初中数学自主招生难度讲义-7年级专题25 图形面积的计算

专题25图形面积的计算

阅读与思考

计算图形的面积是平面几何中常见的基本问题之一，它包括两种主要类型：

1.常见图形面积的计算

由于一些常见图形有计算面积的公式，所以，常见图形面积一般用公式来解.

2.非常规图形面积的计算

非常规图形面积的计算通常转化为常见图形面积的计算，解题的关键是将非常规图形面积用常规

图形面积的和或差来表示.

计算图形的面积还常常用到以下知识：

（1）等底等高的两个三角形面积相等.

（2）等底的两个三角形面积的比等于对应高的比.

（3）等高的两个三角形面积的比等于对应底的比.

（4）等腰三角形底边上的高平分这个三角形的面积.

（5）三角形一边上的中线平分这个三角形的面积.

（6）平行四边形的对角线平分它的面积.

熟悉如下基本图形：

例题与求解

【例1】如图，在直角△ABC的两直角边AC，BC上分别作正方形ACDE和CBFG.AF交BC于W，

连接GW，若AC=14，BC=28，则S△AGW=______________．

(2013年“希望杯”全国数学邀请赛试题)

解题思路：△AGW的面积可以看做△AGF和△GWF的面积之差.

【例2】如图，已知△ABC中的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且

BC=4CF.四边形BDCE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为()

A．3B．4C．5D．6

（2013年全国初中数学竞赛广东试题）

解题思路：设△ABC底边BC上的高为h.本例关键是通过适当变形找出h和DE之间的关系．

【例3】如图，平行四边形ABCD的面积为30cm2，E为AD边延长线上的一点，EB与DC交于F

点，已知三角形FBC的面积比三角形DEF的面积大9cm2，AD=5cm，求DE长.

（北京市“迎春杯”竞赛试题）

解题思路：由面积求相关线段，是一个逆向思维的过程，解题的关键是把条件中图形面积用DE及

其它线段表示．

【例4】如图，四边形ABCD被AC与DB分成甲、乙、丙、丁4个三角形，已知BE=80cm，CE=60

cm，DE=40cm，AE=30cm，问：丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍？

（“华罗庚杯”竞赛决赛试题）

解题思路：甲、乙、丙、丁四个三角形面积可通过线段的比而建立联系，找出这种联系是解本例的

突破口.

【例5】如图，△ABC的面积为1，D，E为BC的三等分点，F，G为CA的三等分点，求四边形

PECF的面积.

解题思路：连CP，设S△PFC=x，S△PEC=y，建立x，y的二元一次方程组.

【例6】如图，E，F分别是四边形ABCD的边AB，BC的中点，DE与AF交于点P，点Q在线段

DE上，且AQ∥PC.求梯形APCQ的面积与平行四边形ABCD的面积的比值．

（2013年”希望杯“数学邀请赛试题）

解题思路：连接EF，DF，AC，PB，设S□ABCD=a，求得△APQ和△CPQ的面积.

能力训练

A级

1.如图，边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O.过点O的直线分别交AD，BC于E，F，

则阴影部分面积是______.

（海南省竞赛试题）

2.如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，F是CE的中点，若△BDF的面积为6平方厘米，

则长方形ABCD的面积是_____________平方厘米.

（“希望杯”邀请赛试题）

3.如图，ABCD是边长为a的正方形，以AB，BC，CD，DA分别为直径画半圆，则这四个半圆弧

所围成的阴影部分的面积是____________.

（安徽省中考试题）

4.如图，已知AB，CD分别为梯形ABCD的上底、下底，阴影部分总面积为5平方厘米，△AOB

的面积是0.625平方厘米，则梯形ABCD的面积是_________平方厘米.

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

1

5.如图，长方形ABCD中，E是AB的中点，F是BC上的一点，且CF=BC，则长方形ABCD

3

的面积是阴影部分面积的()倍.

A.2B.3C.4D.5

6.如图，是一个长为a，宽为b的长方形，两个阴影图形都是一对长为c的底边在长方形对边上的

平行四边形，则长方形中未涂阴影部分的面积为().

A.ab(ab)cB.ab(ab)cC.(ac)(bc)D.(ac)(bc)

7．如图，线段AB=CD=10cm，BC和DA是弧长与半径都相等的圆弧，曲边三角形BCD的面积是

1

以D为圆心、DC为半径的圆面积的，则阴影部分的面积是()．

4

A．25πB.100C.50πD.200

（“五羊杯”竞赛试题）

8．如图，一个大长方形被两条线段AB、CD中分成四个小长方形，如果其中图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面

积分别为8，6，5，那么阴影部分的面积为()．

971015

A.B.C.D．

2238

9．如图，长方形ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的任一点，△ABG，△DCH的面积分别为

15和20，求阴影部分的面积.

（五城市联赛试题）

10.如图，正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，已

知正方形BEFG的边长为4，求△DEK的面积．

（广西壮族自治区省南宁市中考试题）

B级

1.如果图中4个圆的半径都为a，那么阴影部分的面积为_____________.

（江苏省竞赛试题）

2.如图，在长方形ABCD中，E是BC上的一点，F是CD上的一点，若三角形ABE的面积是长方

12

形ABCD面积的，三角形ADF的面积是长方形ABCD面积的，三角形CEF的面积为4cm2，那么

35

长方形ABCD的面积是_________cm2.

（北京市“迎春杯”邀请赛试题）

3.如图，边长为3厘米与5厘米的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一段以它的一个顶点

为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积为___________________.

（“希望杯”邀请赛试题）

4.如图，若正方形APHM，BNHP，CQHN的面积分别为7，4，6，则阴影部分的面积是_____.

(“五羊杯”竞赛试题）

1

5.如图，把等边三角形每边三等分，使其向外长出一个边长为原来的的小等边三角形，称为一次

3

“生长”，在得到的多边上类似“生长”，一共“生长”三次后，得到的多边形的边数=________，面积

是原三角形面积的______倍.

(“五羊杯”竞赛试题）

11

6.如图，在长方形ABCD中，AE=BG=BF=AD=AB=2，E，H，G在同一条直线上，则阴影部分

23

的面积等于().

A.8B.12C.16D．20

7.如图，边长分别为8cm和6cm的两个正方形，ABCD与BEFG并排放在一起，连接EG并延长交

AC于K，则△AKE的面积是().

A.48cm2B.49cm2C.50cm2D．51cm2

（2013年“希望杯”邀请赛试题）

8.在一个由8×8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆经过的所有

S1

小方格的圆内部分的面积之和记为S1，把圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和记为S2，则的

S2

整数部分是().

A.0