初中数学自主招生难度讲义-8年级专题18 直角三角形

专题18直角三角形(吴梅录入)

阅读与思考

直角三角形是一类特殊三角形，有以下丰富的性质：

角的关系：两锐角互余；

边的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和；

边角关系：30所对的直角边等于斜边的一半.

这些性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面.

在现阶段，勾股定理是求线段的长度的主要方法，若图形缺少条件直角条件，则可通过

作辅助垂线的方法，构造直角三角形为勾股定理的应用创造必要条件；运用勾股定理的逆定

理，通过代数方法计算，也是证明两直线垂直的一种方法.

熟悉以下基本图形基本结论：

例题与求解

【例l】（1）直角ABC三边的长分别是x，x1和5，则ABC的周长＝

_____________.ABC的面积＝_____________.

△△

（2）如图，已知RtABC的两直角边AC＝5，BC＝12，D是BC上一点，当AD是∠

△

A的平分线时，则CD＝_____________.

△

（太原市竞赛试题）

解题思路：对于（1），应分类讨论；对于（2），能在RtACD中求出CD吗？从角平

分线性质入手.

△

【例2】如图所示的方格纸中，点A，B，C，都在方格线的交点，则∠ACB＝（）

A.120°B.135°C.150°D.165°

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：方格纸有许多隐含条件，这是解本例的基础.

【例3】如图，P为ABC边BC上的一点，且PC＝2PB，已知∠ABC＝45°，∠APC

＝60°，求∠ACB的度数.

△

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

解题思路：不能简单地由角的关系推出∠ACB的度数，综合运用条件PC＝2PB及∠APC

＝60°，构造出含30°的直角三角形是解本例的关键.

【例4】如图，在ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，分别以AB，AC为边在ABC的

外侧作等边ABE和等边ACD，DE与AB交于F，求证：EF＝FD.

△△

△△

（上海市竞赛试题）

解题思路：已知FD为RtFAD的斜边，因此需作辅助线，构造以EF为斜边的直角三

角形，通过全等三角形证明.

△

【例5】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝CD，求证：

BD2AB2BC2

（北京市竞赛试题）

解题思路：由待证结论易联想到勾股定理，因此，三条线段可构成直角三角形，应设法

将这三条线段集中在同一三角形中.

【例6】斯特瓦尔特定理：

如图，设D为ABC的边BC上任意一点，a，b，c为ABC三边长，则

b2BDc2DC

AD2△BDDC.请证明结论成立.△

a

解题思路：本题充分体现了勾股定理运用中的数形结合思想.

能力训练

A级

1.如图，D为ABC的边BC上一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，则

BC＝_____________.

△

2.如图，在RtABC中∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，DE是斜边AB的垂直

平分线，且DE＝1cm，则AC＝_____________cm.

△

3.如图，四边形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝90°，则∠

DAB＝_____________.

（上海市竞赛试题）

4.如图，在ABC中，AB＝5，AC＝13，边BC上的中线AD＝6，则BC的长为

△

_____________.

（湖北省预赛试题）

5.如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30º，那么这个三角形

的形状是（）

A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定

（山东省竞赛试题）

6.如图，小正方形边长为1，连结小正方形的三个顶点可得ABC，则AC边上的高为

（）

△

3334

A.2B.5C.5D.5

21055

（福州市中考试题）

7.如图，一个长为25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底

端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑（）

A.15分米B.9分米C.8分米D.5分米

8.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，AD＝5，那么

BC等于（）

CD

5

A.1B.2C.3D.

4

9.如图，ABC中，AB＝BC＝CA，AE＝CD，AD，BE相交于P，BQ⊥AD于Q，

求证：BP＝2PQ.

△

（北京市竞赛试题）

10.如图，ABC中，AB＝AC.

（1）若P是BC边上中点，连结AP，求证：BPCPAB2AP2

△

（2）P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请

说明理由；

（3）若P是BC边延长线上一点，线段AB，AP，BP，CP之间有什么样的关系？请证

明你的结论.

11.如图，直线OB是一次函数y2x图象，点A的坐标为（0，2），在直线

OB上找点C，使得ACO为等腰三角形，求点C的坐标.

△

12.已知：如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在C处，BC交

AD于E，AD＝8，AB＝4，求BED的面积.

△

（山西省中考试题）

B级

1.若ABC的三边a,b,c满足条件：a2b2c233810a24b26c，则这个

三角形最长边上的高为_____________.

△

2.如图，在等腰RtABC中，∠A＝90°，P是ABC内的一点，PA＝1，PB＝3，

PC＝7，则∠CPA＝__△___________.△

3.在ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则ABC的周长为_____________.

△△

4.如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD

于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，则CF与GB的大小关系是（）

△

A.CF＞GBB.CF＝GBC.CF＜GBD.无法确定

5.在ABC中，∠B是钝角，AB＝6，CB＝8，则AD的范围是（）

A.8＜AC＜10B.8＜AC＜14C.2＜AC＜14D.10＜AC＜14

△

（江苏省竞赛试题）

6.满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形

的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

（浙江省竞赛试题）

7.如图，ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E，F分别是

AB，AC边上的点，且DE⊥DF，若BE＝12，CF＝5，求DEF的面积.

△

△

（四川省联赛试题）

8.如图，在RtABC中，∠A＝90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：

EF2BE2CF2

△

（江苏省竞赛试题）

9.周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；

若存在，请证明有几个.