初中数学自主招生难度讲义-8年级专题18直角三角形

专题18直角三角形(吴梅录入)

阅读与思考

直角三角形是一类特殊三角形，有以下丰富的性质：

角的关系：两锐角互余；

边的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和；

边角关系：30所对的直角边等于斜边的一半.

这些性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面.

在现阶段，勾股定理是求线段的长度的主要方法，若图形缺少条件直角条件，则可通过

作辅助垂线的方法，构造直角三角形为勾股定理的应用创造必要条件；运用勾股定理的逆定

理，通过代数方法计算，也是证明两直线垂直的一种方法.

熟悉以下基本图形基本结论：

例题与求解

【例l】（1）直角ABC三边的长分别是x，x1和5，则ABC的周长＝

_____________.ABC的面积＝_____________.

△△

（2）如图，已知RtABC的两直角边AC＝5，BC＝12，D是BC上一点，当AD是∠

△

A的平分线时，则CD＝_____________.

△

（太原市竞赛试题）

解题思路：对于（1），应分类讨论；对于（2），能在RtACD中求出CD吗？从角平

分线性质入手.

△

【例2】如图所示的方格纸中，点A，B，C，都在方格线的交点，则∠ACB＝（）

A.120°B.135°C.150°D.165°

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：方格纸有许多隐含条件，这是解本例的基础.

【例3】如图，P为ABC边BC上的一点，且PC＝2PB，已知∠ABC＝45°，∠APC

＝60°，求∠ACB的度数.

△

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

解题思路：不能简单地由角的关系推出∠ACB的度数，综合运用条件PC＝2PB及∠APC

＝60°，构造出含30°的直角三角形是解本例的关键.

【例4】如图，在ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，分别以AB，AC为边在ABC的

外侧作等边ABE和等边ACD，DE与AB交于F，求证：EF＝FD.

△△

△△

（上海市竞赛试题）

解题思路：已知FD为RtFAD的斜边，因此需作辅助线，构造以EF为斜边的直角三

角形，通过全等三角形证明.

△

【例5】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝CD，求证：

BD2AB2BC2

（北京市竞赛试题）

解题思路：由待证结论易联想到勾股定理，因此，三条线段可构成直角三角形，应设法

将这三条线段集中在同一三角形中.

【例6】斯特瓦尔特定理：

如图，设D为ABC的边BC上任意一点，a，b，c为ABC三边长，则

b2BDc2DC

AD2△BDDC.请证明结论成立.△

a

解题思路：本题充分体现了勾股定理运用中的数形结合思想.

能力训练

A级

1.如图，D为ABC的边BC上一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，则

BC＝_____________.

△

2.如图，在RtABC中∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，DE是斜边AB的垂直

平分线，且DE＝1cm，则AC＝_____________cm.

△

3.如图，四边形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝90°，则∠

DAB＝_____________.

（上海市竞赛试题）

4.如图，在ABC中，AB＝5，AC＝13，边BC上的中线AD＝6，则BC的长为

△

_____________.

（湖北省预赛试题）

5.如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30º，那么这个三角形

的形状是（）

A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定

（山东省竞赛试题）

6.如图，小正方形边长为1，连结小正方形的三个顶点可得ABC，则AC边上的高为

（）

△

3334

A.2B.5C.5D.5

21055

（福州市中考试题）

7.如图，一个长为25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底

端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑（）

A.15分米B.9分米C.8分米D.5分米

8.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，AD＝5，那么

BC等于（）

CD

5

A.1B.2C.3D.

4

9.如图，ABC中，AB＝BC＝CA，AE＝CD，AD，BE相交于P，BQ⊥AD于Q，

求证：BP＝2PQ.

△

（北京市竞赛试题）

10.如图，ABC中，AB＝AC.

（1）若P是BC边上中点，连结AP，求证：BPCPAB2AP2

△

（2）P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请

说明理由；

（3）若P是BC边延长线上一点，线段AB，AP，BP，CP之间有什么样的关系？请证

明你的结论.

