初中数学自主招生难度讲义-9年级专题16 相似三角形的性质

专题16相似三角形的性质

阅读与思考

相似三角形的性质有：

1.对应角相等；

2.对应边成比例；

3.对应线段（中线、高、角平分线）之比等于相似比；

4.周长之比等于相似比；

5.面积之比等于相似比的平方.

性质3主要应用于三角形内接特殊平行四边形的问题，性质5进一步丰富了面积的有关知识，拓展

了我们研究面积问题的视角.

如图，正方形EFGH内接于△ABC，AD⊥BC，设BCa，ADh，试用a、h的代数式表示正方

形的边长.

例题与求解

【例1】如图，已知□ABCD中，过点B的直线顺次与AC，AD及CD的延长线相交于E，F，G，

若BE5，EF2，则FG的长是.（“弘晟杯”上海市竞赛试题）

解题思路：由相似三角形建立含FG的关系式，注意中间比的代换.

【例2】如图，已知△ABC中，DE∥GF∥BC，且AD:DF:FB1:2:3，

则（）（黑龙江省中考试题）

S△ADE:S四边形DFGE:S四边形FBCG

A.1:9:36B.1:4:9C.1:8:27D.1:8:36

解题思路：△ADE，△AFG都与△ABC相似，用△ABC面积的代数式分别表示△ADE、四边形DFGE、

四边形FBCG的面积.

【例3】如图，在△ABC的内部选取一点P，过P点作三条分别与△ABC的三边平行的直线，这样所得

的三个三角形t1，t2，t3的面积分别为4，9和49，求△ABC的面积.（第二届美国数学邀请赛试题）

解题思路：由于问题条件中没有具体的线段长，所以不能用面积公式求出有关图形的面积，可考虑

应用相似三角形的性质.

如图所示，经过三角形内一点向各边作平行线（也称剖分三角形），我们可以得到：

1△FDP∽△IPE∽△PHG∽△ABC；

HGIEDF

21；

BCACAB

DEFGHI

32；

BCACAB

42

S△ABC(t1t2t3).

上述性质，叙述简捷，形式优美，巧妙运用它们解某些平面几何竞赛题，简明而迅速，奇特而匠心

独运，请读者给出证明.

【例4】如图，△ABC中，O是三角形内一点，满足BAOCAOCBOACO.

求证：BC2ACAB.（北京大学自主招生考试试题）

解题思路：这实际上是一个著名的问题：布洛卡点问题.设P是△ABC内一点，满足

PABPBCPCA，称点P是△ABC的布洛卡点，则有

cotBACcotABCcotACBcot.

【例5】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD3，DC5，AB42，B45.动点M从

B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每

秒1个单位长度的速度向终点D运动，设运动的时间为t秒.

（1）求BC的长；

（2）当MN∥AB时，求t的值；

（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形.（济南市中考试题）

解题思路：对于（2），由，构造相似三角形，由三角形相似得对应边成比例，进而解决问题；对

于（3），需要分情况讨论.

在证明含线段平行关系的问题时，常常联想到以下知识：①勾股定理；②相似三角形面积比等于相

似比的平方.

【例】设△的面积为，△的面积为，当△∽△，且

6A1B1C1S1A2B2C2S2(S1S2)A1B1C1A2B2C2

S1

0.30.4时，则称△A1B1C1与△A2B2C2有一定的“全等度”.如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，

S2

B30，BCD60，连接AC.（厦门市中考试题）

（1）若AD=DC，求证：△DAC与△ABC有一定的“全等度”；

（2）你认为：△DAC与△ABC有一定的“全等度”正确吗？若正确，说明理由；若不正确，请举

出一个反例说明.

解题思路：本题设置了“全等度”这一新概念，要求在对其理解的基础上进行辨析和判断，并举例

说明符合或不符合概念特征的正例或反例，这是试题对概念理解考查的有力保障..

能力训练

A级

ABBCAC5

1.如图，在△ABC与△BED中，若，且△ABC与△BED的周长之差为10cm，

BDBEDE3

则△ABC的周长为cm.

（第1题）（第2题）（第3题）

2.如图，△ABC中，CE:EB1:2，DE∥AC.若△ABC的面积为S，则△ADE的面积为.

（苏州市中考试题）

如图，在△中，∥，，交于，且，则

3.ABCDEBCDECDFS△EFC3S△FEDS△ADE:S△ABC.

