2024-2025学年天津市西青区高一下册第一次月考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年天津市西青区高一下学期第一次月考数学检测试题一、单选题：本题共15小题，每小题5分，共75分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【正确答案】A【分析】根据零向量的定义，可判断A项正确；根据共线向量和相等向量的定义，可判断B，C，D项均错.【详解】模为零的向量是零向量，所以A项正确；时，只说明向的长度相等，无法确定方向，所以B，C均错；时，只说明方向相同或相反，没有长度关系，不能确定相等，所以D错.故选：A.本题考查有关向量的基本概念的辨析，属于基础题.2.设，是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量不能作为一组基底的是（）A.和 B.和C.和 D.和【正确答案】B【分析】根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，，不共线，A选项，不存在，使得，所以和可以作为基底.B选项，由，得，解得，所以和共线，不能作基底.C选项，由，得，方程组无解，所以和可以作为基底.D选项，不存在，，所以和可以作为基底.故选：B3.已知，则和同向的单位向量是（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】和同向的单位向量是.【详解】因为，所以和同向的单位向量是.故选：A.4.在中，已知，则等于（）A.1 B. C.2 D.4【正确答案】C【分析】根据余弦定理化角为边即可求解.【详解】由余弦定理可得：故选：C本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了运算能力，属于中档题.5.设，向量且，则（）A. B. C. D.10【正确答案】C【分析】根据向量垂直、平行列方程，求得，进而求得正确答案.【详解】由于，所以，解得，所以，所以.故选：C6.在中，内角所对应的边分别是，若，则（）A1 B.2 C.3 D.4【正确答案】D【分析】由余弦定理建立方程，即可解得答案.【详解】由余弦定理可知，即，整理得，解得或（舍去）.故选：D7.已知向量且向量方向相反，则可以是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】利用向量相反的坐标表示求解即可.【详解】因为向量且向量方向相反，当时，，不满足题意，当时，，解得，且，所以，，且，经检验只有满足题意，故选：D8.已知非零向量满足，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】由已知可得，结合已知计算可求得，进而可求夹角.【详解】因为，所以，所以，所以，因为，所以，又因为，所以.所以与的夹角为.故选：A.9.如图，在一条河上有两座桥和，已知，又测得，则河宽为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】利用等面积法来求得.【详解】设，根据海伦公式有,解得.故选：C10.在△中，为边上的中线，为的中点，则A. B.C. D.【正确答案】A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.11.已知向量不共线，，则（）A.三点共线 B.三点共线C.三点共线 D.三点共线【正确答案】B【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合共线向量定理逐项判断即可得解.【详解】对于A，令，即，则有，无解，因此不存在t，使得，即三点不共线，A错误；对于B，，则，又直线MN，NQ有公共点N，因此，，三点共线，B正确；对于C，，令，即，则有，无解，因此不存在m，使得，即三点不共线，C错误；对于D，令，即，则有，无解，因此不存在n，使得，即三点不共线，D错误.故选：B12.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，则（）A.8 B.4 C.2 D.1【正确答案】C【分析】由可得，，结合即可得结果.【详解】因为，所以，又因为，所以,又因为是的中点，所以,故选C.本题主要考查平面向量的数量积的运算法则，属于中档题.向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.13.若点E是的中线上的一点（不含端点），且，则的最小值为（）A.4 B.8 C.6 D.12【正确答案】B【分析】根据平面向量的线性运算法则可得，再由，，三点共线，知，然后利用基本不等式中的“乘1法”，得解．【详解】解：因为为三角形的中线，所以，所以，又，，三点共线，所以且，，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8．故选：B．14.已知在中，，则的形状为（）A.等边三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形【正确答案】D【分析】利用正弦定理与二倍角公式化简，再根据三角形的内角范围分析即可【详解】由正弦定理有，因为，故，故，即，又，故或，即或，故的形状为等腰三角形或直角三角形故选：D15.在中，，，，点满足，则（）A.0 B.2 C. D.4【正确答案】A【分析】用，，表示和，最后代入进行数量积运算即可。【详解】由题可得：，，所以由于，，，则，，所以，故选：A关键点点睛：本题以三角形为背景，把平面向量的线性运算以及数量积运算巧妙的结合在一起，用基底，，表示和是解题的关键，属于中档题.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.16.已知在上的投影向量为，则的值为__________.【正确答案】【分析】利用投影向量的定义及平面向量的数量积公式计算即可.【详解】设与的夹角为，故17.已知的内角为所对应的边分别为，且．则角的大小为_______.【正确答案】【分析】由正弦定理得，由三角形内角的关系得.详解】由正弦定理得，，因为，所以，所以，因为，所以，所以，故答案为.18.设向量，且的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________．【正确答案】且【详解】因为的夹角为锐角，所以解得，又当时，不符合题意，所以且.19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，b=2，A=60°，则sinB=___________，c=___________．【正确答案】①.②.3【详解】分析:根据正弦定理得sinB,根据余弦定理解出c.详解：由正弦定理得,所以由余弦定理得（负值舍去）.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.20.在中，若，则角等于_____．【正确答案】【分析】根据余弦定理，结合对数的运算法则可求角.【详解】因为，所以，所以.由余弦定理可得：，又为三角形内角，所以.故21.如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为_______.【正确答案】【分析】本题首先可以设向量与的夹角为，然后根据以及向量的运算法则得出，再然后建立直角坐标系，写出各点的坐标，设，则，，最后根据向量的数量积的坐标表示得出，根据二次函数性质即可求出最值.【详解】因为，所以向量与的夹角和向量与的夹角相等，设向量与的夹角为，因为，所以，即，整理得，解得，，如图，过点作垂线，垂足为，建立如图所示的直角坐标系，易知，，，，则，，，，，，，因为，所以当时，取最小值，最小值为，故答案为.方法点睛：本题考查向量的数量积的求法，可通过建立直角坐标系的方式进行求解，考查向量的运算法则，考查向量的数量积的坐标表示，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题.三、解答题：本题共4小题，共45分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.22.已知，（1）求；（2）设与的夹角为，求的值；（3）若向量与互相垂直，求k的值.【正确答案】（1）；（2）；（3）.【分析】(1)由题意可得，进而求出它的模即可；(2)根据公式计算即可；(3)由可得，结合、计算即可.【详解】解：；故；因为向量与互相垂直，所以，即，因为，，所以23.已知中是直角，，点是的中点，为上一点.（1）设，，当，请用，来表示，.（2）当时，求证.【正确答案】（1），（2）证明见解析【分析】（1）利用向量的线性运算求解；（2）以点为坐标原点，以，为，轴，建立如图所示平面直角坐标系，用数量积的坐标表示计算．【小问1详解】∵，，点是的中点，∴，∴，∵.【小问2详解】以点为坐标原点，以，为，轴，建立如图所示平面直角坐标系，设，∴点坐标为，另设点坐标为，∵点是的中点，∴点坐标为，又∵，∴，∴，，所以，，所以，∴.24.在中,内角所对的边分别为,已知,,且.(1)求角的大小;(2)若,的面积为,求的周长【正确答案】(1)；(2)【分析】（1）由向量垂直关系得到数量积为零的等式，利用正弦定理边化角，结合两角和差公式、诱导公式可化简得到，进而求得；（2）根据三角形面积公式构造方程求得，利用余弦定理可求得，进而得到所求周长.【详解】（1）由正弦定理得：即：（2）由余弦定理得：的周长本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、利用两角和差公式和诱导公式化简、平面向量数量积