11.如图，直线OB是一次函数y2x图象，点A的坐标为（0，2），在直线

OB上找点C，使得ACO为等腰三角形，求点C的坐标.

△

12.已知：如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在C处，BC交

AD于E，AD＝8，AB＝4，求BED的面积.

△

（山西省中考试题）

B级

1.若ABC的三边a,b,c满足条件：a2b2c233810a24b26c，则这个

三角形最长边上的高为_____________.

△

2.如图，在等腰RtABC中，∠A＝90°，P是ABC内的一点，PA＝1，PB＝3，

PC＝7，则∠CPA＝__△___________.△

3.在ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则ABC的周长为_____________.

△△

4.如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD

于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，则CF与GB的大小关系是（）

△

A.CF＞GBB.CF＝GBC.CF＜GBD.无法确定

5.在ABC中，∠B是钝角，AB＝6，CB＝8，则AD的范围是（）

A.8＜AC＜10B.8＜AC＜14C.2＜AC＜14D.10＜AC＜14

△

（江苏省竞赛试题）

6.满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形

的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

（浙江省竞赛试题）

7.如图，ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E，F分别是

AB，AC边上的点，且DE⊥DF，若BE＝12，CF＝5，求DEF的面积.

△

△

（四川省联赛试题）

8.如图，在RtABC中，∠A＝90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：

EF2BE2CF2

△

（江苏省竞赛试题）

9.周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；

若存在，请证明有几个.

（全国联赛试题）

10.如图，在ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝2，求ABC

面积.

△△

（天津市竞赛试题）

11.如图，在ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E，F分别是BC上两点，若∠EAF

＝45°，试推断BE，CF，EF之间数量关系，并说明理由.

△

12.已知在RtABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠MCN＝45°.

（1）如图1，当M，N在AB上时，求证：MN2AM2BN2

△

（2）如图2，将∠MCN绕点C旋转，当M在BA的延长线上时，上述结论是否成

立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

（天津市中考试题）

专题18直角三角形

22

例1（1）12或30；6或30；提示：x2x125，得x3；由x252x1，得x12，

102

（2）提示：作DE⊥AB于E，设CD=x，则BE=13-5=8，DE=x，BD=12-x，由x28212x，

3

10

得x．

3

例2B提示：过B作BD⊥AC延长线于D点，设CD=x，BD=y，可求得：x=y，则∠BCD=45°，

故∠BCA=135°．

例3∠ACB=75°提示：过C作CQ⊥AP于Q，连接BQ，则AQ=BQ=CQ．

例4提示：过E作EG⊥AB于G，先证明Rt△EAG≌Rt△ABC，再证明△EFG≌△DFA．

例5连接AC

∵AD=DC，∠ADC=60°，

∴△ADC是等边三角形，DC=CA=AD，

以BC为边向四边形外作等边三角形BCE，即BC=BE=CE，

则∠BCE=∠EBC=∠CEB=60°，

∴∠ABE=∠ABC+∠EBC=90°，

连接AE，则AE2AB2BE2AB2BC2，

易证△BDC≌△EAC，得BD=AE，故BD2AB2BC2．

例6过A作AE⊥BC于E，

设DE=x，BD=u，DC=v，AD=t，则

22

AE2b2vxc2uxt2x2，

故t2b2v22ux，t2c2u22ux，

b2uc2vb2BDc2CD

消去x得t2uv，即AD2BDDC．

uva

A级

1．142．33．135°

4．261提示：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，则△ACD≌△EBD，∴BE=AC=13，AE=12，

