2024-2025学年上学期高一数学人教A版期中必刷常考题之空间直线、平面的平行

第25页（共25页）2024-2025学年上学期高一数学人教A版（2019）期中必刷常考题之空间直线、平面的平行一．选择题（共5小题）1．（2024秋•内蒙古期末）已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β，则“m∥n”是“α∥β”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2024秋•玄武区校级期末）已知x，y，z表示空间内的一条直线或一个平面，若命题p：x∥yy∥z⇒x∥z，与命题q：x①x，y，z可以都是直线②x，y，z可以都是平面③x，y，z中可以既有直线也有平面正确的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3．（2024秋•徐汇区校级期末）M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，将菱形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，对于下列两个命题：①直线MN恒与平面ABD平行；②异面直线AC与MN恒垂直．以下判断正确的是（）A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题4．（2024秋•海口期末）已知直线a，b和平面α满足a∥α，b⊄α，则“a∥b”是“b∥α”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件5．（2024秋•嘉定区校级期末）已知l，m，n是三条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（）A．若α∥β，β∥γ，则α∥γ B．若l⊆α，m⊆α，l∥β，m∥β，则α∥β C．若l∥α，l∥β，则α∥β D．若l∥m，m⊆α，则l∥α二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024秋•诸暨市期末）已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，Q，R满足BQ→=λBB1→，A1RA．当λ=μ=12时，|B．当μ=13时，D1R∥平面C．∀μ∈[0，1]，∃λ∈[0，1]，有AQ⊥D1R D．∀λ∈[0，1]，∃μ∈[0，1]，有D1R⊥CQ（多选）7．（2024秋•深圳期末）已知向量m→=（2，﹣1，1），n→=（﹣4，2，﹣2）分别为两个不同的平面α，β的法向量，c→=（1，0，﹣2）为直线A．α∥β B．l∥β C．l⊥α D．α⊥β（多选）8．（2024秋•仁寿县期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝2，PE→A．BE→B．|BEC．EF∥平面PAB D．异面直线BE与PA夹角的余弦值为6三．填空题（共4小题）9．（2024秋•长宁区期末）已知直线l与平面α，“l与α内无数条直线平行”是“l∥α”的条件．10．（2024秋•浦东新区校级期末）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是棱CC1的中点，D是棱BC上一点，BD＝λDC，若A1B∥平面ADE，则λ的值为．11．（2024秋•宁乡市期末）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，E是AD的中点，点P满足B1P→=λB1C→(λ∈R)，当A12．（2024秋•黄浦区校级期中）ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为4的正方体，P﹣QRH是棱长为4的正四面体，底面ABCD，QRH在同一个平面α内，BC∥QH，则正方体中过AD且与平面PHQ平行的截面面积是．四．解答题（共3小题）13．（2025•扬州校级模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ADC＝90°，PA＝AD＝CD＝2AB，M为PC的中点．（Ⅰ）求证：BM∥平面PAD；（Ⅱ）求证：BM⊥平面PCD．14．（2025•随州模拟）如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点．（1）求证：AM∥平面BDE；（2）若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．15．（2024秋•枣强县校级期末）如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABC，△PAD为等边三角形，底面ABCD为等腰梯形，且AD＝2AB＝2BC＝4，点E是棱PC的中点，过点A，B，E的平面α交棱PD于点F．（1）证明：AD∥平面PBC；（2）求PFDF

