2024-2025学年北京市朝阳区高三下册统练七数学检测试题（附答案）

2024-2025学年北京市朝阳区高三下学期统练七数学检测试题一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1．设集合，（）A．{1}B．{1，2}C．{2}D．{0，1，2}2．复数的虚部为（）A．-IB．IC．D．3．已知，则（）A．B．C．D．4．已知展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是（）A．28B．38C．1或38D．1或285．等差数列的前项和为．已知，．则的最小值为（）A．B．C．D．6．在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与以原点为圆心的单位圆的交点为，则（）A．B．C．D．7．已知圆和两点，若圆C上存点P，使得，则m的最大值为（）A．B．C．D．8．在中，“对于任意，”是“为直角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．冰箱，空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧含量Q呈指数函数型变化，在氟化物排放量维持某种水平时，具有关系式，其中是臭氧的初始量，e是自然对数的底数，.试估计（）年以后将会有一半的臭氧消失.A．267B．277C．287D．29710．某次测试成绩满分为150分，设名学生的得分分别为，（）为名学生中得分至少为分的人数．记为名学生的平均成绩．则正确的是（）A．B．C．D．二．填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）11．双曲线的离心率为2，则_____．12．已知数列满足，为其前项和.若，则_____．13．已知函数①若在R上单调递减，则a的取值范围为______，②若的值域为R，则a的取值范围为______．14．调查显示，垃圾分类投放可以带来约元/千克的经济效益.为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放积分分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于，则额外奖励分（为正整数）．月底积分会按照元/分进行自动兑换．①当时，若某家庭某月产生生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换___元；②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的%，则的最大值为_____．15．如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，满足．给出下列四个结论：①点可以是棱的中点；②线段长度的最小值为；③点的轨迹是矩形；③点的轨迹围成的多边形的面积为.其中所有正确结论的序号是______．三．解答题（本题共6小题，共85分）16．（本小题13分）已知函数的部分图象如图所示，在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）在区间上的最大值和最小值条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分．17．（本小题满分15分）如图，在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与平行四边形ABCD所在平面互相垂直，，，，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）判断线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．18．（本小题13分）某地区教育研究部门为了解当前本地区中小学教师在教育教学中运用人工智能的态度、经验、困难等情况，从该地区2000名中小学教师中随机抽取100名进行了访谈．在整理访谈结果的过程中，统计他们对“人工智能助力教学”作用的认识，得到的部分数据如下表所示：没有帮助有一些帮助很有帮助合计性别男21020女354080年龄40岁以下（含40岁）13540岁以上62645假设用频率估计概率，且每位教师对“人工智能助力教学”作用的认识相互独立．（1）估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数；（2）现按性别进行分层抽样，从该地区抽取了5名教师，求这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率；（3）对受访教师关于“人工智能助力教学”的观点进行赋分：“没有帮助”记0分，“有一些帮助”记2分，“很有帮助”记4分．统计受访教师的得分，将这100名教师得分的平均值记为，其中年龄在40岁以下（含40岁）教师得分的平均值记为，年龄在40岁以上教师得分的平均值记为，通过计算比较的大小关系．19．（本小题14分）已知椭圆的左、右顶点分别为，，且，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线与轴交于点，点是直线上不同于点的一点，直线与椭圆交于点，直线与直线交于点，判断是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．20．（本小题15分）已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，判断在上的单调性，并说明理由；（3）当时，求证：任意，都有．21．（本小题15分）已知集合，若存在数阵满足：=1\*GB3①；=2\*GB3②．则称集合为“好集合”，并称数阵为的一个“好数阵”．（Ⅰ）已知数阵是的一个“好数阵”，试写出的值；（Ⅱ）若集合为“好集合”，证明：集合的“好数阵”必有偶数个；（Ⅲ）判断是否为“好集合”．若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由．

