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文档简介
专题07分式的化简与求值
阅读与思考
给出一定的条件,在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值.而分式的化简与求值是紧密相连
的,求值之前必须先化简,化简的目的是为了求值,先化简后求值是解有条件的分式的化简与求值的基
本策略.
解有条件的分式化简与求值问题时,既要瞄准目标.又要抓住条件,既要根据目标变换条件.又要
依据条件来调整目标,除了要用到整式化简求值的知识方法外,还常常用到如下技巧:
1.恰当引入参数;
2.取倒数或利用倒数关系;
3.拆项变形或拆分变形;
4.整体代入;
5.利用比例性质等.
例题与求解
a3
【例l】已知a23a10,则代数式的值为.
a61
(“希望杯”邀请赛试题)
11
解题思路:目前不能求出a的值,但可以求出a3,需要对所求代数式变形含“a”.
aa
【例】已知一列数且,,
2a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a18a75832
aaaaaa
123456,则为()
a5
a2a3a4a5a6a7
A.648B.832C.1168D.1944
(五城市联赛试题)
解题思路:引入参数,把用的代数式表示,这是解决等比问题的基本思路.
ka1a7k
【例3】xyz3a(a0).
(xa)(ya)(ya)(za)(za)(xa)
求.
(xa)2(ya)2(za)2
(宣州竞赛试题)
解题思路:观察发现,所求代数式是关于xa、ya、za的代数式,而条件可以拆成
xa、ya、za的等式,因此很自然的想到用换元法来简化解题过程.
xyyzzx
【例4】已知1,2,3,求x的值.
xyyzzx
(上海市竞赛试题)
解题思路:注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元一次方程组,考虑取倒数,将方程组化
为简单的形式.
1111
【例5】不等于0的三个正整数a,b,c满足,求证:a,b,c中至少有两个互为相
abcabc
反数.
解题思路:a,b,c中至少有两个互为相反数,即要证明(ab)(bc)(ca)0.
(北京市竞赛试题)
【例6】已知a,b,c为正整数,满足如下两个条件:①abc32;
bcacababc1
②.求证:以a,b,c为三边长可以构成一个直角三角形.
bcacab4
解题思路:本题熟记勾股定理的公式即可解答.
(全国初中数学联赛试题)
能力训练
abcdabcd
1.若,则的值是.
bcdaabcd
(“希望杯”邀请赛试题)
xx2
2.已知1,则.
x23x1x49x21
(广东竞赛试题)
cab111
3.若ax21998,bx21999,cx22000且abc24,则
abbcacabc
的值为.
(“缙云杯”竞赛试题)
2x3xy2y311
4.已知,则.
x2xyy5xy
111
5.如果a1,b1,那么c().
bca
11
A.1B.2C.D.
24
(“新世纪杯”竞赛试题)
111
6.设有理数a,b,c都不为0,且abc0,则的
b2c2a2c2a2b2a2b2c2
值为().
A.正数B.负数C.零D.不能确定
2x23y26z2
7.已知4x3y6z0,x2y7z0(xyz0),则的值为().
x25y27z2
A.0B.1C.2D.不能确定
xx3
8.已知1,则的值为()
x2mx1x6m3x31
111
A.1B.C.D.
m333m223m21
a2b2c2
9.设abc0,求的值.
2a2bc2b2ac2c2ab
111
10.已知xyz其中x,y,z互不相等,求证x2y2z21.
yzx
(天津市竞赛试题)
1111
11.设a,b,c满足,
abcabc
1111
求证.(n为自然数)
a2n1b2n1c2n1a2n1b2n1c2n1
(波兰竞赛试题)
12.三角形三边长分别为a,b,c.
aabc
(1)若,求证:这个三角形是等腰三角形;
bcbca
1111
(2)若,判断这个三角形的形状并证明.
abcabc
111111
13.已知axbycz1,求的值.
1a41b41c41x41y41z4
(“华杯赛”试题)
14.解下列方程(组):
x1x8x2x7
(1);
x2x9x3x8
(江苏省竞赛试题)
5x96x84x192x21
(2);
x19x9x6x8
(“五羊杯”竞赛试题)
111
xyz2
111
(3).
yzx3
111
zxy4
(北京市竞赛试题)
B级
abc
1.设a,b,c满足abc0,abc0,若x,
abc
111111
ya()b()c(),则x2y3xy.
bccaab
abbcca(ab)(bc)(ca)
2.若abc0,且,则.
cababc
3.设a,b,c均为非零数,且ab2(ab),bc3(bc),ac4(ac),则abc.
xyzx2y2z2
4.已知x,y,z满足1,则的值为.
yzxzyxyzxzyx
accb
5.设a,b,c是三个互不相同的正数,已知,那么有().
baba
A.3b2cB.3a2bC.2bcD.2ab
111111
6.如果abc0,4,那么的值为().
abca2b2c2
A.3B.8C.16D.20
(x2)4(x1)21
7.已知x25x19910,则代数式的值为().
(x1)(x2)
A.1996B.1997C.1998D.19999
xy6x15y4x25xy6y2
8.若,则的值为().
3y2x5yxx22xy3y2
99
A.B.C.5D.6
24
(全国初中数学联赛试题)
9.已知非零实数a,b,c满足abc0.
(1)求证:a3b3c33abc;
abbccacab
(2)求()()的值.
cababbcca
(北京市竞赛试题)
a4ma21
10.已知a24a10,且3.求m的值.
2a3ma22a
(北京市竞赛试题)
11.完成同一件工作,甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的p倍,乙单独做所需时间为甲、
丙两人合做所需时间的q倍;丙单独做所需时间为甲、乙两人合做所需时间的x倍,
pq2
求证:x.(pq10)
pq1
(天津市竞赛试题)
b2c2a2a2c2b2b2a2c2
12.设A,B,C,当ABC3时,
2bc2ac2ab
求证:A2002B2002C20023.
