山西省长治市部分学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版）

2024~2025学年第二学期高一3月夯基考数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册第六章~第七章第2节.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则（）A2 B. C.10 D.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.3.已知平面向量，，若，则（）A. B. C. D.4已知，，，则（）A. B. C. D.5.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（）A. B. C. D.6.如图，为了测量M，N两点之间的距离，某数学兴趣小组的甲、乙、丙三位同学分别在N点、距离M点600米处的P点、距离P点200米处的G点进行观测．甲同学在N点测得，乙同学在P点测得，丙同学在G点测得，则M，N两点间的距离为（）A.米 B.米 C.米 D.米7.如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为4，O是线段的中点，P为正八边形内的一点（含边界），则的最大值为（）A. B. C. D.8.已知，，且，，则（）A.1 B.3 C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，，则 D.若，，则10.已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则是实数C.若，则是纯虚数 D.若，则11.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A.若，则是等腰三角形B.若，则是锐角三角形C.若，，则面积最大值为D.若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量与的夹角为，且，，则在上的投影向量为________．13.已知，则值为________．14.在中，D是的中点，点E满足，与交于点O，则的值为________；若，则的值是________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，复数．（1）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围；（2）若z满足，，求的值．16.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求的值；（2）若，的面积为，求边上的高．17.已知二次函数满足，函数满足，且不等式的解集为．（1）求的解析式；（2）若关于x的不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围．18.如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点．（1）若，求的值；（2）求的长；（3）求的取值范围．19.定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量．（1）若向量为函数的伴随向量，求；（2）若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值；（3）若函数为向量伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围．

2024~2025学年第二学期高一3月夯基考数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册第六章~第七章第2节.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则（）A.2 B. C.10 D.【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法运算求得复数，利用复数的模的意义可求得的值.【详解】因为，所以.故选：D.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，结合交集的定义，将集合中元素代入不等式验证求解.详解】集合，，当时，，当时，，当时，，当时，，所以.故选：C3.已知平面向量，，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示，列式求出.【详解】向量，，由，得，所以.故选：A4.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数性质比较大小.【详解】依题意，，所以.故选：B5.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用同角公式及正弦定理列式求解.【详解】在中，由，得，由正弦定理得，所以故选：A6.如图，为了测量M，N两点之间的距离，某数学兴趣小组的甲、乙、丙三位同学分别在N点、距离M点600米处的P点、距离P点200米处的G点进行观测．甲同学在N点测得，乙同学在P点测得，丙同学在G点测得，则M，N两点间的距离为（）A米 B.米 C.米 D.米【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用余弦定理列式计算得解.【详解】由，得，而，，由余弦定理得（米）.故选：C7.如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为4，O是线段的中点，P为正八边形内的一点（含边界），则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量数量积的几何意义，即投影向量的意义计算即得.【详解】如图过点作直线，交于点，因，又，则，而即在直线上投影的数量，要使取最大值，则需使在直线上投影的数量最大，由图知，当点与点或重合时投影向量的数量最大.因，由对称性知，，在中，，因，解得，则，故的最大值为.故选：B.8.已知，，且，，则（）A.1 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，根据函数单调性分析出，代入求解即可.【详解】令，则在定义域上单调递增.则，，所以，则有，故.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，，则 D.若，，则【答案】BD【解析】【分析】根据向量的相关概念，可得答案.【详解】向量为矢量，既有大小又有方向，不等比较大小，故A错误；相等向量的方向与大小都相同，所以也共线，也具有传递性，故BD正确；当时，向量不一定共线，故C错误.故选：BD.10.已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则是实数C.若，则是纯虚数 D.若，则【答案】ABC【解析】【分析】根据复数运算公式，以及概念，即可判断选项.【详解】因为，又，所以，A正确；设，则，所以为实数，B正确；设，则，又，所以，，所以是纯虚数，C正确；若，，则满足，而，D错误.故选：ABC.11.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A.若，则是等腰三角形B.若，则是锐角三角形C.若，，则面积的最大值为D.若，则【答案】BC【解析】【分析】利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦化简判断A；利用余弦定理推理判断B；利用余弦定理及三角形面积公式求解判断C；举例说明判断D.【详解】对于A，由及正弦定理得，即，则或，即或，是等腰或直角三角形，A错误；对于B，由，得，则是的最大内角，又，则，为锐角，是锐角三角形，B正确；对于C，由，及余弦定理得，当且仅当时取等号，因此，C正确；对于D，取，满足，而，则，即，D错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量与的夹角为，且，，则在上的投影向量为________．【答案】【解析】【分析】根据数量积的定义，利用投影向量的公式，可得答案.【详解】由题意可得在上的投影向量为.故答案为：.13.已知，则的值为________．【答案】【解析】【分析】根据对数运算法则求出，将化为，再利用齐次式弦化切即可求得答案.【详解】，.故答案为：.14.在中，D是的中点，点E满足，与交于点O，则的值为________；若，则的值是________．【答案】①.②.【解析】【分析】利用表示向量，再利用共线向量定理的推论求得；利用表示向量，再利用数量积的运算律求得.【详解】在中，由，得，则，令，又D是的中点，则，而共线，因此，解得，所以；，于是，所以.故答案为：；四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，复数．（1）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围；（2）若z满足，，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出复数对应点的坐标，进而列出不等式组求解.（2）利用给定条件，结合复数相等求出，再利用复数除法及模的意义求解.【小问1详解】复数在复平面内对应的点为，由z在复平面内对应的点位于第四象限，得，解得，所以的取值范围是.【小问2详解】依题意，，又，则，解得，，所以.16.在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，且．（1）求的值；（2）若，的面积为，求边上的高．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理化角为边，推得，代入消元计算即得所求式的值；（2）由的面积推得，结合（1）的结论求出，利用余弦定理求得，根据三角形面积公式即可求得边上的高.【小问1详解】由和余弦定理，可得：，化简得，则得，故；【小问2详解】由可得，由（1）已得，解得，由余弦定理，，解得，设边上的高边上的高为，则由，解得，故边上的高为.17.已知二次函数满足，函数满足，且不等式的解集为．（1）求的解析式；（2）若关于x的不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数，设出的解析式，利用给定的解集求出参数得解析式.（2）由（1）的结论，等价变形不等式，分离参数，利用指数函数值域及基本不等式求出最小值即可求解.小问1详解】由，得，则，由二次函数满足，设，不等式，即，依题意，是方程的二实根，且，于是，解得，所以的解析式为.【小问2详解】由（1）知，，不等式，依题意，不等式对任意的恒成立，而，，当且仅当，即时取等号，因此，解得，所以实数m的取值范围是.18.如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点．（1）若，求的值；（2）求的长；（3）求的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算，结合图形的几何性质，可得答案；（2）利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，可得答案；（3）利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，结合二次函数的性质，可得答案.【小问1详解】由分别为的中点，则，，由图可得，则，所以.【小问2详解】由（1）可知，，由，则，，可得，解得.【小问3详解】由图可得，，，由，则.19.定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量．（1）若向量为函数的伴随向量，求；（2）若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值；（3）若函数为向量的伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用和角公式与诱导公式化简，依题即得，求其模长即可；（2）利用伴随函数定义和题设条件求得，再由和角公式求得，借助于正弦定理和