又AB=5，则∠BAD=90°，

5．D6．C7．C8．B9．提示：△ADC≌△BEA，∠BPQ=60°．

10．（1）（2）略（3）提示：AB，AP，BP，CP，之间的关系是AP2AB2BPCP

816254525451

11．提示：满足提议的点有4个，作别分别为：,,,,,,,1；

5555552

12．10．

B级

60

1．2．135°提示：将PAC绕A点顺时针旋转90°，3．32或42提示：分类讨论。

13

4．B5．D△

1

6．C提示：设直角三角形两直角边长为a，b（a≤b），则aba2b2kab（a，b，k

2

ka41ka42

均为正整数），化简得：(ka-4)(ka-b)=8，∴或，解得（k，a，b）=（1，

kb48kb44

5，12）或（2，3，4）或（1，6，8）．

169

7．提示：连接AD，由△ADE≌△CDF，得ED=DF，AE=CF=5，AF=BE=12，

4

EFAE2AF213．

8．提示：延长ED至G，使DG=ED，连接CG，FG，则BE=CG，EF=FG．

9．解：设此直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a，b，面积为S，则：

abcab①

abc6②

a2b2c2③

1

Sab为整数④

2

由①②得：2<c<3⑤

2

由②得：a2b26c，把③④代入上式得：3c=9-S，

即6<3c<9，而S为整数，从而3c=7或8，

11

ab=

若3c=7，则S=2，代入②、④得：3，ab=4，次方程1．一副三角板，按图11-2-1

所示方式叠在一起，则图中的度数是（）．

A．75°B．60°C．65°D．55°

2．如图11-2-2所示，在△ABC中，∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，则∠A的度数为（）

A．36°B．72°C．108°D．144°

图11—2—1图11—2—2

3．我们知道：等腰三角形的两个底角相等，已知等腰三角形的一个内角为40°，则这

个等腰三角形的顶角为（）．

A．40°B．100°C．40°或100°D．70°或50°

4．（1）在△ABC中，若∠A﹕∠B﹕∠C=2﹕3﹕4，则∠A=，∠B=，∠C=．

11

（2）在△ABC中，若ABC，则∠C=．

23

（3）若三角形的三个外角的比是2﹕3﹕4，则这个三角形按角分是三角形．

5．已知：如图11-2-3所示，CE⊥AB于点E，AD⊥BC于点D，∠A=30°，则∠C的度数

为．

6．已知：如图11-2-4所示，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东60°，

在B处测得灯塔C位于北偏东25°，则∠ACB=．

图11—2—3图11—2—4

7．如图11-2-5所示，已知∠EGF=∠E+∠F，求∠A+∠B+∠C+∠D的度数．

图11—2—5

8．（1）已知，如图11-2-6所示，AD是高，AE是∠BAC的平分线，是说明：

1

DAE(CB)．

2

图11—2—6

（2）如图11-2-7所示，在△ABC中，已知三条角平分线AD、BE、CF相交于点I，

IH⊥BC，垂足为H，∠BID与∠HIC是否相等？并说明理由．

图11—2—7

能力提升

9．在三角形中，最大角的取值范围是（）．

A．090B．60180C．6090D．60180

10．直角三角形中两锐角平分线所成的角的度数是（）．

A．45°B．135°C．45°或135°D．都不对

11．如图11-2-8所示，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则

∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，那么，你发现的规律是（）．

1

A．A12B．A(12)

2

12

C．A(212)D．A(12)

33

图11—2—8

12．已知△ABC的三个内角为∠A、∠B、∠C，且AB，BC，

AC，则,,中，锐角的个数最多为（）

A．0B．1C．2D．3

13．在△ABC中，BC边不动，点A竖直向上运动，∠A越来越小，∠B、∠C越来越大，

若

∠A减少，∠B增加，∠C增加，则,,三者之间的关系是．

14．在△ABC中，高BD、CE所在的直线相交于点H，且点H与点B、C不重合，∠A=50°，

则∠BHC=．

15．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰成20°角，则这个三角形的顶角是．

16．如图11-2-9所示，在△ABC中，A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，A2B平分∠A1BD，