(天津市竞赛试题)
13.某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯,以均匀的速度向上行驶,一男孩和一女孩同时从自动
扶梯上走到二楼(扶梯行驶,两人也走梯).如果两人上梯的速度都是匀速的,每次只跨1级,且男孩
每分钟走动的级数是女孩的2倍.已知男孩走了27级到达扶梯顶部,而女孩走了18级到达顶部.
(1)扶梯露在外面的部分有多少级?
(2)现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道,台阶的级数与自动扶梯的级数相等,两人各自到扶梯
顶部后按原速度再下楼梯,到楼梯底部再乘自动扶梯上楼(不考虑扶梯与楼梯间的距离).求男孩第一
次追上女孩时走了多少级台阶?
(江苏省竞赛试题)
专题07分式的化简求值
1a31
例1提示:
6
18a131
a
a3
aaaaaaa81
例2A提示:k6123456=1=,得k=,又
a2a3a4a5a6a7a758323
aaaaa
11234k2
a5a2a3a4a5
例3油x+y+z=3a,得(x-a)+(y-a)+(z-a)=0.设x-a=m,y-a=n,z-a=p,则m+n+p=0,即p=-(m+n).
mnnppmmnpmnmnmn21
原式====-
m2n2p2m2n2p2m2n2mn22
xy11
1,1,①
xyxy
12yz1111
例4x=提示:由已知条件知xy≠0,yz≠0,取倒数,得:,即,②
5zx2yz2
zx1111
,,③
zx3zx3
11111
①+②+③,得
xyz12
例5提示:由已知条件,得abb2acbccabb2acbca=babcabac
=abbcca0
例6由勾股定理,结论可表示为等式:a=b+c,①或b=a+c,②或c=b+a,③,联立①③,只需证a=16
或
或b=16或c=16,即(a-16)(b-16)(c-16)=0.④
展开只需证明
0=abc-16(ab+bc+ac)+162(a+b+c)-163=abc-16(ab+bc+ac)+163⑤
将①平方、移项,有a2+b2+c2=322-2(ab+bc+ca),⑥
又将②移项、通分,有
1b+c+ac+a-babc
0=-(++)
4bcacab
1ab+aca2bc+abb2acbcc2
=-(++)
4abcabcabc
abc8(abbcac)4(a2b2c2)
=
4abc
abc8(abbcac)4[3222(abbcca)]
=
4abc
把⑥代入等式中,
abc16(abbcac)163
0=
4abc
abc16(abbcac)162(abc)163
=
4abc
(a16)(b16)(c16)
=
4abc
当a-16=0时,由①有a=16=b+c,由勾股定理逆定理知,以a,b,c为三边长组成一
个以a为斜边的直角三角形.
同理,当b=16或c=16时,分别有b=a+c或c=b+a,均能以a,b,c为三边长组成一
个直角三角形.
A级
1.0或-2
1x23x11
2.∵=1,∴x+=4.
5xx
x49x21x21
又∵=5,∴=
x2x49x215
1
3.4.35.A
8
6.C提示:b2+c2-a2=-2bc
7.B
11
8.C提示:取倒数,得x+=1+m,原式的倒数=x3+-m3
xx3
9.1提示:2a2+bc=2a2+b(-a-b)=a2-ab+a2-b2=(a-b)(a+a+b)=(a-b)(a-c)
1111yz
10.提示:由x+=y+,得x-y=-,得zy=
yzzyxy
11.提示:参见例5得(a+b)(b+c)(a+c)=0
a(bc)bc
12.(1)∵=,∴(b+c)(ab+ac-a2-bc)=0.∴(b+c)(a-b)(c-a)=
bc(bc)a
0.
∵b+c≠0,∴a=b或c=a.∴这个三角形为等腰三角形.
1111acac
(2)∵+=+,∴=
acab+cbac(abc)b
∴(a-b+c)=ac,∴(a-b)(b-c)=0,a=b或b=c,
∴这个三角形为等腰三角形.
1111111
13.3x=,y=,c=,∴+=+=1,∴原式=3.
4441
abz1a1x1a1
a4
11
14.(1)x=-
2
123
(2)x=
14
232323
(3)(x,y,z)=(,,)提示:原方程组各方程左端通分、方程两边同时取倒数.
1062
B级
1.2
abbcca1128
2.-1或8提示:设===k,则k=-1或23.
cab35
xyz1xyxz
4.0提示:由=1--,得:=x--5.A6.C
yzzxxy4zxxy
(x2)4x(x2)(x2)3x
7.D提示:原式==
(x1)(x2)x1
x36x212x8x
=
x1
x2(x1)5x(x1)8(x1)
=
x1
=x2-5x+8
8.A提示:由已知条件得x=3y
9.(1)由a+b+c=0,得a+b=-c∴a3+b3+c3=-3ab(a+b)=3abc
abbccac2c2
(2)∵(++)·=1+,∴同理:
cababab
abbccaa2a2
(++)·=1+,
cabbcbc
abbccab2b2
(++)·=1+,
cabcaac
2c22a22c22(a3b3c3)
∴左边=3+++=3+=9
abbcababc
10.∵a2+4a+1=0,∴a2+1=-4a,①
a4ma21(a1)2(m2)a2
a≠0.==3.把①代入上式中,
2a3ma22a2a(a21)ma2
16a2(m2)a2169m2)
=3,消元得=3,解得m=19.
8a2ma28m
11.设甲、乙、丙三人单独完成此项工作分别用a天、b天、c天,则
bc111
ap,p,
bcabc
ac111
bq,即q,
acbac
ab111
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