角平分线第1课时角平分线的性质与判定

第一章三角形的证明4角平分线第1课时角平分线的性质与判定目录CONTENTSA知识分点练B能力综合练C拓展探究练

知识点1

角平分线的性质1.（2024·青海）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB于

点D，PD＝2，那么点P到OA的距离是（

C

）A.4B.3C.2D.1C12345678910111213[变式]在第1题中，若E是OA上一动点，则PE的最小值为

⁠.2

2.（2024·西安校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分

∠BAC，过点D作DE⊥AB于点E.

若BE＝3，△BDE的周长为11，则

BC＝

⁠.8

123456789101112133.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB.

若AC＝2，DE＝

1，则S△ACD＝

⁠.第3题图1

[变式]如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点

F，S△ABC＝96

cm2，AB＝20

cm，AC＝12

cm，则DE的长为

⁠.变式题图6

cm

123456789101112134.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点

E，BD＝DF.

求证：CF＝EB.

12345678910111213变式题知识点2

角平分线的判定5.如图，P是射线OC上一点，PE⊥OB于点E，PD⊥OA于点D，

EO＝4，OP＝5，当PD＝

时，射线OC是∠AOB的平分线.第5题图3

123456789101112136.在△ABC中，AB＝BC，两个完全一样的三角尺按如图所示的方

式摆放，较短的直角边分别在AB，BC上，较长的直角边的顶点重合于

点P，BP交AC于点D，则下列结论不正确的是（

D

）A.

BP平分∠ABCB.

AD＝CDC.

BD垂直平分ACD.

AB＝AC第6题图D12345678910111213

A.

B.2C.3D.

2

C123456789101112138.（教材P30习题T2变式）如图，在△ABC中，D是边BC的中点，

DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF.

求证：AD是

△ABC的角平分线.

证明：∵D是边BC的中点，∴BD＝CD.

∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°.又∵BE＝CF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF，∴AD是△ABC的角平分线.12345678910111213

9.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝5，BD是∠ABC

的平分线，设△ABD和△BDC的面积分别是S1，S2，则S1∶S2的值为

（

B

）A.5∶2B.2∶5C.1∶2D.1∶5第9题图B12345678910111213[变式]

（2024·榆林期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在

BC上，连接AD，S△ACD∶S△ABD＝AC∶AB.

若∠B＝54°，则

∠BAD的度数为（

C

）A.20°B.16°C.18°D.36°C变式题图1234567891011121310.如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC

交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E.

若DE＝1，则BC的长为（

A

）A.2＋

B.

＋

C.2＋

D.3第10题图A1234567891011121311.如图，已知AB∥CD，O为∠CAB，∠ACD的平分线的交点，

OE⊥AC于点E，OF⊥AB于点F，OF的反向延长线交CD于点H.

若

OE＝3，则FH的长为

⁠.第11题图6

1234567891011121312.如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC.

（1）求证：AM平分∠DAB；解：（1）证明：如图，过点M作ME⊥AD于点E.

∵DM平分∠ADC，∠C＝90°，ME⊥AD，∴MC＝ME.

∵M为BC的中点，∴BM＝MC＝ME.

又∵∠B＝90°，∴AM平分∠DAB.

12345678910111213（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系，并证明你的结论.（2）AM⊥DM.

12345678910111213

13.观察、猜想、探究：在△ABC中，∠ACB＝2∠B.

（1）如图1，当∠ACB＝90°，AD为∠BAC的平分线时，求证：AB

＝AC＋CD.

12345678910111213解：（1）证明：如图1，过点D作DE⊥AB于点E.

∵AD为∠BAC的平分线，∠C＝90°，∴DE＝DC.

在Rt△ACD和Rt△AED中，AD＝AD，DC＝DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE.

∵∠ACB＝2∠B，∠ACB＝∠BED＝90°，∴∠B＝∠EDB＝45°，∴BE＝DE＝DC，∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD.

12345678910111213（2）如图2，当∠ACB≠90°，AD为∠BAC的平分线时，线段AB，

AC，CD又有怎样的数量关系？不需证明，直接写出你的猜想.（2）AB＝AC＋CD.

12345678910111213（3）如图3，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又

有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明.（3）AB＝CD－AC.

证明：如图3，在AF上截取AG＝AC，连接GD.

∵AD为∠FAC的平分线，∴∠GAD＝∠CAD.

又AD＝AD，∴△AGD≌△ACD（SAS），∴GD＝CD，∠AGD＝∠ACD，即∠ACB＝∠FGD.

∵∠ACB＝2∠B，∴∠FGD＝2∠B.

又∵∠FGD＝∠B＋∠GDB，∴∠B＝∠GDB，∴BG＝DG＝DC，∴AB＝BG－AG＝CD－AC.

12345678910111213谢谢观看第4题变式变式1如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD为∠BAC的平分线.（1）尺规作图：过点D作AC的垂线DE，交AC于点E.

（不写作法，

保留作图痕迹，标明字母）答案图解：（1）如图，DE即为所求.

（2）在（1）的条件下，求证：AB＋EC＝AC.

变式2如图，∠A＝90°，AB＝AC，CE平分∠ACB，BE的垂直平

分线分别交BE，BC于点F，G.

求证：BG＝AE.

证明：∵∠A＝90°，A