A2C平分∠A1CD，A3B平分∠A2BD，A3C平分∠A2CD，若∠A=64°，则∠A3=；依此

类推，若∠A=，∠An=．

图11—2—9

17．（1）如图11-2-10所示，在△ABC中，∠ABC的n等分线与∠ACB的n等分线分别

交于G1，G2，G3，…，Gn-1，试猜想：∠BGn-1C与∠A的数量关系．（其中n是不小

于2的整数）．首先得到：当n=2时，如图（a）所示，∠BG1C=，当n=3时，如图

（b）所示，∠BG2C=，…，如图（c）所示，猜想∠BGn-1C=．

……

（a）（b）（c）（d）

图11—2—10

（2）如图（d）所示，在四边形ABCD中，BP、CP仍然是∠ABC，∠BCD的角平分线，

则

∠P与∠A、∠D之间的数量关系为．

18．如图11-2-11所示，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，AG⊥AE，CG是△ABC

的外角∠ACF的平分线，若∠G-∠DAE=60°，则∠ACB=．

图11—2—11

19．阅读材料：如图11-2-12所示，AD与CB相交于O点，在△AOB和△COD中，∠A+

∠B+

∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°，∠AOB=∠COD，所以∠A+∠B=∠C+∠D．

图形类似数字“8”，所以我们称之为“8”字形．

根据上述材料解决下列问题：

如图11-2-13所示，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠A=48°，∠C=46°，BE与AD

相交于点G，BC与DE相交于点H．

（1）仔细观察图11-2-13中有个“8”字形．

（2）求∠BED的度数．

（3）试探究∠A，∠E，∠C之间的关系．（直接写出结论）

图11—2—12图11—2—13

20．如图11-2-14所示，已知射线OM与射线ON互相垂直，B、A分别为OM、ON

上一动点，

（1）若∠ABM，∠BAN的平分线交于点C．问：点B、A在OM、ON上运动过程中，

∠C的度数是否改变？若不变，直接写出结论；若改变，说明理由．

（2）如图11-2-15所示，若∠ABO、∠BAN的平分线所在的直线相交于点C，其他

条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，求出其值；若不成立，说明

理由．

图11—2—14图11—2—15

21．如图11-2-16所示，在△ADE和△ABC中，∠EAD=∠AED=∠BAC=∠BCA=45°，

∠BAD=∠BCF．

（1）求∠ECF+∠DAC+∠ECA的度数；

（2）判断ED与FC的位置关系，并对你的结论加以证明．

图11—2—16

22．如图11-2-17（a）所示，在平面直角坐标系中，△DEQ的一个顶点在x轴的负半轴

上，边DQ交x轴于点C，且CE平分∠DEQ，过点D作直线交x轴于点B，交y轴

于点A，使∠ADE=∠BDC，已知C(m,0)，E(n,0)，其中m，n满足

m3(n4)0．

（1）求点C、E的坐标．

（2）若∠ABC=30°，求∠Q的度数．

（3）如图11-2-17（b）所示，在平面直角坐标系中，若直线AB绕点D旋转，过D

作DH⊥AB，交x轴于点G，交y轴于点H，直线AB绕点D转动时，下列结

Q

论：①∠Q的大小不变；②的值不变．选择一个正确的结论，求其值，

OHD

并证明你的结论．

（a）（b）

图11-2-17

中考链接

23．（2011·四川绵阳）将一副常规三角尺按图11-2-18所示方式放置，则图中∠AOB

的度数为

A．75°B．95°C．105°D．120°

24．一副三角板叠在一起按图11-2-19所示方式放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰

直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M.如果∠ADF=100°，那么∠BMD为度.

图11—2—18图11—2—19

巅峰突破

11

25．如图11-2-20所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠DAF=DBA，EBGEBA，

33

则射线AF与BG（）

A．平行B．延长后相交C．反向延长后相交D．可能平行也可能相交

26．如图11-2-21所示，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若A，B，则∠

C=．（用,表示）

图11—2—20图11—2—21

（2）如下图所示，过点G作GM⊥BC于M，连接HF.

∵AD∥BC，∴∠AHF=∠MFH.

∵EH∥FG，∴∠EHF=∠GFH.∴∠AHE=∠MFG.

又∵∠A=∠GMF=90°，EH=GF，

∴△AHE≌△MFG.∴GM=AE=2.

