初中数学自主招生难度讲义-9年级专题14 平行线分线段成比例

专题14平行线分线段成比例

阅读与思考

平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，是研究比例线段及相似形的最基本、最

重要的理论．

运用平行线分线段成比例定理解题的关键是寻找题中的平行线．若无平行线，需作平行线，而作平

行线要考虑好过哪一个点作平行线，一般是由成比例的两条线段启发而得．此外，还要熟悉并善于从复

杂的图形中分解出如下的基本图形：

例题与求解

【例1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝a，BC＝b，E，F分别是AD，BC的中点，且AF

交BE于P，CE交DF于Q，则PQ的长为＿＿＿＿．

（上海市竞赛试题）

解题思路：建立含PQ的比例式，为此，应首先判断PQ与AD（或BC）的位置关系，关键是从复

杂的图形中分解出基本图形，并能在多个成比例线段中建立联系．

AED

PQ

BC

F

【例2】如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，M是AC的中点，BM交AD，AE于G，H，

则BG︰GH：HM等于（）

A．3︰2︰1B．4︰2︰1C．5︰4︰3D．5︰3︰2

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

解题思路：因题设条件没有平行线，故须过M作BC的平行线，构造基本图形．

A

M

GH

BC

DE

【例3】如图，□ABCD中，P为对角线BD上一点，过点P作一直线分别交BA，BC的延长线于Q，

R，交CD，AD于S，T．

求证：PQ•PT＝PR•PS．

（吉林省中考试题）

PQPR

解题思路：要证PQ•PT＝PR•PS，需证＝，由于PQ，PT，PR，PS在同一直线上，故不能

PSPT

直接应用定理，需观察分解图形．

Q

AD

PS

BR

C

【例4】梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC．

（1）如图1，如果P，E，F分别是BC，AC，BD的中点，求证：AB＝PE＋PF；

（2）如图2，如果P是BC上的任意一点（中点除外），PE∥AB，PF∥DC，那么AB＝PE＋PF这

个结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．

（上海市闵行区中考试题）

ADAD

FEFE

BPCBPC

图1图2

解题思路：（1）不难证明；对于（2），先假设结论成立，从平行线出发证明AB＝PE＋PF，即要证

PEPF

明＋＝1，将线段和差问题的证明转化为与成比例线段相关问题的证明．

ABAB

【例5】如图，已知AB∥CD，AD∥CE，F，G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB，

AD，CD，CE于点M，N，P，Q．

求证：MN＋PQ＝2PN．

解题思路：考虑延长BA，EC构造平行四边形，再利用平行线设法构造有关的比例式．

（浙江省竞赛试题）

E

Q

P

CD

G

FN

AMB

【例6】已知：△ABC是任意三角形．

（1）如图1，点M，P，N分别是边AB，BC，CA的中点，求证：∠MPN＝∠A；

AM1AN1

（2）如图2，点M，N分别在边AB，AC上，且＝，＝，点P1，P2是

AB3AC3

边BC的三等分点，你认为∠MP1N＋∠MP2N＝∠A是否正确？请说明你的理由；

（3）如图3，点M，N分别在边AB，AC上，且P1，P2，…，P2009是边BC的2010等分点，则∠

MP1N＋∠MP2N＋…＋∠MP2009N＝＿＿＿＿．

（济南市中考试题）

A

AA

MN

MN

MN

BCBC

BCPP

PP1P21P22009

图1图2图3

解题思路：本题涉及的考点有三角形中位线定理、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质．

能力训练

A级

abcabcabc

1．设K＝＝＝，则K＝＿＿＿＿．

cba

（镇江市中考试题）

2．如图，AD∥EF∥BC，AD＝15，BC＝21，2AE＝EB，则EF＝＿＿＿＿．

AA

AD

AD

NF

DG

EFEG

H

CBCBC

BCBMFE

第2题第3题第4题第5题

3．如图，在△ABC中，AM与BN相交于D，BM＝3MC，AD＝DM，则BD︰DN＝＿＿＿＿．

（杭州市中考试题）

4．如图，ABCD是正方形，E，F是AB，BC的中点，连结EC交DB，交DF于G，H，则EG︰

GH︰HC＝＿＿＿＿．

（重庆市中考试题）

5．如图，在正△ABC的边BC，CA上分别有点E，F，且满足BE＝CF＝a，EC＝FA＝b（a＞b），

a

当BF平分AE时，则的值为（）

b

51525152

