2024-2025学年广东省深圳市高二下册第一次月考数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年广东省深圳市高二下学期第一次月考数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数的单调减区间是（）A. B. C. D.【正确答案】D分析】求导，令，解不等式即可.【详解】，定义域为，，令x−1x<0x>0故D2.已知函数，则（）A. B.0 C. D.1【正确答案】A【分析】先求导数，再求.【详解】，所以.故选：A3.已知直线是曲线的切线，则切点坐标为（）A.（，-1） B.（e，1） C. D.（0，1）【正确答案】B【分析】根据曲线图象上过原点的切线，来求得切点的坐标.【详解】直线过原点，设是曲线上任意一点，，所以在点的曲线的斜率为，所以在点的曲线的切线方程为，即，将代入上式得，所以切点为.故选：B4.某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则该物体在s时的瞬时速度为（）A.0m/s B.1m/s C.2m/s D.3m/s【正确答案】D【分析】根据瞬时速度的概念即可利用平均速度取极限求解.【详解】该物体在时间段上的平均速度为，当无限趋近于0时，无限趋近于3，即该物体在s时的瞬时速度为3m/s．故选：D5.函数（）A.有最值，但无极值B.有最值，也有极值C.既无最值，也无极值D.无最值，但有极值【正确答案】C【分析】利用导数研究在上的单调性，即可判断各项是否符合.【详解】，则，，所以在上单调递减，无最大值和最小值，也无极值．故选：C6.已知是的导函数，的图象如图所示，则的图象只可能是（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】由导数的几何意义可知，原函数先增长“迅速”，后增长“缓慢”.【详解】由题中的图象可以看出，在内，，且在内，单调递增，在内，单调递减，所以函数在内单调递增，且其图象在内越来越陡峭，在内越来越平缓．故选：D．7.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】由题意，函数在上单调递增，即每段函数均为增函数，且当时，前一段函数的函数值不大于后一段函数的函数值，列出不等式组，即得解【详解】①当时，只需时显然成立，时，，令，，可得函数的减区间，增区间为，故有，得；②当时，，有.③当时，，即.故实数的取值范围为.故选：B本题考查了已知分段函数的单调性求参数范围，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题8.函数在上的最大值为2，则的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】求得导函数的解析式，根据导函数在区间(0,2)内的正负的不同情况,分类讨论研究函数的单调性和最大值，从而求得实数的取值范围.【详解】解:由函数的解析式可得:，当≤0时,即时，在内恒成立，函数在区间上单调递增,而,不合题意;当≥2，即时,在内恒成立，函数导函数在区间[0,2]上单调递减,而f(0)=2,满足题意;当，即时，在区间上,函数单调递减,在区间上,函数单调递增，满足题意时有,即:,解得,此时,综上可得,实数的取值范围是[4,+∞).故选:D.本题考查利用导数研究函数的最值，关键是分类讨论思想的运用.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若答案是2个的，每个给3分，若答案是3个的，每个给2分）9.（多选）下列函数中，在区间上为增函数的是（

）A. B.C. D.【正确答案】BC【分析】根据正弦函数的单调性及导函数在区间上的正负分别判断各个选项.【详解】对于A：单调递减，A选项错误；对于B：当x>1,y对于C：当x>1,y对于D：当x>1,y故选：BC.10.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位偶数，下列正确的选项有（

）A.如果个位数是0，则前3位有种排列B.如果个位是2或4，则前3位有种排列C.符合题意的四位偶数共有156种D.符合题意的四位偶数共有300种【正确答案】ABC【分析】对于A：直接排前三位即可；对于B：先排首位，再排中间两位；对于CD：结合选项AB分析求解即可.【详解】对于选项A：若末位是0时，前三位从1至5中任选3个排至前三位即可，所以有种排列，故A正确；对于选项B：若末位是2或4时，则首位不能为0，有种排放，中间两位从剩余的4个数字中任选2个排列，有种排放，所以前3位有种排列，故B正确；对于选项CD：若个位数是0，由选项A可知有种排法；若个位是2或4，由选项B可知有种排法；所以符合题意的四位偶数共有种，故C正确，D错误；故选：ABC.11.如图，c为函数的极小值点，已知直线与曲线相切于A、B两点，设A，B两点的横坐标分别为a，b，函数，下列说法正确的有（）A.有极大值，也有极小值B.是的极小值点C.是的极大值点D.是的极大值点【正确答案】AB【分析】结合导函数的几何意义，在对应区间上判断与的大小关系，进而利用导数判断函数的单调性，从而判断极大值与极小值，进而结合选项即可得出结论.【详解】设c为函数的极小值点，=，当时，，故，在上单调递减，故在处取得极小值，同理在处取得极小值，由连续函数的性质可得函数有极大值，故AB正确，C错误，由题意，，所以不是的极大值点，故D错误.故选：AB.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.若曲线在处有最值，则实数的值为_________【正确答案】1【分析】先求出导函数，再根据函数单调性得出最值即可求参.