∵BC=12，BF=a，∴FC=12－a.

1

∴SFCGM12a.

GFC2

(3)△GFC的面积不能等于2.

∵点H在AD上，∴菱形边上EH的最大值为

EHAE2AD2237.

∴BF的最大值为221.

又因为的值随着a的增大而减小，

SGFC12a

所以的最小值为

SGFC12221.

又∵122212，∴△GFC的面积不能等于2.

第三节梯形

基础演练

1.C；2.B；3.C；4.D；5.B；6.①②③

能力提升

7.D；8.B；9.A；10.B；11.32

12.如下图所示，作DE∥AC，交BC的延长线于E，则四边形AQCED为平行四边形，∴AD=CE.

∵AC⊥BD，∴∠BDE=90°.

111

∴梯形的中位线长ADBCCEBCBE.

222

∵BEBD2DE29212215.

1

∴梯形的中位线157.5.

2

13.(1)如下图所示，把等腰梯形的两腰分别延长后可得一个边长为2的等边三角形.

所以它可以由一个边长为2的等边三角形，沿着中位线的位置形剪一刀而得.

（2）四种.分别用3，4，5个小梯形拼出较大的等腰梯形.

①3个梯形，周长为11cm，如下图所示；

②4个梯形，周长为10cm，如下图所示；

③5个梯形，周长为17cm，如下图所示；

④5个梯形，周长为11cm，如下图所示；

14.（1）∵AB∥DF，∴∠1=∠ADF.

∴∠1=∠2，∴∠2=∠ADF.∴EA=ED.

又AC=DF，∴EC=EF.

∴△EAD及△ECF均是等腰三角形，且顶角为对顶角，由三角形内角和定理知∠ADF=∠DFC，

∴AD∥CF.又∵CF＜AD，∴四边形ADCF是梯形，

∵AC=DF，∴ADCF是等腰梯形.

(2)四边形ADCF的周长=AD+DC+CF+AF.①

∵△ADC的周长=AD+DC+AC=16（厘米）.②

AF=3（厘米）.③FC=AC－3.④

将②，③，④代入①得：

四边形ADCF的周长=AD+DC+(AC－3)+AF=(AD+DC+AC)－3+3=16（厘米）.

15.(1)解：∵∠BCD=75°，AD∥BC，

∴∠ADC=105°.

由等边△DCE可知∠CDE=60°，故∠ADE=45°.

由AB⊥BC，AD∥BC，可得∠DAB=90°，

∴∠AED=45°.

（2）证明：如图（a）所示，由（1）知∠AED=45°，

∴AD=AE，故点A在线段DE的垂直平分线上.

由△DCE是等边三角形得CD=CE，故点C也在线段DE的垂直平分线上.

连接AC，∵∠AED=45°，∴∠BAC=45°.

又AB⊥BC，∴∠ACB=45°.∴BA=BC.

（3）如图（b）所示，∵∠FBC=30°，∴∠ABF=60°.

连接AF，BF，AD的延长线相交于点G，

∵∠FBC=30°，∠DCB=75°，

∴∠BFC=75°，故BC=BF.

由（2）知：BA=BC，故BA=BF，

∵∠ABF=60°，∴AB=BF=FA，

又∵AD∥BC，AB⊥BC，

∴∠FAG=∠G=30°，∴FG=FA=FB.

∵∠G=∠FBC=30°，∠DFG=∠CFB，FB=FG，

∴△BCF≌△GDF.

DF

∴DF=CF，即点F是线段CD的中点.∴1.

FC

16.（1）证明：∵EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，

11

∴xAFmnxnAFm.

22

∴2AF2n2x.∴AFnx.

又∵ECBCBEnx，∴AFEC.

（2）当直线E'E经过原矩形顶点D时，如图

∵DCB'Cm，EC∥E'B'，∴DEE'E.

∴2ECE'B'.即2nxx，

∴2n3x.∴x:n2:3.

17.（1）NE=MB且NE⊥MB.