4.若正方形的四个顶点分别在直角三角形的三条边上，直角三角形的两直角边的长分别为3cm和

4cm，则此正方形的边长为cm.（武汉市中考试题）

5.如图，□ABCD中，E是AB的中点，F是AD的中点，EF交AC于点O，FE的延长线交CB的

延长线于点，那么（）

GS△AOF:S△COG

A.1:4B.1:9C.2:5D.1:2

（第5题）（第6题）（第7题）

6.如图，直角梯形ABCD中，BCD90，AD∥BC，BC=CD，E为梯形内一点，且BEC90.

将△BEC绕点C旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连接EF交CD于点M.已知BC5，CF3，

则DM:MC的值为（）

A.5:3B.3:5C.4:3D.3:4

（荆州市中考试题）

7.如图，△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，AO与DE，BC分别交于点N，M，则下列结

论错误的是（）

ANONSAN2ANOEON2S

△ONE△ADE

A.B.2C.D.2

AMOMS△OMBAMAMOCOMS△ABC

CN

8.如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，N点在CD上.若BMNMBC，则的值

ND

为（）

1122

A.B.C.D.

2335

（第8题）（第9题）

AB2BC

9.如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，ACDB.求证：.

CD2AD

10.如图1，在Rt△ABC中，BAC90，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交

AD于F，OE⊥OB交BC于点E.

图1图2

（1）求证：△ABF∽△COE；

ACOF

（2）当O为AC边中点，2时，如图2，求的值；

ABOE

ACOF

（3）当O为AC边中点，n时，请直接写出的值.

ABOE

（武汉市中考试题）

11.如图，△ABC中，AB4，D在AB边上移动（不与A，B重合），DE∥BC交AC于E，连接

设，

CD.S△ABCSS△DECS1.

（）当为中点时，求的值；

1DABS1:S

S

（2）当ADx，1y，用x的代数式表示y，并求x的取值范围；

S

1

（3）是否存在点D，使得SS？若存在，求出D点位置；若不存在，请说明理由.

14

（福州市中考试题）

12.在等腰△ABC中，ABAC5，BC6.动点M，N分别在两腰AB，AC上（M不与A，B

重合，N不与A，C重合），且MN∥BC.将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P.

（1）当MN为何值时，点P恰好落在BC上；

（2）设MNx，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式.当x为何值

时，y的值最大，最大值是多少？（宁夏省中考试题）

B级

1.如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，GI∥EF∥AB.若△ADE，△EFG，△GIC的面积分别为20cm2，

45cm2，80cm2，则△ABC的面积为.

（第1题）（第2题）

2.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，ABC90，对角线AC⊥BD于P点，已知AD:BC3:4，

则BD:AC的值是.（绍兴市中考试题）

如图，正方形内接于△，已知△，△和△的面积分别是，和，

3.OPQRABCAORBOPCRQS11S23S31

那么正方形OPQR的边长是（）（全国初中数学联赛试题）

A.2B.3C.2D.3

（第3题）（第4题）（第5题）

4.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且CD3AB，EF∥CD，EF将梯形ABCD分成面积相等的两部分，

则AE:ED（）（“希望杯”邀请赛试题）

35151

A.2B.C.D.

222

5.如图，△ABC中，D，E分别是边BC，AB上的点，且123.如果△ABC，△EBD，△

m1m25

ADC的周长依次是m，m1，m2，证明：.

m4

（全国初中数学联赛试题）

6.如图，P是△ABC内的一点，等长的三条线段DE，FG和HI分别平行于边AB，BC和CA，并

且AB12，BC8，CA6.求证：AI:IF:FB1:5:3.（江苏省竞赛试题）

（第6题）（第7题）

如图，锐角△中，是△的内接矩形，且，其中为不小于的

7.ABCPQRSABCS△ABCnS矩形PQRSn3

BS

自然数.求证：为无理数.（上海市竞赛试题）

AB

8.如图，已知直线l1的解析式为y3x6，直线l1与x轴，y轴分别相交于A，B两点，直线l2

经过B，C两点，点C的坐标为(8,0).又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线l2上从点

C向点B移动，点P，Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度.设移动时间为t秒.

（1）求直线l2的解析式；

（2）设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式；

（3）试探究：当t为何值时，△PCQ为等腰三角形？

（山西省中考试题）

9.如图，设△ABC三边上的内接正方形（两个顶点在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角

形的另两边上）的面积相等.求证：△ABC为正三角形.（江苏省竞赛试题）

ADCG

10.在矩形ABCD和矩形CEFG中，已知k，连接DE与AF交于点P，连接CP.