2024-2025学年上学期高一数学人教A版期中必刷常考题之复数的四则运算

第16页（共16页）2024-2025学年上学期高一数学人教A版（2019）期中必刷常考题之复数的四则运算一．选择题（共5小题）1．（2024秋•南阳期末）若z＝﹣1+i，则zzA．﹣1﹣i B．﹣1+i C．-12+12．（2024秋•樟树市校级期末）已知复数z=3+iA．2+i B．3+i C．2﹣i D．3﹣i3．（2024秋•泰州期末）已知复数z满足(1+2i)⋅A．23-23i B．23+24．（2025•孝义市模拟）已知a，b∈R，a﹣2i＝（b+i）i（i为虚数单位），则（）A．a＝1，b＝﹣2 B．a＝﹣1，b＝2 C．a＝﹣1，b＝﹣2 D．a＝1，b＝25．（2025•临沂一模）52-A．2﹣i B．2+i C．1+2i D．1﹣2i二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024秋•昭通期末）已知复数z1＝1﹣i9，z2＝3i10+2i，则（）A．|z1+z2|＝5 B．z1C．z1z2的虚部为5 D．z2（多选）7．（2024秋•长春校级期末）已知z1=i40-i，（1﹣2i）z2＝i﹣3，若a，b∈R，z1+aA．|z1|=2 B．zC．a＝﹣1 D．b＝﹣1（多选）8．（2024秋•官渡区期末）已知i为虚数单位，复数z满足z（2﹣i）＝3+4i，则（）A．z在复平面内对应的点在第一象限 B．z的虚部为115C．|z|＝5 D．z三．填空题（共4小题）9．（2024秋•河西区期末）i是虚数单位，复数z满足z﹣i＝3﹣zi，则z＝．10．（2025•肇庆一模）若复数z满足z•（1﹣2i）＝1+i，则z＝．11．（2024秋•天津期末）复数z=2+i1-i-2i（其中i12．（2024秋•天津期末）i是虚数单位，复数(1+i)(1-i)i四．解答题（共3小题）13．（2024秋•周口校级期末）对任意一个非零复数z，定义集合Mz（1）设a是方程x+1x=（2）若复数ω∈Mz，求证Mω⊆Mz．14．（2024春•科左中旗校级期中）设z是虚数，ω=z+1z是实数，且﹣1（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设μ=1-z（3）在（2）的条件下，求ω﹣μ2的最小值．15．（2024春•番禺区校级期中）设O为坐标原点，向量OZ1→、OZ2→、OZ3→分别对应复数z1、z2、z3，且z1=a2+(2-a)i，z2＝﹣1+（3﹣2a）（1）求实数a的值；（2）若Z1，Z2，Z3三点共线，求实数m的值．

2024-2025学年上学期高一数学人教A版（2019）期中必刷常考题之复数的四则运算参考答案与试题解析题号12345答案BAACB一．选择题（共5小题）1．（2024秋•南阳期末）若z＝﹣1+i，则zzA．﹣1﹣i B．﹣1+i C．-12+1【考点】复数的除法运算．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】B【分析】根据可得z⋅【解答】解：∵z＝﹣1+i，∴z⋅∴zz故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．（2024秋•樟树市校级期末）已知复数z=3+iA．2+i B．3+i C．2﹣i D．3﹣i【考点】复数的除法运算；共轭复数．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】A【分析】先化简得到复数z＝2﹣i，再求出它的共轭复数得解．【解答】解：z=3+i1+则其共轭复数z=2+故选：A．【点评】本题主要考查复数的除法运算和共轭复数的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．3．（2024秋•泰州期末）已知复数z满足(1+2i)⋅A．23-23i B．23+2【考点】复数的除法运算；复数的模．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】A【分析】根据复数的模及复数代数形式的除法运算化简即可．【解答】解：∵(1+2∴z=故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．4．（2025•孝义市模拟）已知a，b∈R，a﹣2i＝（b+i）i（i为虚数单位），则（）A．a＝1，b＝﹣2 B．a＝﹣1，b＝2 C．a＝﹣1，b＝﹣2 D．a＝1，b＝2【考点】复数的运算．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】C【分析】结合复数的四则运算，以及复数相等的条件，即可求解．【解答】解：a﹣2i＝（b+i）i＝﹣1+bi，则a＝﹣1，b＝﹣2．故选：C．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数相等的条件，属于基础题．5．（2025•临沂一模）52-A．2﹣i B．2+i C．1+2i D．1﹣2i【考点】复数的除法运算．【专题】数系的扩充和复数．【答案】B【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简求值．