2024-2025学年福建省莆田市高一下册3月月考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年福建省莆田市高一下学期3月月考数学检测试题一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1.A. B. C. D.【正确答案】A【详解】分析：根据终边相同的角正弦值相等，将的正弦化成的正弦，，即可求出结果.详解：由诱导公式可得，，，故选A.点睛：本题着重考查了终边相同的角、诱导公式，特殊角的三角函数值等知识，属于简单题.2.已知向量，，则（）A.5 B. C.3 D.【正确答案】B【分析】先把向量和相加得到向量的坐标，再利用向量的坐标算出向量的模长．【详解】，．故选：B．3.已知，向量与向量的夹角为，与向量共线同向的单位向量为，则向量在向量方向上的投影向量等于（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据投影向量的公式计算即可.【详解】．故选：C.4已知，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】由题意求出，再根据二倍角得正切公式即可得解.【详解】由，得,故，故选：D5.如图，已知平行四边形ABCD，，E为CD中点，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.【详解】.故选：D6.已知直角中，是斜边，，则的值是（）A.27 B.1 C.9 D.【正确答案】D【分析】由可得，由向量平面数量积的坐标表示，列方程求解即可.【详解】因为直角中，是斜边，，可得，则有，即，解得，故选：D.7.设点，若点在直线AB上，且，则点的坐标为（）A. B. C.或 D.或【正确答案】D【分析】根据已知求出向量的坐标，进而根据，可求出向量的坐标，进而求出点的坐标．【详解】解：，，∴，点在直线上，且，∴，或，故，或，故点坐标为或，故选：D．本题考查的知识点是平面向量坐标表示，熟练掌握向量坐标等于终点坐标与起点坐标的差是解答的关键．8.在等腰梯形中，已知，，是的中点，，若，则的值为（）A. B. C.2 D.3【正确答案】A【分析】根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理求出、即可.【详解】根据题意，，，是的中点，，画出梯形如下图所示：所以，则，又，、不共线，所以，所以.故选：A二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在下列各组向量中，不可以作为基底的是（

）A. B.C. D.【正确答案】ACD【分析】逐项判断向量是否共线即可得解.【详解】因为共线，故不能做基底，故A正确；因为，所以不共线，可作基底，故B错误；因为，所以，即共线，故不能作基底，故C正确；因为，所以，即共线，故不能作基底，故D正确.故选：ACD10.下列四个命题中正确是（）A.向量与向量能作为平面向量的一组基底，则与不共线B.若，则C.为非零向量且，则D.为任意向量且，则【正确答案】ABD【分析】根据基底的概念判断A，根据向量的数量积化简运算判断B，根据向量垂直的关系由特例法判断C，根据向量相等及数量积的概念判断D.【详解】对于A，根据基底的定义知，向量与向量能作为平面向量的一组基底，则与不共线正确；对于B，，，化简可得，故正确；对于C，满足，不能推出，例如向量都与垂直时等式成立，但不一定相等，故错误；对于D，因，所以成立，故正确.故选：ABD11.函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（）A.函数的最小正周期为B.方程在上有5个根C.函数的图象关于直线对称D.函数在上单调递减【正确答案】ABD【分析】根据三角恒等变换及图象特殊值，求出，进而求出，求出最小正周期，判断A选项；求出及，结合及函数图象，判断出有5个交点，即有5个根；C选项，求出，代入检验得到图象不关于直线对称；当时，，得到的单调性.【详解】，由图象可知：，所以，解得：，因为，所以，所以，因为，所以，所以，此时，所以最小正周期为，A正确；，则，即，因为，所以，画出在的图象，如下：函数图象与有5个交点，故方程在上有5个根，B正确；函数，当时，，所以的图象关于直线不对称，C错误；，当时，，故函数在上单调递减，D正确.故选：ABD三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量与满足，且，则与的夹角等于__________．【正确答案】##【分析】直接用数量积的定义求夹角即可.【详解】依题意，，∴与的夹角为；故.13.已知，，，且，则的值为___________.【正确答案】【分析】根据给定条件，利用和角的正弦公式求解作答.【详解】由，，得，由，知，又，则，所以，所以.故14.《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田.已知正八边形的边长为，点P是正八边形边上的一点，则的最大值为_________.【正确答案】【分析】作垂直的延长线于点M，根据正八边形的特征求出，根据的定义，即可求出的最大值.【详解】由题意知，每个三角形的顶角为，，作垂直的延长线于点M，根据正八边形的特征知，，设与所成的角为，则，所以，由的最大值为，所以的最大值为.故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.计算：（1）；（2）；（3）．【正确答案】（1）（2）（3）【分析】根据平面向量的数乘运算及线性运算计算即可.【小问1详解】原式．【小问2详解】原式．【小问3详解】原式．16.已知向量，，且．（1）若向量与互相垂直，求的值．（2）若向量与互相平行，求的值．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由已知得，根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可．（2）根据向量平行及平面向量基本定理列式求解.【小问1详解】，，，，即，得，若向量与互相垂直，则，即得，，解得或.小问2详解】由，所以，所以不共线，由向量与互相平行，可知存在实数，使得，，解得，当时，；当时，.或.17.已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线．（1）求实数的值；（2）若，，求的坐标；（3）已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标．【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据已知可得，结合三点共线可得，列方程组求参数即可；（2）根据平面向量线性运算的坐标表示求解即可；（3）根据平行四边形中的坐标表示列方程组求解即可.【小问1详解】因为，，所以，因为三点共线，所以存在实数使得，即，又因为是平面内两个不共线的非零向量，所以，解得.【小问2详解】由（1）可知，，所以，若，，则.【小问3详解】由四点按逆时针顺序构成平行四边形可得，设，则，由（2）得，所以，解得，所以.18.已知.（1）若，且，求的值；（2）设，，若方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围.【正确答案】（1）0；（2）.【分析】（1）由，利用平面向量数量积公式，二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式可得，结合，可求的值；（2）利用（1）可得，由可得,结合函数的图象图象有两个交点时实数的取值范围【小问1详解】∵，∴，即，∴，∵，∴，∴，∴．【小问2详解】∵，当时，,当时，单调递减，当时，单调递增，且，故方程恰有两个不同的解，则实数的取值范围是.19.对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.（1）设函数，试求函数的相伴特征向量的坐标；（2）记向量的相伴函数为.（I）当且时，求的值；（II）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【正确答案】（1）（2）（I）（II）【分析】（1）利用两角差的正弦公式及两角和的余弦公式化简函数解析式，再结合函数的相伴特征向量的定义即可求解；（2）（I）根据题意先求得函数的解析式，结合已知条件求得的值，进而求得的值，通过配角的方法并结合两角差的正弦公式即可求解；（II）通过诱导公式化简原式，通过分类讨论的正负，通过参变分离法