初中数学自主招生难度讲义-8年级专题26相对相称-对称分析法

专题26相对相称—对称分析法

阅读与思考

当代美国数学家赫尔曼·韦尔指出：对称尽管你可以规定其含义或宽或窄，然而从古到今都是人们

用来理解和创造秩序、美妙以及尽善尽美的一种思想.许多数学问题所涉及的对象具有对称性（不仅包

括几何图形中的对称，而且泛指某些对象在某些方面如图形、关系、地位等彼此相对又相称）.

对称分析法就是在解题时，充分利用自身条件的某些对称性辅助解题的一种分析方法，初中阶段主

要研究下面两种类型的对称：

1.代数中的对称式

如果把一个多项式的任意两个字母互换后，所得的多项式不变就称这个多项式为对称式，对称式的

本质反应的是多元多项式中字母地位相同，任何一个复杂的二元对称式，都可以用最简单对称多项式

ab，ab表示，一些对称式的代数问题，常用最简对称式表示将问题解决.

2.几何图形的对称

几何图形的对称指的是轴对称和中心对称，一些几何问题，如果我们作出图形的对称轴，或者作出

已知点关于某线（某点）的对称点，构造出轴对称图形、中心对称图形，那么就能将分散的条件集中起

来，容易找到解题途径.

例题与求解

【例l】如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N

分别是边AB，BC的中点，则PM+PN的最小值是.(荆门市中考试题)

解题思路：作M关于AC的对称点M，连MN交AC于点P，则PM+PN的值最小.

【例2】已知a，b均为正数，且ab2，求W=a24b21的最小值.

（北京市竞赛试题）

解题思路：用代数的方法求W的最小值较繁，a2b2的几何意义是以a，b为边的直角三角形

的斜边长，构造图形，运用对称分析法求出W的最小值.

【例3】已知a1b2b1a21，求证：a2b21（四川省竞赛试题）

解题思路：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是：乘方、配方、换元和引入有

理化因式，引入与已知等式地位相对相称的有理化因式，本例可获得简证．

【例4】如图，凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，

求证：BC＋AD＞AB＋CD.

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

解题思路：解题的关键是将有关线段集中到同一三角形中去，以便运用三角形三边关系定理，以

AC为对称轴，将部分图形翻折．

【例5】如图，矩形ABCD中，AB＝20厘米，BC＝10厘米，若在AC、AB上各取一点M，N，使BM

＋MN的值最小，求这个最小值.（北京市竞赛试题）

解题思路：要使BM＋MN的值最小，应该设法将折线BM＋MN拉直，不妨从作出B点关于AC的

对称点入手.

能力训练

1.如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴.若∠AFC＋∠BCF＝1500，则

∠AFE＋∠BCD的大小是.(武汉市中考试题)

(第1题图)（第2题图）（第3题图）

2.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝2，点E在BC上，且AE＝EC，若将纸片沿AE折叠，点B恰好落在

AC上，则AC的长是.

(济南市中考试题)

3.如图，∠AOB＝450，P是∠AOB内一点，PO＝10，Q，P分别是OA、OB上的动点，则△PQR周

长最小值是.

6

4.比(65)大的最小整数是.（西安交通大学少年班入学试题）

5.如图，已知正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且BE＝2，P在BD上，则PE＋PC的最小值为（）.

A．23B．13C．14D．15

6.观察下列平面图形，其中是轴对称图形的有().

A．1个B．2个C．3个D．4个

(南京市中考试题)

7.如图，一个牧童在小河南4英里处牧马，河水向正东方流去，而他正位于他的小屋西8英里北7英里

处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他能够完成这件事情所走的最短距离是（）.

A．(4185)英里B．16英里C．17英里D．18英里

（美国中学生竞赛试题）

(题)7题8题

第5图（第图）（第图）

8.如图，等边△ABC的边长为2，M为AB中点，P为BC上的点，设PA＋PM的最大值和最小值分别为

S和L，则S2L2等于（）

A．42B．43C．32D．33

9.一束光线经三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中字母表示相应的度数，已知c=600，求de

与x的值.（江苏省竞赛试题）

22

10.求代数式x4(12x)9的最小值.

