某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米．按每立方米0.8元收费；如

果超过60立方米，超过部分接每立方米1.2元收费．已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，

那么，4月份这用户应交煤气费()．

A．60元B．66元C．75元D.78元

（全国初中数学联赛试题）

7．植树节时，某班平均每人植树6棵，如果只由女同学完成，每人应植树15棵；如果只由男同学

完成，每人应植树()棵．

A.9B．10C．12D．14

（四川省竞赛试题）

8．某服装商贩同时卖出两套服装，每套均卖168元，以成本计算，其中一套盈利20%，另一套亏

本20%，则这次出售中商贩()．

A．不赚不赔B．赚37.2元C．赚14元D．赔14元

9．从两块重量分别为6千克和4千克且含银的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把所切

下的每块分别和另一块切剩的合金放在一起，熔炼后，两块合金的含银的百分数相同，求所切下的合金

的重量是多少？

10.陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说：“我买了两种书，共105本，

单价分别为8元和12元，买书前我领了1500元，现在还余418元，”王老师算了一下，说：“你肯定弄

错了．”

(1)王老师为什么说他弄错了？试用方程的知识加以解释；

(2)陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本，但笔记本的单价已模糊

不清，只能辨认出应是小于10的整数，笔记本的单价可能为多少元？

（四川省资阳市中考试题）

B级

1．一幢楼房内住有6家住户，分别姓赵、钱、孙、李、周、吴，这幢楼住户共订有A，B，C，D，

E，F六种报纸，每户至少订了一种报纸，已知赵、钱、孙、李、周分别订了其中2，2，4，3,5种报纸．而

A，B，C，D，E五种报纸在这幢楼里分别有1，4，2，2，2家订户，那么吴姓住户订有____种报纸，

报纸F在这幢楼里有____家订户．

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

2．某人购买钢笔和圆珠笔各若干支，钢笔的价格是圆珠笔价格的2倍，付款时，发现所买两种笔

的数量是颠倒了，因此，比计划支出增加了50%，则此人原计划购买钢笔与圆珠笔数量的比为_______.

（天津市竞赛试题）

3．为使某项工程提前20天完成任务，需将原定工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要

_______天．

（“希望杯”邀请赛试题）

4．右边算式中，每个汉字代表1个数字，不同的汉字代表不同的数字，已知“神”－o，那么被乘

数是________________.

神舟十号飞天

神

飞天神舟五号

5．一艘轮船从A港到B港顺水航行，需6小时，从B港到A港逆水需8小时，若在静水条件下，

从A港到B港需()小时．

161

A．7B．7C．6D．6

272

（五城市联赛试题）

6．某商品连续两次提价10%，又提价5%，要恢复原价，至少应降价