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文档简介
专题21、专题22--录入:江阴夏建平(QQ:705269007)
专题22与圆相关的比例线段
阅读与思考
比例线段是初中数学的一个核心问题.
我们开始是用平行线截线段成比例进行研究的,随着学习的深入、知识的增加,在平行线法的基础上,我们
可以利用相似三角形研究证明比例线段,在这两种最基本的研究与证明比例线段方法的基础上,在不同的图形中
又发展为新的形式.
在直角三角形中,以积的形式更明快地表示直角三角形内线段间的比例关系.
在圆中,又有相交弦定理、切割线定理及其推论,这些定理用乘积的形式反映了圆内的线段的比例关系.
相交弦定理、切割线定理及其推论,它们之间有着密切的联系:
1.从定理的形式上看,都涉及两条相交直线与圆的位置关系;
2.从定理的证明方法上看,都是先证明一对三角形相似,再由对应边成比例而得到等积式.
熟悉以下基本图形和以上基本结论.
例题与求解
【例1】如图,已知AB是⊙O的直径,弦CD与AB交于点E,过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F.
3
若DE=CE,AC=85,点D为EF的中点,则AB=.(全国初中数学联赛试题)
4
解题思路:设法求出AE、BE的长,可考虑用相交弦定理,勾股定理等.
例1题图例2题图
【例2】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,以BC上一点O为圆心作⊙O与AC、AB都相切,
又⊙O与BC的另一个交点为D,则线段BD的长为()
111
A.1B.C.D.
234
(武汉市中考试题)
解题思路:由切割线定理知BE2=BD·BC,欲求BD,应先求BE.须加强对图形的认识,充分挖掘隐含
条件.
【例3】如图,AB是半圆的直径,O是圆心,C是AB延长线上一点,CD切半圆于D,DE⊥AB于E.已知
AE∶EB=4∶1,CD=2,求BC的长.
(成都市中考试题)
解题思路:由题设条件“直径、切线”等关键词联想到相应的知识,寻找解题的突破口.
DBDC2
【例4】如图,AC为⊙O的直径且PA⊥AC,BC是⊙O的一条弦,直线PB交直线AC于点D,==.
DPDO3
(1)求证:直线PB是⊙O的切线;
(2)求cos∠BCA的值.
(呼和浩特市中考试题)
解题思路:对于(1),恰当连线,为已知条件的运用创设条件;对于(2),将问题转化为求线段的比值.
【例5】如图,已知AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点.延长BC至D,使CD=BC,CE⊥AD于E,BF交⊙
O于F,AF交CE于P.
求证:PE=PC.
(太原市竞赛试题)
解题思路:易证PC为⊙O切线,则PC2=PF·PA,只需证明PE2=PF·PA.证△PEF∽△PAE,作出常用辅
助线,突破相关角.
【例6】如图,已知点P是⊙O外一点,PS、PT是⊙O的两条切线.过点P作⊙O的割线PAB,交⊙O于A、
B两点,与ST交于点C.
1111
求证:=(+).
PC2PAPB
(国家理科实验班招生试题)
解题思路:利用切割线定理,再由三角形相似即可证.
能力训练
A级
1.如图,PA切⊙O于A点,PC交⊙O于B、C两点,M是BC上一点,且PA=6,PB=BM=3,OM=2,则
⊙O的半径为.
(青岛市中考试题)
2.如图,已知△ABC内接于⊙O,且AB=AC,直径AD交BC于点E,F是OE的中点.如果BD∥CF,BC=25,
则CD=.
(四川省竞赛试题)
(第1题图)(第2题图)(第3题图)(第4题图)
3.如图,AB切⊙O于点B,AD交⊙O于点C、D,OP⊥CD于点P.若AB=4cm,AD=8cm,⊙O的半径为
5cm,则OP=.
(天津市中考试题)
4.如图,已知⊙O的弦AB、CD相交于点P,PA=4,PB=3,PC=6,EA切⊙O于点A,AE与CD的延长线
交于点E,AE=25,那么PE的长为.