（2）成立.

理由：如下图所示，连接AE.

1

∵E为CD中点，AB=BC=CD，∴AB=EC.

2

又AB∥CD，即AB∥CE，

∴四边形ABCE为平行四边形.

∵∠C=90°，∴四边形ABCE为矩形.

又AB=BC，∴四边形ABCE为正方形.

∴AE=AB.∵等腰直角三角形AMN中，

∴AN=AM，∠NAM=90°.

∴∠1+∠2=90°.

又∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3.

∴△NAE≌△MAB.∴NE=MB.

延长NE、BM交于点F.

由△NAE≌△MAB可得，∠AEN=∠ABM.

∴∠4=∠6.

∵∠5=∠6，∴∠4=∠5.

又∠EMF=∠BMC，∴∠EFB=∠C=90°.

∴BM⊥NE.

中考链接

18.（1）设AB=10xkm，则AD=5xkm，CD=2xkm，

∵四边形ABCD是等腰梯形，∴BC=AD=5xkm，

∴AD+CD+CB=12xkm，

∴外环公路的总长和市区公路长的比为12x：10x=6：5；

（2）由（1）可知，市区公路的长为10xkm，外环公路的总长为12xkm，由题意得：

10x12x1

.解这个方程得x1.∴10x10.

408010

答：市区公路的长为10km.

19.（1）略

（2）解：如下图所示，作BH⊥AD，CK⊥AD，

则有BC=HK，

∵∠BAD=45°，∴∠HAB=∠KDC=45°,

∴AB2BH2AH，

同理：CD2CK2KD，

ADBCHB

∵S梯形，ABa，

ABCD2

22

a22BCa

2

22a2aBC

∴S梯形，

ABCD22

3a22aBC3

而SSa2，∴2a2，

ABEDCF424

62

∴BCa

2

巅峰突破

20.(1)10；33.

（2）如下图(a)、（b）所示.

①∵△BEF与梯形ABCD等高，梯形ABCD的高DN3，

113

∴SBF33x，即yx；

BEF222

LSL

②∵，k（k为常数），

BEBFyBEBF

36

∴kyS.∴kx33.∴k.

2x

∴0k6,0x4，k为整数，∴x1,2,3.

即BF的长为：1cm、2cm、3cm.

21.（1）略.

(2)解：如下图所示，延长CD和BE的延长线交于H，

∵BF⊥CD，∠BEC=90°，∴∠HEC=90°，

∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°，

∴∠EBF=∠ECH，

∵BE=CE，∠BEC=∠CEH，∴△BEG≌△CEH（ASA），

∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，

∵△BAE≌△CDE，∴∠AEB=∠GED，∠HED=∠AEB.∴∠GED=∠HED，

∵ED=ED，∴△GED≌△HED（SAS），

∴DG=DH，∴BG=DG+CD，

∵DG=2cm，BG=6cm，

∴CD=BG－DG=4（cm）

第四节线段中点的应用

基础演练

1.C；2.C；3.B；4.C

5.如下图所示，连接CM，AM，

∵∠DAB=∠BCD=90°,M为BD中点，

1

∴CM=BD=AM.∴△AMC为等腰三角形.

2

∵N为AC中点，∴MN⊥AC.

6.如下图所示，连接PR、PQ，∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC=BC，∠A=∠B=∠C=60°.

∵△MPS是等边三角形，

∴PS=PM，∠MPS=60°.

∵P为AB的中点，Q为AC的中点，R为BC的中点，

11

∴PQ∥BC,PR∥AC.∴PQ=PR.

22

∴

∴∠APQ=∠BPR=60°，∴∠RPQ=180°－2×60°=60°.

又∵∠QPS=∠MPS－∠MPQ=60°－∠MPQ，

∠RPM=∠RPQ－∠MPQ=60°－∠MPQ，

∴∠QPS=∠RPM.∴△PRM≌△PQS.

∴PM=QS.