2024-2025学年上学期高一数学人教A版（2019）期中必刷常考题之空间直线、平面的平行参考答案与试题解析题号12345答案DDAAA一．选择题（共5小题）1．（2024秋•内蒙古期末）已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β，则“m∥n”是“α∥β”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】平面与平面平行；充分条件必要条件的判断．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离；运算求解．【答案】D【分析】结合线线平行与面面平行的关系，根据充分条件、必要条件的概念判断即可．【解答】解：m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β，m∥n不能推出α∥β，如图1，α∥β也不能推出m∥n，如图2．∴“m∥n”是“α∥β”的既不充分也不必要条件．故选：D．【点评】本题考查空间线、面的位置关系、充分条件与必要条件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．2．（2024秋•玄武区校级期末）已知x，y，z表示空间内的一条直线或一个平面，若命题p：x∥yy∥z⇒x∥z，与命题q：x①x，y，z可以都是直线②x，y，z可以都是平面③x，y，z中可以既有直线也有平面正确的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【考点】直线与平面平行；空间向量法求解直线与平面所成的角．【专题】整体思想；综合法；立体几何；逻辑思维．【答案】D【分析】由直线与直线的平行及平面与平面平行，垂直的性质判断出3个命题的真假．【解答】解：命题p和q均为真命题，说明平行和垂直关系在直线和平面之间都成立，论断①和②分别对应直线和平面，根据平行和垂直的传递性，命题p和q均成立；论断③中，当x为平面，y为直线，z为平面时，根据线面平行和垂直的性质，命题p和q也成立．所以三个论断均正确．故选：D．【点评】本题考查空间中直线与直线、平面与平面、直线与平面之间平行和垂直的性质，属于基础题．3．（2024秋•徐汇区校级期末）M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，将菱形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，对于下列两个命题：①直线MN恒与平面ABD平行；②异面直线AC与MN恒垂直．以下判断正确的是（）A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题【考点】直线与平面平行；命题的真假判断与应用；异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维；运算求解．【答案】A【分析】首先利用线面平行的判定定理，判定①的结论正确，进一步利用线面垂直的判定定理判定②的结论正确．【解答】解：对于①：由于M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，所以MN∥BD，由于MN⊄平面ABD，BD⊂平面ABD，故直线MN恒与平面ABD平行；故①正确；对于②，取AC的中点O，连接BO和DO，如图所示：根据菱形的性质，所以BO⊥AC，DO⊥AC，故AC⊥平面BOD；由于BD⊂平面BOD，所以AC⊥BD，由于MN∥BD，所以AC⊥MN，故②正确．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：平面图形和直观图的转换，线面平行和线面垂直的判定和性质，主要考查学生的空间想象能力，属于基础题和易错题．4．（2024秋•海口期末）已知直线a，b和平面α满足a∥α，b⊄α，则“a∥b”是“b∥α”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】直线与平面平行．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维；运算求解．【答案】A【分析】由线面平行的判定、面面平行的性质以及充分不必要条件的定义即可求解．【解答】解：直线a，b和平面α满足a∥α，b⊄α，∵a∥α，∴存在c⊂α使得a∥c且b⊄α，若a∥b且b⊄α，则b∥c，又b⊄α且c⊂α，∴b∥α，充分性成立；设β∥α，b⊂β，a⊂β，a∩b＝P，则有a∥α，但a，b不平行，即必要性不成立．故选：A．【点评】本题考查线面平行的判定、面面平行的性质以及充分不必要条件等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5．（2024秋•嘉定区校级期末）已知l，m，n是三条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（）A．若α∥β，β∥γ，则α∥γ B．若l⊆α，m⊆α，l∥β，m∥β，则α∥β C．若l∥α，l∥β，则α∥β D．若l∥m，m⊆α，则l∥α【考点】平面与平面平行．【专题】对应思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维．【答案】A【分析】由线面位置关系逐一判断各个选项即可．