答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）12345678910DCBCAACABA二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）11121314159124①[-1，0），②（-∞，-1]①13，②36②③④三、解答题（本题共6小题，共85分）16．解：（Ⅰ）选条件①②：因为，所以，即，则.……2分由题意可知，则.……………………3分方法一方法二赋分因为，，因为，，……4分所以，即.由图可知.……5分因为，所以，.………………6分所以.………7分选条件①③：因为，所以，即，则.……2分由题意可知，则.……………………3分方法一方法二赋分因为，，因为，，……4分所以，即.由图可知.……5分因为，所以，.……………6分所以.………7分选条件②③：因为，，所以，即，则.……2分由题意可知，则..……………………3分方法一方法二赋分因为，，因为，，……4分所以，即.由图可知.……5分因为，所以，.……………6分所以.………7分解：（Ⅱ）因为所以………………9分当即时，有最大值2…………11分，即时，有最小值…………13分17．解：（Ⅰ）由底面为平行四边形，知，又因为平面，平面，所以平面.………………2分同理平面，又因为，所以平面平面.………………3分又因为平面，所以平面.………………4分（Ⅱ）连接，因为平面平面，平面平面，，所以平面.则.…………5分又因为，，，所以平面，则.…………6分故两两垂直，所以以所在的直线分别为轴、轴和轴，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，为平面的一个法向量.………7分所以，，设平面的一个法向量为，由，，……8分得令，得.………………9分所以.………10分如图可得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.………………11分（Ⅲ）结论：线段上存在点，使得平面平面.………………12分证明如下：设，所以.设平面的法向量为，又因为，所以，，即………………13分若平面平面，则，即，………………14分解得.所以线段上存在点，使得平面平面，且此时.……15分18．【小问1详解】根据表格中数据，完善表格，没有帮助有一些帮助很有帮助合计性别男210820女5354080年龄40岁以下（含40岁）119355540岁以上6261345可以得到100名教师中，认为人工智能对于教学“没有帮助”的频率为，………1分用频率估计概率，估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数为；………3分【小问2详解】男女比例为，故抽取的5名教师，有1名男教师，4名女教师，………4分用频率估计概率，估计该地区中小学教师中男教师认为对于教学“很有帮助”的概率为，………5分女教师认为对于教学“很有帮助”的概率为，………6分抽取的5名教师中，恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”，则1名男教师认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为，………7分1名女教师认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为，……8分故这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为；9分【小问3详解】，………10分，………11分，………12分因为，所以.………13分19．（Ⅰ）由题设，解得………3分所以椭圆的方程为.………4分（Ⅱ）法一：假设存在点使得.由题可知与平行，所以.………5分设点，，则，．………7分所以．=1\*GB3①………8分直线方程为，………9分由点在直线上，则．=2\*GB3②………10分=1\*GB3①=2\*GB3②联立，，显然，解得.………11分又因为点在椭圆上，，所以．………12分所以．将其代入=1\*GB3①，解得．………13分所以.………14分法二：设直线的方程为．由得．………6分因为点在椭圆上，所以．设，则．即．……8分所以．………9分所以．又因为点在直线上，所以点．………10分假设存在点使得.由题可知与平行，所以.………11分所以．即．解得．………13分所以点的坐标为．………14分法三：假设存在点使得.由题可知与平行.………5分所以．所以．………7分设点，.过点作于，………8分则有．………9分所以．………10分所以．所以．代入椭圆方程，得，所以．………11分又因为，………12分所以．………13分所以.………14分20．解：（Ⅰ）当时，，……….…1分.……….…2分得K切=……….…3分所以曲线在处的切线方程为.…….…4分方法1：（Ⅱ）因为，所以……….…5分……….…6分因为，所以.……….…7分所以.所以当时，，……….…8分所以在区间单调递增..…….…9分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当时，在区间单调递增，所以时，.结论成立……….…10分当时，设，则，……….…11分随x的变化情况如下表：x+极大值所以在上单调递增，在上单调递减……….…12分因为，，所以存在唯一的实数，使得，……….…13分且当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.……….…14分又，，所以当时，对于任意的，.综上所述，当时，对任意的，均有.……………….…15分方法2：（Ⅱ）因为，所以.……….…5分令，则，……….…6分随x的变化情况如下表：x+极大值……….…7分当时，.所以时，，即，……….…8分所以在区间单调递增..…….…9分（Ⅲ）：由（Ⅱ）可知，当时，在区间单调递增，所以时，.结论成立……….…10分当时，由（Ⅱ）可知，在上单调递增，在上单调递减，因为，，所以存在唯一的实数，使得，……….…13分且当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.……….…14分又，，所以当时，对于任意的，.综上所述，当时，对任意的，均有..…….…15分21．解：（Ⅰ）解：．………………4分（Ⅱ）证明：当集合为“好集合”时，设是的一个“好数阵”，构造数阵：，记为．因为T是“好数阵”，所以当时，，且．因为，所以也是的一个“好数阵”，一方面，因为，所以.另一方面，假设，因为所以，所以，与矛盾，所以，故集合的“好数阵”必有偶数个；