初中数学自主招生难度讲义-9年级专题28 顺思逆想

专题28顺思逆想

阅读与思考

解数学题时，大多是从条件出发，进行正面的顺向思考．对有些数学问题，如果从正面去直接求解，

思维常常受阻，这时可以改变一下思维的角度，从问题的反面进行思考．顺向推导有困难时就逆向推导，

直接证明有困难时就间接证明，探求问题的可能性有困难时就探求不可能性等，我们把这种“倒着干”

的思维方法称为“逆向思维”.

逆向思维解题的常见形式有：

1．逆用定义；

2．逆用公式、法则；

3．常量与变量的换位；

4．主元与辅元的互换；

5．反倒否定；

6.反证法.

例题与求解

【例1】设a，b，c均为非零实数，并且ab2ab，bc3bc，ac4ca，则

abc________．（北京市竞赛试题）

解题思路：直接通过解方程组求a，b，c的值较困难，就对已知条件变形，由ab2ab，得

ab1111

，逆用分式加法法则得，这是解本例的关键．

ab2ab2

【例2】设三个方程x24mx4m22m30，x22m1xm20，

m1x22mxm10中至少有一个方程有实根，则m的取值范围是()

3131

A．mB.m≤或m≥

2424

3111

C．m≤或m≥D．＜m≤

2242

（江苏省竞赛试题）

解题思路：三个方程中至少有一个方程有实根的可能情况有七种，逐一讨论情况复杂．若从反面考

虑，就只需研究三个方程均无实根一种情况，问题就简单得多．

【例3】求出所有这样的正整数a，使得二次方程ax222a1x4a30至少有一个整数根．

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

解题思路：常规的想法是用求根公式先求出方程的根，再讨论方程至少有一个整数根的条件，从而

求出整数a，这样解过程复杂，由于a的最高次数为1，不妨着眼于a来考虑．

分类讨论法是解数学题中一个重要方法，但如何准确分类却是一个技巧性很强的工作，有时为避免

分类使解题过程中得以优化，常用如下方法：

①整体考虑；

②数形结合；

③反面思考．

“顺难则逆，直难则曲，正难则反”．在具体应用中，分析法、逆推法、反证法、常量与变量的换

位、主元与辅元的互换、公式定理的逆用，都体现了转换角度昀思考．

【例4】证明：当n为自然数时，22n1形式的数不能表示为两个整数的平方差．

（西安市竞赛试题）

解题思路：由于n为任意自然数，不可能逐个试凑，而命题的结论又是否定形式，故可考虑用反证

法来证明.

【例5】解方程：x423x2x330．

解题思路：由于x次数较高，直接求解较困难，不妨令3为主元，将原方程转化为关于3的方

程进行求解.

【例6】已知一平面内的任意四点，其中任何三点都不在一条直线上．试问：是否一定能从这样的

四点中选出三点构成一个三角形，使得这个三角形至少有一内角不大于450？请证明你的结论．

（江苏省竞赛试题）

解题思路：结论是以疑问形式出现的，不妨先假定是肯定的，然后推理．若推出矛盾，则说明结论

是否定的；若推不出矛盾，则可考虑去证明结论是肯定的，

能力训练

11114

1．方程的解是___________.

x2xx23x2x25x6x27x1221

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

5k322

2．若52，则k=__________.

5332

（“五羊杯”邀请赛试题）

3

3．已知x满足x22x2，那么x22x的值为_____________.

x22x

（河南省竞赛试题）

4.若a，b，c为实数，Aa22b，Bb22c，Cc22a，则A，B，C中至

236

少有一个的值大于______________.

32

5.化简x13x13x11的结果是()

33

A．x31B.x3C．x2D．x1

111

6．化简的值是()

211232231009999100

39

A．B．C.1D．2

410

（新加坡中学生数学竞赛试题）

7．方程x23x20的最小一个根的负倒数是()

11

A．B．37

22

11

C．317D.173

24

8．设A，B，C，D为平面上的任意四点．如果其中任何三点不在一条直线上，则△ABC，△ABD，△

ACD，△BCD中至少有一个三角形的某个内角满足()

A．不超过150B．不超过300

C．不超过450D．以上说法都不对

9．已知三个关于x的方程x2xm0，m1x22x10，m2x22x10.若其中至少

有两个方程有实根，则实数m的取值范围为()

1

A．m≤2B．m≤或1≤m≤2

4

1

C．m≥1D．≤m≤1

4

10.某班参加运动会的19名运动员的运动服号码恰是1～19号，这些运动员随意地站成一个圆圈，则一

定有顺次相邻的某3名运动员，他们运动服号码之和不小于32，请你说明理由．

（“希望杯”邀请赛试题）

11.证明：如果整系数二次方程ax2bxc0a0有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数．

（波兰中学生竞赛试题）

1800

12.已知平面上n条直线两两相交，求证：它们的交角中至少有一个不大于

n

（天津市竞赛试题）

13.在一次马拉松长跑比赛上，有100位选手参加．大会准备了100块标有整数1到100的号码布，分

发给每位选手。选手们被要求在比赛结束时，将自己的号码布上的数与到达终点时的名次相加，并

将这个和数交上去．问这样交上去的100个数的末2位数字是否可能都不相同？请回答可能或不可

能，并清楚地说明理由．（注：没有同时到达终点的选手）

（日本奥林匹克竞赛试题）

14.有n(n≥b)名乒乓球选手进行单循环赛，比赛结果表明：任意5人中既有1人胜于其余4人，又有

1人负于其余4人．求证：必有1人获全胜．

（《学习报》公开赛试题）

15.如果正整数a和b之和是n，则n可变为ab，问能不能用这种方法数次，将22变成2001？

（世界城际间数学联赛试题）

16.能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数吗？若能够，

请举出一例；若不能够，请说明理由．

（北京市竞赛试题）

17.【问题背景】在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为5，10，13，求这个三角形的面积．

小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格

点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图1所示，这样不需求△ABC的高，而借

用网格就能计算出它的面积．

(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上：_____________.

(2)【思维拓展】我们把上述求△ABC面积的方法叫作构图法.若△ABC三边的长分别为5a，22a，

17a(a0)，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它

的面积．

(3)【探索创新】若△ABC