初中数学自主招生难度讲义-9年级专题06 转化与化归-特殊方程、方程组

专题06转化与化归----特殊方程、方程组

阅读与思考

特殊方程、方程组通常是指高次方程（组）（次数高于两次）、结构巧妙而富有规律性的方程、方程

组.

降次与消元是解特殊方程、方程组的基本策略，而降次与消元的常用方法是：

1、因式分解；

2、换元；

3、平方；

4、巧取倒数；

5、整体叠加、叠乘等.

转化是解各类特殊方程、方程组的基本思想，而化归的途径是降次与消元，而化归的方向是一元二

次方程，这也可以说是“九九归宗”.

例题与求解

xy5

【例1】已知方程组22的两组解是(x,y)与(x,y)，则xyxy的值是_______

3xy2311221221

（北京市竞赛题）

解题思路：通过消元，将待求式用同一字母的代数式表示，运用根与系数的关系求值.

xyyz63

【例2】方程组的正整数解的组数是（）

xzyz23

A．1组B．2组C．3组D．4组

解题思路:原方程组是三元二次，不易消元降次，不妨从分析常数的特征入手．

【例3】解下列方程:

13xx213x

（1）(x)42；（“祖冲之杯”邀请赛试题）

x1x1

x23xx2x411

（2）；（河南省竞赛试题）

2x22x83x29x12

（3）(1999x)3(x1998)31；（山东省竞赛试题）

（4）(x23x4)2(2x27x6)2(3x24x2)2（“祖冲之杯”邀请赛试题）

解题思路：注意到方程左边或右边项与项的结构特点、内在联系，利用换元法求解.

【例4】解下列方程组:

1

xxy33,

（1）y（山东省竞赛试题）

1

2xy6;

y

x(x1)(3x5y)144,

（2）2（西安市竞赛试题）

x4x5y24;

y2x33x22x,

（3）232（全苏数学奥林匹克试题）

xy3y2y.

解题思路：观察发现方程组中两个方程的特点和联系，用换元法求解或整体处理.

2kxkx1

【例5】若关于x的方程只有一个解（相等的解也算一个）.试求k的值与方程

x1x2xx

的解.

（江苏省竞赛试题）

【例6】方程2x2xy3xy20060的正整数解有多少对？

（江苏省竞赛试题）

解题思路：确定主元，综合利用整除及分解因式等知识进行解题.

能力训练

A级

11

1．方程2(x2)3(x)1的实数根是_____________.

x2x

222

2．x23x42x27x63x24x2，这个方程的解为x=_________________.

x63y,2yz

3．实数x,y,z满足2则x的值为_______________.（上海市竞赛题）

x3y2xy2z0,

2

axbx10,

4．设方程组bx2xa0,有实数解，则ab1________.

2

xaxb0

（武汉市选拔赛试题）

5．使得x24x21x23x2x28x7成立的x的值得个数为（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

（“五羊杯”竞赛试题）

xy2,

6．已知方程组2有实数根，那么它有（）

xyz1

A．一组解B．二组解C．三组解D．无数组解

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

11

7．设a213a，b213b且ab，则代数式的值为（）

a2b2

A．5B．7C．9D．11

8．已知实数x,y满足xyxy9,x2yxy220，则x2y2的值为（）

A．6B．17C．1D．6或17

x2y2p,

9．已知关于x,y的方程组2有整数解x,y，求满足条件的质数p.

3xyp(xy)p

（四川省竞赛试题）

2

．已知方程组xya20,的两个解为xx1,xx2,且是两个不等的正数

10x1,x2.

xy10yy1,yy2,

（1）求a的取值范围；

（）若222，试求的值

2x1x23x1x28a6a11a.

（南通市中考试题）

xy

1x,

11．已知a,b是方程t2t10的两个实根，解方程组ab

xy

1y.

ba

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

pqp15,

12．已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为p,q，且满足关系式22试求

pqpq6,

这个一元二次方程.

（杭州市中考试题）

B级

xyzxyz15

1．方程组xyz的解是___________________.

234

2．已知7x29x137x25x137x，则x的值为______________.（全国初中数学联赛试题）

1

．已知实数是方程组y的解，则（全国初中数学联赛试题）

3x0,y0xx0y0_________.

yx1

xy9,

114

4．方程组的解是_________________.（“希望杯”邀请赛试题）

xy3

x2y21,

5．若二元二次方程组有唯一解，则k的所有可能取值为______________.

ykx21

（《学习报》公开赛试题）

xxxxxxxxxxxxxxx

．正数同时满足23456，13456，12456，

6x1,x2,x3,x4,x5,x6123

x1x2x3

xxxxxxxxxxxxxxx

12356，12346，12345则的值为

469.x1x2x3x4x5x6________.

x4x5x6

（上海市竞赛试题）

7．方程x36x2x60的所有根的积是（）

A．3B．-3C．4D．-6E．以上全不对

（美国犹他州竞赛试题）

x131999x11,

8．设x,y为实数，且满足3则xy（）

y11999y11,

A．1B．-1C．2D．-2

（武汉市选拔赛试题）

xyz1,111

9．已知xyz2,则的值为（）

222xyz1yzx1zxy1

xyz3,

12

A．1B．C．2D．

23

x1x12xa2

10．对于实数a，只有一个实数值x满足等式0，试求所有这样的实数a的

x1x1x21

和.

（江苏省竞赛试题）

11．解方程