【解答】解：52-故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的除法运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024秋•昭通期末）已知复数z1＝1﹣i9，z2＝3i10+2i，则（）A．|z1+z2|＝5 B．z1C．z1z2的虚部为5 D．z2【考点】复数的混合运算；复数对应复平面中的点；共轭复数；复数的模．【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】BCD【分析】利用虚数单位i的性质化简，然后逐一判断四个选项得答案．【解答】解：∵z1＝1﹣i9＝1﹣i，z2＝3i10+2i＝﹣3+2i，∴|z1+z2|＝|1﹣i﹣3+2i|＝|﹣2+i|=(-2)2z1﹣z2＝1﹣i+3﹣2i＝4﹣3i，z1-z2=z1z2＝（1﹣i）（﹣3+2i）＝﹣3+2i+3i+2＝﹣1+5i，则z1z2的虚部为5，故C正确；z2则z2z1在复平面内对应的点的坐标为（-故选：BCD．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．（多选）7．（2024秋•长春校级期末）已知z1=i40-i，（1﹣2i）z2＝i﹣3，若a，b∈R，z1+aA．|z1|=2 B．zC．a＝﹣1 D．b＝﹣1【考点】复数的混合运算．【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】ACD【分析】根据复数的模计算判断A，根据复数的除法计算判断B，再由纯虚数、实数的概念判断CD．【解答】解：∵z1∴|z1|=∵（1﹣2i）z2＝i﹣3，∴z2则z2的虚部为﹣1，故B错误；∵z1+a＝1+a﹣i为纯虚数，∴1+a＝0，即a＝﹣1，故C正确；∵z2﹣bi＝﹣1﹣（b+1）i为实数，∴b+1＝0，解得b＝﹣1，故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．（多选）8．（2024秋•官渡区期末）已知i为虚数单位，复数z满足z（2﹣i）＝3+4i，则（）A．z在复平面内对应的点在第一象限 B．z的虚部为115C．|z|＝5 D．z【考点】复数的除法运算；复数的实部与虚部；复数对应复平面中的点；共轭复数．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】AD【分析】根据复数除法运算求出z，然后根据复数几何意义、虚部概念、复数模的公式和共轭复数概念逐一判断即可．【解答】解：由z（2﹣i）＝3+4i，得z=则z在复平面内对应的点的坐标为(25，z的虚部为115，故B|z|=(25z⋅z=|故选：AD．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．三．填空题（共4小题）9．（2024秋•河西区期末）i是虚数单位，复数z满足z﹣i＝3﹣zi，则z＝2﹣i．【考点】复数的除法运算．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】2﹣i．【分析】根据已知条件，结合复数的四则法则，即可求解．【解答】解：z﹣i＝3﹣zi，则z（1+i）＝3+i，故z=3+i1+i故答案为：2﹣i．【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．10．（2025•肇庆一模）若复数z满足z•（1﹣2i）＝1+i，则z＝-15【考点】复数的除法运算．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】-1【分析】利用复数的除法运算即可得解．【解答】解：因为z•（1﹣2i）＝1+i，所以z=故答案为：-1【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．11．（2024秋•天津期末）复数z=2+i1-i-2i（其中i【考点】复数的除法运算；复数的实部与虚部．【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可．【解答】解：z=则z的虚部为-1故答案为：-1【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．12．（2024秋•天津期末）i是虚数单位，复数(1+i)(1-i)i=【考点】复数的混合运算．【专题】转化思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】﹣2i．【分析】根据复数的运算法则，求解即可．【解答】解：复数(1+i)(1-i故选：﹣2i．【点评】本题考查了复数的代数形式运算问题，是基础题．四．解答题（共3小题）13．（2024秋•周口校级期末）对任意一个非零复数z，定义集合Mz（1）设a是方程x+1x=（2）若复数ω∈Mz，求证Mω⊆Mz．【考点】复数的运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数．