【详解】曲线，定义域，所以，当时，所以单调递减，无最大值不合题意；当时，x>a,f'x<0,fx单调递减，因为函数在处有最值，所以故13.已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为___________.【正确答案】【分析】由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点，对函数求导，对分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间内，可得关于的不等式，即可求出结果．【详解】由.①当时，函数单调递增，不合题意；②当时，函数的极值点为，若函数在区间不单调，必有，解得.故答案为.关键点点睛：由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点，这是解决本题的关键点和突破点.14.瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中为直角三角形，其直角顶点在轴上，点是斜边上一点，其“欧拉线”是正切曲线以点为切点的切线，则点的坐标为______.【正确答案】【分析】由题意的“欧拉线”即为直线，求出正切曲线在点处的切线方程，即的方程，令可得答案.【详解】因为是直角三角形，所以其垂心为直角顶点，其外心为斜边的中点，故的“欧拉线”即为直线，由题设知直线即为正切曲线以点为切点的切线，又点在斜边上，故的外心即为点，由所以正切曲线在点处的切线的斜率为故其“欧拉线”的方程为，令，得，所以∴.故关键点睛：本题考查利用导数求切线方程和新定义的应用，解答本题的关键由“欧拉线”的定义结合为直角三角形，利用条件得出的“欧拉线”即为直线，由导数的几何意义求出切线方程，可得答案，属于中档题.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15若，，求：（1）的单调增区间；（2）在上的最小值和最大值.【正确答案】(1)增区间为;(2).【详解】分析：（1）求导，解不等式得到的单调增区间；（2）求出极值与端点值，经比较得到在上的最小值和最大值.详解：（1），由解得，的增区间为；（2），（舍）或，,,，点睛：函数的最值(1)在闭区间上连续的函数f(x)在上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．16.已知首项为1的等差数列满足：成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，求数列的前项和.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由已知列式求得公差，代入等差数列的通项公式得答案；（2）令，得，两式相减得，又，即得【小问1详解】设公差为d，又成等比数列，所以，又，即，解得或，而时，不满足成等比数列，所以，所以【小问2详解】令，所以，两式相减有：，所以数列的前项和为，即，又，所以，所以.17.如图，在四棱锥中，平面平面，，．（1）证明：直线平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）取的中点，连接，利用面面垂直性质定理可得平面，可得，进而由已知可得，可证平面；（2）连接，可证两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法可求直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】取的中点，连接，因为，所以，因为平面平面，平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，又，，所以，所以，又，平面，所以平面.【小问2详解】连接，因为，所以，又，所以是二面角的平面角，又平面平面，所以，以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）知，平面，又平面，所以，且，则，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，所以.所以直线与平面所成角的正弦值为．18.已知函数.（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；（2）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围（3）若在定义域内有两个零点，求实数的取值范围.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用导数的几何意义得到处切线的斜率，然后利用垂直列方程求解即可；（2）根据在上单调递增，得到在上恒成立，然后分离参数得到，将恒成立问题转化为最值问题，然后求最值即可；（3）分和两种情况讨论的单调性，然后利用零点存在性定理求解即可.【小问1详解】，则，因为切线与直线垂直，所以，解得.【小问2详解】，则，在上单调递增，所以在上恒成立，即，令，则，当时取得最小值，，所以.【小问3详解】当时，，则单调递增，不可能有两个零点；当时，时，；时，，则在上单调递增，上单调递减，，解得，此时，，，令，则，，所以当时，单调递减，，所以当时，，即,所以所以有两个零点，故.19.已知椭圆的上顶点为，离心率为是椭圆上不与点重合的两点，且.（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线恒过定点；（3）求面积最大值.【正确答案】（1）（2）证明见解析（3）【分析】（1）由题意得到的方程组，求解即得；（2）设直线的方程为：，联立椭圆方程，由韦达定理，结合，即可求得的值，从而得解；（3）由弦长公式，结合三角形面积公式及函数单调性即可求解.【小问1详解】依题意有解得，椭圆的方程为.【小问2