（“希望杯”邀请赛试题）

11.在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是3km和2km，ABakm(a1)．现

计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．

方案设计

某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图是方案一的示意图，设该方案中管道长度为，

1d1

且（其中于点）；图是方案二的示意图，设该方案中管道长度为，且

d1PBBA(km)BPlP2d2

（其中点与点关于对称，与交于点）．

d2PAPB(km)AAlABlP

AA

ABB

BK

lll

PCPCP

图1

AA

图2图3

观察计算

（）在方案一中，（用含的式子表示）；

1d1kma

（）在方案二中，组长小宇为了计算的长，作了如图所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计

2d213-3

算，（用含的式子表示）．

d2kma

探索归纳

（）①当时，比较大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）；

1a4d1_______d2

②当时，比较大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）；

a6d1_______d2

（2）对a（当a1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案

二？

(河北省中考试题)

12．如图，已知平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为A（2，－3），B（4，－1）

（1）若P（x，0）是x轴上的一个动点，当△PAB的周长最短时，求x的值；

（2）若C（a，0），D（a3，0）是x轴上的两个动点，当四边形ABDC的周长最短时，求a的值；

（3）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边

形ABMN的周长最短？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．

13.在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，将△ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；

将△ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M．

（1）判断四边形AEMF的形状，并给予证明；

（2）若BD＝1，CD＝2，试求四边形AEMF的面积．

(宁夏中考试题)

14.阅读下列材料：

小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，现有一动点P按下列方式在矩

形内运动：它从A点出发，沿着AB边夹角为45的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变

运动方向，沿着与这条边夹角为45的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P

点碰到BC边，沿着BC边夹角为45的方向作直线运动，当P点碰到CD边，再沿着与CD边夹角为

45的方向作直线运动…如图1所示，问P点第一次与D点重合前与边相碰几次，P点第一次与D点重

合时所经过的路线的总长是多少？

小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD沿直线CD折叠，得到矩形A1B1CD，由轴对称的

知识，发现P2P3＝P2E，P1A＝P1E．

请你参考小贝的思路解决下列问题：

(1)P点第一次与D点重合前与边相碰次，P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路

径的总长是cm．

(2)进一步探究：改变矩形ABCD中AD、AB的长，且满足AD＞AB，动点P从A点出发，按照阅

读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD相邻的两边上．若P点第

一次与B点重合前与边相碰7次，则AB：AD的值为．

专题26相对相称

————对称分析法

例15

例213提示：将b=2-a代入W=a24b21得W=a2222-a212，构造图

形如下图，可得W的最小值为APPBAB223213.

2222222

例3提示：设a1bb1a=m，则ab=m，2a1b=1+ab

2

即a-1b2=0，可得a=1b2.

例4证明以AC为对称轴，将△ADO翻转，D点必落在BO上，设为D，则AD=AD，

OD=OD；同理，将△BCO翻转，C点必落在AO上，设为C，则BCBC,OCOC,连接CD、

BC、AD，交于E，则CDCD，

CEDECD

在△ABE和△CDE中，有

BEAEAB

1+②得，BCADABCD，即AD+BC>AB+CD.

例5作B关于AC的对称点B，连AB，则N关于AC的对称点在AB上的N，这时，B到M的

最小值等于BMN的最小值,等于B到AB的距离BH，即BM+MN的最小值为BH’。连接B与

1

AB’和DC的交点P，则S2010100cm2

ABP2

1002

设AP=x，则PC=x，DP=20-x，由x2(20x)2102，得x=12.5，故BH'16cm，即BM+MN

12.5

的最小值为16cm。

能力训练

1．300º

2．4

3．提示：分别作点P关于OB，OA的对称点P1，P2，连P1P2分别交OB，OA于R，Q，则PQR周长

=PR+RQ+PQ=P1R+RQ+P2QP1P2，连OP1，OP2，则OP1=OP2=OP=10，

△

，

P1OP22AOB90

所以，即的周长的最小值为

P1P2102PQR102

△

4．10582提示：设65x，65y，则xy26，xy1，x6y610582

5．B

6．C

7．C

8．B提示：作点A关于BC的对称点D，在取BD的中点，x23,l7

9．de220，x20

10．13提示：作线段AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，AC=2，DB=3，在AB上去AP=x，则BP=12-x，

即在AB上求点P，使PC+PD值最小，运用对称分析法可求。

11．提示：观察计算：（1）（a+2）（2）a224

探究归纳：（1）①<②>

（）22222

2d1d2(a2)(a24)4a20

①当，即时，22，，∴；

4a200a5d1d20d1d20d1d2

②当，即时，22，，∴；

4a200a5d1d20d1d20d1d2

②当，即时，22，，∴