7.△AGD是直角三角形

如下图所示，连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE，

∵F是AD的中点，

1

∴HF∥AB，HE=AB.∴∠1=∠3.

2

1

同理，HE∥CD，HE=CD.∴∠2=∠EFC.

2

∵AB=CD，∴HF=HE，

∴∠1=∠2，∵∠EFC=60°.

∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°.

∴△AGF是等边三角形.

∴AF=GF.∴GF=FD.∴∠FGD=∠FDG=30°.

∴∠AGD=90°.即△AGD是直角三角形.

能力提升

139

8.9.

2201264

10.∵点E、F分别是AD、AB的中点，

1

∴EF∥BD，∴EF=BD，∴∠FCD=∠CFE，

2

在△ABC中，∠ACB=90°.

1

∵E是AD的中点，∴CE=AD.

2

∵AD=BD，∴EF=CE.∴∠ECF=∠CFE.

∴∠FCD=∠ECF.即CF是∠ECB的平分线.

11.如下图所示，取AD中点G，连接EG、FG，

∵E是AC的中点，∴EG是△ACD的中位线.

11

∴EG=CD.同理可证：FG=AB.

22

1

在△EFG中，EFEGFG.∴EFCDAB.

2

12.∵点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点，

1

∴FG∥BC，FE∥AC，FE=AC.∴FG∥ED.

2

∵FE∥AC，DG与AC是相交的，

∴DG与EF不平行.∴四边形EFGD是梯形.

∵AD是三角形的高，∴△ADC是直角三角形.

1

∵DG是斜边上的中线，∴DG=AC.

2

∴DG=EF.∴梯形EFGD是等腰梯形.

13.（1）如图（a）所示，连接CF，线段CF与FE之间数量关系是CE2FE；

（2）（1）中的结论仍然成立.

如图（b）所示，连接CF，延长EF交CB于点G，

①先送2根，再送4根，二次共走行驶：

10001002110040025200米；

②先送4根，再送2根，二次共行驶：

10003002130020025600米；

（2）两次各送3根时，所行路程为

10002002120030025400米.

故先送2根所行驶路程最短，最短总行程为：

100010021100400215004002

19004002230040019000米

故所用最少油费为19000mn100019mn元

例6如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13.点P到BC，CA，AB的距离分别为

，连接，，，由三角形的面积公式知：

d1,d2,d3PAPBPC

1111

5d12d13d512.即5d12d13d60.显然有

2122232123

5d1d2d35d112d213d313d1d2d3.

60

故ddd12.

13123

当时，有，即取最大值时，与重合；当

d2d30d1d2d312d1d2d3PA

60

dd0时，有ddd，即ddd取最小值时，P与C重合.

1212313123

A级

2

1.27原式=3a2b2c2abc27

2.6

32390A2ABBC

3.15°提示：

66

270ABC90

15

66

c1c

4.2提示：bac,acb，∴2ac,2，又把bac

a2a

c1c1

代入bc中，得acc，∴.故2.

a2a2

5.D6.B7.A8.B

x12yz3

9.设k，则x2k1,y3k2,z4k3.

234

2k10

12

∴x,y,z均为非负实数.∴3k20，解得：k.

23

4k+30

故3x4y5z32k143k254k314k26.

121

∴142614k261426，即1935，

233

1

所以的最小值是19，最大值是35.

3

10.20套.1800元.提示：设生产L型号的童装套数为x，则生产M型号的童装为50x

套，所得利润S45x3050x15x1500.

0.5x0.950x38

由

x0.250x26

得17.5x20，x18,19,20.

11.最小表面积的打包方式为2×3.最小表面积为17952mm2，图略.

B级

1.27当b2,a25时，ab的值最大.

2.102提示：mn19n98,19n980.

5b8b64b

3.1157提示：a,c,d.

8525

4.B，D，E93.62百元

5.13800元提示：设由甲库调运x吨粮食到B市，总运费为y元，则

y5x6600x6800x9600x

2x138000x600

abcd

6.C提示：

abcdabcdabcdabcd

abcd

M.

ababc