【解答】解：对于A选项，由平行的传递性可知A选项成立；对于B选项，直线l，m不一定相交，根据面面平行的判定定理易知面面平行不一定成立，错；对于C选项，α与β也有可能相交，错；对于D选项，直线l不一定在平面α外，也可能在面α内，故不成立，错．故选：A．【点评】本题考查了线面位置关系，属于基础题．二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024秋•诸暨市期末）已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，Q，R满足BQ→=λBB1→，A1RA．当λ=μ=12时，|B．当μ=13时，D1R∥平面C．∀μ∈[0，1]，∃λ∈[0，1]，有AQ⊥D1R D．∀λ∈[0，1]，∃μ∈[0，1]，有D1R⊥CQ【考点】直线与平面平行．【专题】转化思想；向量法；空间位置关系与距离；逻辑思维；运算求解．【答案】BCD【分析】建立空间直角坐标系，求各点坐标，根据两点结论公式求|QR|，判断A，求平面BDC1的法向量，直线D1R的方向向量，证明两向量垂直，判断B，由AQ→⋅D1R→=0求λ，μ，判断C，令CQ【解答】解：棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，Q，R满足BQ→=λBB1→，A1R以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），A1（2，0，2），B1（2，2，2），C1（0，2，2），∵BQ→=λBB1→，BB1→∵A1R→=μA1C→，A1∴R（2﹣2μ，2μ，2﹣2μ），对于A，当λ=μ=12时，点Q（2，2，1），点R（1则|QR|=(2-1∴当λ=μ=12时，|QR|对于B，当μ=13设平面BDC1的法向量为n→=(x，y由n→⋅DB→=2x+2D1R→=(4又D1R⊄平面BDC1，∴D1R∥平面BDC1，∴当μ=13时，D1R∥平面BDC1对于C，AQ→=（0，2，2λ），D1R→=（2﹣2μ，AQ→•D1R→=4μ﹣4λμ＝4μ当μ＝0时，AQ→•D1R→=0恒成立，当μ≠0时，令AQ→•D1R→=4μ（∴∀μ∈[0，1]，∃λ∈[0，1]，有AQ⊥D1R，故C正确；对于D，CQ→=（2，0，2λ），D1R→=（2﹣2μ，CQ→•D1R→=4﹣4μ﹣4λμ＝4﹣4令CQ→•D1R→=4﹣4μ（1+λ∵λ∈[0，1]，∴μ=∴∀λ∈[0，1]，∃μ∈[0，1]，有D1R⊥CQ，故D正确．故选：BCD．【点评】本题考查线面垂直、面面平行的判定与性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．（多选）7．（2024秋•深圳期末）已知向量m→=（2，﹣1，1），n→=（﹣4，2，﹣2）分别为两个不同的平面α，β的法向量，c→=（1，0，﹣2）为直线A．α∥β B．l∥β C．l⊥α D．α⊥β【考点】直线与平面平行；平面与平面平行；平面与平面垂直．【专题】转化思想；向量法；立体几何；运算求解．【答案】AB【分析】根据n→=-2m→判断选项A，D；根据c→⋅n【解答】解：因为m→=(2，-1所以n→=-2m所以α∥β，A正确，D错误；因为c→⋅n→=0，且l⊄β，所以l因为c→⋅m→=0，所以l∥α或者故选：AB．【点评】本题考查向量法在立体几何中的应用，属于中档题．（多选）8．（2024秋•仁寿县期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝2，PE→A．BE→B．|BEC．EF∥平面PAB D．异面直线BE与PA夹角的余弦值为6【考点】直线与平面平行；异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；向量法；空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】ACD【分析】建立空间直角坐标系，根据向量的线性运算判断A；由向量模的坐标表示判断B；根据数量积为0证明垂直判断C；由异面直线所成角的向量求法判断D．【解答】解：因为PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，在正方形ABCD中，有AB⊥AD，所以AB，AD，AP两两互相垂直，所以以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，而AB＝AD＝AP＝2，从而A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（1，1，0），对于A，BE→=BA对于B，BE→=(-2，1，对于C，EF→=(1，0，-1)EF⊄平面PAB，所以EF∥平面PAB，故C正确；对于D，BE→=(-2，所以异面直线BE与PA夹角的余弦值为|BE→⋅故选：ACD．【点评】本题主要考查线面平行的判断，异面直线所成角的求法，空间向量的线性运算，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．三．填空题（共4小题）9．（2024秋•长宁区期末）已知直线l与平面α，“l与α内无数条直线平行”是“l∥α”的必要非充分条件．