(成都市中考试题)
5.如图,在⊙O中,弦AB与半径OC相交于点M,且OM=MC,若AM=1.5,BM=4,则OC的长为()
A.26B.6C.23D.22
(辽宁省中考试题)
(第5题图)(第6题图)(第7题图)
6.如图,两个同心圆,大圆的弦AB与小圆相切于点P,大圆的弦CD经过点P,且CD=13,PD=4,则两
圆组成的圆环的面积为()
A.16πB.36πC.52πD.81π
(南京市中考试题)
7.如图,两圆相交于C、D,AB为公切线,若AB=12,CD=9,则MD=()
A.3B.33C.6D.63
8.如图,⊙O的直径AB=10,E是OB上一点,弦CD过点E,且BE=2,DE=22,则弦心距OF为()
A.1B.2C.7D.3
(包头市中考试题)
(第8题图)(第9题图)(第10题图)
9.如图,已知在△ABC中,∠C=90°,BE是角平分线,DE⊥BE交AB于D,⊙O是△BDE的外接圆.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若AD=6,AE=62,求DE的长.
(南京市中考试题)
10.如图,PA切⊙O于A,割线PBC交⊙O于B、C两点,D为PC的中点,连结AD并延长交⊙O于E,
已知:BE2=DE·EA.
求证:(1)PA=PD;(2)2BP2=AD·DE.
(天津市中考试题)
11.如图,△ABC是直角三角形,点D在斜边BC上,BD=4DC.已知⊙O过点C且与AC相交于F,与AB
相切于AB的中点G.求证:AD⊥BF.
(全国初中数学联赛试题)
(第11题图)(第12题图)
12.如图,已知AB是⊙O的直径,AC切⊙O于点A.连结CO并延长交⊙O于点D、E,连结BD并延
长交边AC于点F.
(1)求证:AD·AC=DC·EA;
(2)若AC=nAB(n为正整数),求tan∠CDF的值.
(太原市竞赛试题)
B级
1.如图,两个同心圆,点A在大圆上,AXY为小圆的割线,若AX·AY=8,则圆环的面积为()
A.4πB.8πC.12πD.16π
(咸阳市中考试题)
2.如图,P为圆外一点,PA切圆于A,PA=8,直线PCB交圆于C、B,且PC=4,AD⊥BC于D,∠ABC=
sinα
α,∠ACB=β.连结AB、AC,则的值等于()
sinβ
11
A.B.C.2D.4
42
(黑龙江省中考试题)
(第1题图)(第2题图)(第3题图)
3.如图,正方形ABCD内接于⊙O,E为DC的中点,直线BE交⊙O于点F,若⊙O的半径为2,则BF
的长为()
326545
A.B.C.D.
2255
(南京市中考试题)
4.如图,已知⊙O的半径为12,锐角△ABC内接于⊙O,BD⊥AC于点D,OM⊥AB于点M,则sin∠CBD
的值等于()
A.OM的长B.2OM的长C.CD的长D.2CD的长
(武汉市中考试题)
(第4题图)(第5题图)(第6题图)
1
5.如图,PC为⊙O的切线,C为切点,PAB是过O点的割线,CD⊥AB于D.若tan∠B=,PC=10cm,求
2
△BCD的面积.
(北京市海淀区中考试题)
6.如图,已知CF为⊙O的直径,CB为⊙O的弦,CB的延长线与过F的⊙O的切线交于点P.
(1)若∠P=45°,PF=10,求⊙O半径的长;
⌒
(2)若E为BC上一点,且满足PE2=PB·PC,连结FE并延长交⊙O于点A.求证:点A是BC的中点.
(济南市中考试题)
7.已知AC、AB是⊙O的弦,AB>AC.
(1)如图1,能否在AB上确定一点E,使AC2=AE·AB?为什么?
(2)如图2,在条件(1)的结论下延长EC到P,连结PB,如果PB=PE,试判断PB与⊙O的位置关系并
说明理由;
(3)在条件(2)的情况下,如果E是PD的中点,那么C是PE的中点吗?为什么?
(重庆市中考试题)
(第7题图)(第8题图)
PBPC
8.如图,P为⊙O外一点,PA与⊙O切于A,PBC是⊙O的割线,AD⊥PO于D,求证:=.
BDCD
(四川省竞赛试题)
3
9.如图,正方形OABC的顶点O在坐标原点,且OA边和AB边
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