A．B．C．D．

2222

6．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上的一点，且AF︰FD＝1︰5，连结CF并延

长交AB于E，则AE︰EB等于（）

A．1︰10B．1︰9C．1︰8D．1︰7

A

E

FA

A

Q

EF

BCBCBC

DPD

第6题第7题第8题

7．如图，PQ∥AB，PQ＝6，BP＝4，AB＝8，则PC等于（）

A．4B．8C．12D．16

3

8．如图，EF∥BC，FD∥AB，BD＝BC，则BE︰EA等于（）

5

A．3︰5B．2︰5C．2︰3D．3︰2

9．（1）阅读下列材料，补全证明过程．

已知，如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，OE⊥BC于E，连结DE交OC于点F，作FG

⊥BC于G．求证：点G是线段BC的一个三等分点．

（2）请你依照上面的画法，在原图上画出BC的一个四等分点．（要求：保留画图痕迹，不写画法及

证明过程）

（山西中考试题）

AD

AD

ODCEF

O

F

G

BCAB

EGEBC

第9题第10题第11题

1

10．如图，已知在□ABCD中，E为AB边的中点，AF＝FD，FE与AC相交于G．

2

1

求证：AG＝AC．

5

11．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF∥AD．

（1）求证：OE＝OF；

OEOE

（2）求＋的值；

ADBC

112

（3）求证：＋＝．

ADBCEF

（宿迁市中考试题）

12．如图，四边形ABCD是梯形，点E是上底边AD上的一点，CE的延长线与BC的延长线交于

点F，过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M，MB与AD交于点N．

求证：∠AFN＝∠DME．

（全国初中数学联赛试题）

P

F

M

N

AD

E

BC

Q

B级

1．如图，工地上竖立着两根电线杆AB，CD，它们相距15cm，分别自两杆上高出地面4m，6m

的A，C处，向两侧地面上的E，D和B，F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳AD与

BC的交点P离地面的高度为＿＿＿＿m．

（全国初中数学联赛试题）

A

AD

CD

AOF

F

EBDFBB

QCECE

第1题第2题第3题

2．如图，□ABCD的对角线交于O点，过O任作一直线与CD，BC的延长线分别交于F，E点．设

BC＝a，CD＝b，CF＝c，则CE＝＿＿＿＿．

（黑龙江省中考试题）

3．如图，D，F分别是△ABC边AB，AC上的点，且AD︰DB＝CF︰FA＝2︰3，连结DF交BC

边的延长线于点E，那么EF︰FD＝＿＿＿＿．

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

4．如图，设AF＝10，FB＝12，BD＝14，DC＝6，CE＝9，EA＝7，且KL∥DF，LM∥FE，MN

∥ED，则EF︰FD＝＿＿＿＿．

（江苏省竞赛试题）

AD

A

FE

F

LMAEM

E

BCBCBD

KDNFC

第4题第5题第6题

5．如图，AB∥EF∥CD，已知AB＝20，CD＝80，那么EF的值是（）

A．10B．12C．16D．18

（全国初中数学联赛试题）

6．如图，CE，CF分别平分∠ACB，∠ACD，AE∥CF，AF∥CE，直线EF分别交AB，AC于点

M，N．若BC＝a，AC＝b，AB＝c，且c＞a＞b，则EM的长为（）

caabcbabc

A．B．C．D．

2222

（山东省竞赛试题）

7．如图，在□ABCD的边AD延长线上取一点F，BF分别交AC与CD于E，G．若EF＝32，

GF＝24，则BE等于（）

A．4B．8C．10D．12E．16

（美国初中数学联赛试题）

8．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3CD，E是对角线AC的中点，直线BE交AD于点F，

则AF︰FD的值是（）

53

A．2B．C．D．1

32

（黄冈市竞赛试题）

F

DCAD

E

DGF

CMNP

EF

E

ABABBC

第7题第8题第9题

9．如图，P是梯形ABCD的中位线MN所在直线上的任意一点，直线AP，BP分别交直线CD于

E，F．

MN1AEBF

求证：＝()．

NP2EPFP

（宁波市竞赛试题）

10．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于O，直线l平行于BD且与AB，DC，BC，AD

及AC的延长线分别交于点M，N，R，S和P．

求证：PM·PN＝PR·PS．

（山东省竞赛试题）

A

BODA

CEC

l

MSBD