【考点】直线与平面平行．【专题】对应思想；综合法；空间位置关系与距离；简易逻辑；逻辑思维．【答案】必要非充分．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面平行的判定分析判断．【解答】解：∵l与α内无数条直线平行⇒l⊂α或l∥α，l∥α⇒l与α内无数条直线平行，由充分必要条件的定义可得“l与α内无数条直线平行”是“l∥α”的必要非充分条件．故答案为：必要非充分．【点评】本题主要考查线面平行的判定与性质，考查逻辑推理能力，属于基础题．10．（2024秋•浦东新区校级期末）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是棱CC1的中点，D是棱BC上一点，BD＝λDC，若A1B∥平面ADE，则λ的值为2．【考点】直线与平面平行．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解．【答案】2．【分析】连接A1C，设A1C∩AE＝F，连接FD，E是棱CC1的中点，可证得CEAA1=EFFA=12，由A1B∥平面ADE，可得A【解答】解：连接A1C，设A1C∩AE＝F，连接FD，E是棱CC1的中点，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CEA因为A1B∥平面ADE，A1B⊂平面A1BC，平面A1BC∩平面AED＝FD，可得A1B∥FD，FDA所以CDBD而BD＝λDC，所以λ＝2．故答案为：2．【点评】本题考查线面平行的性质的应用及平行线分线段成比例的性质的应用，属于中档题．11．（2024秋•宁乡市期末）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，E是AD的中点，点P满足B1P→=λB1C→(λ∈R)，当A【考点】直线与平面平行．【答案】13【分析】建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出平面D1CE的法向量n→的坐标及A1P→的坐标，由题意可得n→•【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，E是AD的中点，点P满足B1则D（0，0，0），A（3，0，0），A1（3，0，2），C（0，4，0），E（32，0，0），B1（3，4，2），D1（0，0，2可得A1B1→=（0，4，0），B1C→=（﹣3，0，﹣2），D1C→=（0A1P→=A1B1→+B1P→=（0，4，0）+λ设平面D1CE的法向量为n→=（x，y，则n→⋅D令x＝﹣8，则n→=（8，3，因为A1P∥平面D1CE，可得A1P→•即（﹣3λ）×8+4×3+（﹣2λ）×6＝0，解得λ=1故答案为：13【点评】本题考查用空间向量的方法判断线面平行，属于中档题．12．（2024秋•黄浦区校级期中）ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为4的正方体，P﹣QRH是棱长为4的正四面体，底面ABCD，QRH在同一个平面α内，BC∥QH，则正方体中过AD且与平面PHQ平行的截面面积是122．【考点】平面与平面平行；直线与平面平行．【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】122．【分析】设截面与A1B1，D1C1分别相交于点E，F，则EF∥AD，过点P作平面QRH的垂线，垂足为O，则O是△QRH的中心，由题意可得RG，PO，EA的值，进而求出三角形AEFD的面积的大小．【解答】解：设截面与A1B1，D1C1分别相交于点E，F，则EF∥AD，过点P作平面QRH的垂线，垂足为O，则O是△QRH的中心，设OR∩HQ＝G，则∠EAB＝∠PGO，由RG＝23，得RO＝2OG=433，所以sin∠EAB＝sin∠PGO=PO即4EA=223，解得所以四边形AEFD的面积S＝4×32=122故答案为：122．【点评】本题考查正方体的截面问题，属于中档题．四．解答题（共3小题）13．（2025•扬州校级模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ADC＝90°，PA＝AD＝CD＝2AB，M为PC的中点．（Ⅰ）求证：BM∥平面PAD；（Ⅱ）求证：BM⊥平面PCD．【考点】直线与平面平行；直线与平面垂直．【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离；逻辑思维；直观想象．【答案】（Ⅰ）证明见解答；（Ⅱ）证明见解答．【分析】（Ⅰ）取PD中点N，连接MN，AN，推导出四边形ABMN是平行四边形，从而可得BM∥AN，利用线面平行的判定定理即可得证；（Ⅱ）推导出AN⊥CD，AN⊥PD，由线面垂直的判定定理可得AN⊥平面PDC，由BM∥AN，即可得证．【解答】证明：（Ⅰ）取PD中点N，连接MN，AN，∵M为PC的中点，∴MN∥CD，且MN=12又AB∥CD，且CD＝2AB，∴MN∥AB且MN＝AB，∴四边形ABMN是平行四边形，∴BM∥AN，∵BM⊄平面PAD，AN⊂平面PAD，∴BM∥平面PAD．（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴PA⊥CD，∵∠ADC＝90°，即CD⊥AD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∵AN⊂平面PAD，∴AN⊥CD，∵PA＝AD，PD中点为N，∴AN⊥PD，又∵PD∩CD＝D，∴AN⊥平面PDC，∵BM∥AN，∴BM⊥平面PDC．【点评】本题主要考查线面平行与垂直的判定，考查数形结合思想与逻辑推理能力，属于中档题．14．（2025•随州模拟）如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点．（1）求证：AM∥平面BDE；（2）若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．【考点】直线与平面平行．【专题】作图题；证明题；逻辑思维．【答案】（1）见解析；（2）l∥m，证明过程见解析．【分析】（1）令AC∩BD＝O，连接OE，证明AM∥OE，再利用线面平行的判定推理作答；（2）l∥m，利用（1）的结论，结合线面平行的性质、平行公理推理作答．【解答】（1）证明：令AC∩BD＝O，连接OE，∵四边形ACEF为矩形，M、O分别为EF、AC中点，∴EM∥OA，且EM＝OA，∴四边形AOEM为平行四边形，∴AM∥OE，∵AM⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴AM∥平面BDE．（2）l∥m，由（1）知AM∥平面BDE，又∵AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，∴l∥AM，∵AM∥平面BDE，AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，∴m∥AM，∴l∥m．【点评】本题主要考查线面平行的判定定理和性质定理，是中档题．15．（2024秋•枣强县校级期末）如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABC，△PAD为等边三角形，底面ABCD为等腰梯形，且AD＝2AB＝2BC＝4，点E是棱PC的中点，过点A，B，E的平面α交棱PD于点F．（1）证明：AD∥平面PBC；（2）求PFDF【考点】直线与平面平行；直线与平面垂直．【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】（1）证明见解析；（2）14【分析】（1）运用等腰梯形性质，结合线面平行判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，结合四点共面的向量定理计算即可．【解答】（1）证明：因为底面AB﹣CD为等腰梯形，且AD＝2AB＝2BC＝4，所以AD∥BC，又因为BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，所以AD∥平面PBC；（2）解：因为△PAD为等边三角形，AD＝4，取AD中点O，连接OP，则OP⊥AD，又因为平面PAD⊥平面ABC，平面PAD∩平面ABC＝AD，OP⊂平面PAD，所以OP⊥平面ABC，因为BC∥AD，AD＝2BC，O为AD中点，M为BC中点，所以OM⊥AD，以OA为x轴，OM为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，AD＝2AB＝2BC＝4，且△PAD为等边三角形，可得OP=2则A（2，0，0），D（﹣2，0，0），P（0，0，6），B(1那么PD→设PF→=λPD→，所以设F（﹣2λ，又因为点E是棱PC的中点，设C(-1因为A，B，E，F四点共面，所以AE→，AB→，AE→=(-52，设存在实数m，n，使得AE→即（-52，32，3）＝（﹣m﹣n（﹣2λ﹣2），3m，n（﹣所以-52=-m+n(-2所以PF→=-13PD→，可得|PF所以|DF→|=43|所以PFDF【点评】本题考查向量的运算性质的应用，属于中档题．

考点卡片1．充分条件必要条件的判断【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．2．命题的真假判断与应用【知识点的认识】判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．【解题方法点拨】1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．3．异面直线及其所成的角【知识点的认识】1、异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，π2]．当θ＝902、求异面直线所成的角的方法：求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：4．直线与平面平行【知识点的认识】1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．1、直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和