【答案】见试题解答内容【分析】（1）求解方程x+1x=2得a1=22(1+i)，a2=22(1-i)，再由有理指数幂及i（2）由ω∈MZ，可知存在m∈N，使得ω＝z2m﹣1，则对任意n∈N，有ω2n﹣1＝z（2m﹣1）（2n﹣1），结合（2m﹣1）（2n﹣1）是正奇数，得ω2n﹣1∈Mz，即Mω⊆MZ．【解答】（1）解：由x+1x∴a1=2当a1=22(1+∴Ma1={ia1，当a2=2∴Ma2={-∴Ma＝{22(1+（2）证明：∵ω∈MZ，∴存在m∈N，使得ω＝z2m﹣1．于是对任意n∈N，ω2n﹣1＝z（2m﹣1）（2n﹣1），由于（2m﹣1）（2n﹣1）是正奇数，ω2n﹣1∈Mz，∴Mω⊆MZ．【点评】本题考查了复数的周期性、指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（2024春•科左中旗校级期中）设z是虚数，ω=z+1z是实数，且﹣1（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设μ=1-z（3）在（2）的条件下，求ω﹣μ2的最小值．【考点】复数的运算；虚数单位i、复数；纯虚数；复数的模．【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】（1）1，a∈（-12，1）；（2）证明见解析；（3）【分析】（1）设出复数z，得到ω的表示式，利用复数的运算把ω整理成最简形式，根据所给的ω的范围，得到z的实部的范围；（2）根据复数的运算法则，把u整理成最简形式，根据a2+b2＝1，得到u是一个纯虚数；（3）先得到ω﹣μ2＝2[（a+1）+1a+1]﹣3，再利用基本不等式即可求ω﹣【解答】解：（1）（1）设z＝a+bi，（a，b∈R且b≠0），则ω＝z+1z=a+bi+1a+bi=（a+∵ω＝z+1z是实数，∴b-ba2+∴1-1a2+b2=0，a2+b2＝1则ω＝z+1z=2a∈（﹣1∴a∈（-12，证明：（2）μ=∵a2+b2＝1，则μ=-b∵a∈（-12，1），b≠0，∴-∴μ是纯虚数；解：（3）ω﹣μ2＝2a+b2(a+1)2=2＝2a﹣1+2a+1=2[（a+1）+∵a∈（-12，1），∴a+1＞∴a+1+1a+1≥21=2，当且仅当a+1=则ω﹣μ2＝2[（a+1）+1a+1]﹣3≥2×2﹣3即ω﹣μ2的最小值为1．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查利用基本不等式求最值，属于中档题．15．（2024春•番禺区校级期中）设O为坐标原点，向量OZ1→、OZ2→、OZ3→分别对应复数z1、z2、z3，且z1=a2+(2-a)i，z2＝﹣1+（3﹣2a）（1）求实数a的值；（2）若Z1，Z2，Z3三点共线，求实数m的值．【考点】复数的运算；共轭复数．【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】（1）a＝﹣1；（2）m＝﹣2．【分析】（1）根据z1（2）根据Z1Z2【解答】解：（1）由题意可得z1由于复数z1+z2是纯虚数，则a2（2）由（1）可得z1＝1+3i，z2＝﹣1+5i，则点Z1（1，3），Z2（﹣1，5），点Z3（2，﹣m）所以，Z因Z1，Z2，Z3三点共线，所以Z1Z2→∥Z1Z3→，所以（﹣2）×（﹣所以m＝﹣2．【点评】本题考查纯虚数、共轭复数的定义、三点共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

考点卡片1．集合的包含关系判断及应用【知识点的认识】概念：1．如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；2．如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，即A＝B．【解题方法点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．2．虚数单位i、复数【知识点的认识】i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为a2+b2．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中3．复数的实部与虚部【知识点的认识】i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为a2+b2．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中【解题方法点拨】﹣分解复数：通过给定的复数表达式，提取实部和虚部．﹣应用：在复数运算中，分开处理实部和虚部，简化计算过程．【命题方向】﹣实部与虚部的提取：考查如何从复数表达式中提取实部和虚部．﹣实部虚部的运算：如何利用实部和虚部进行复数运算和解决问题．若复数z＝a2﹣3+2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a＝_____．解：若复数z＝a2﹣3+2ai的实部与虚部互为相反数，则a2﹣3+2a＝0，解得：a＝﹣3或a＝1，故答案为：﹣3或1．4．纯虚数【知识点的认识】形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数，a，b分别叫做它的实部和虚部，当a＝0，b≠0时，叫做纯虚数．纯虚数也可以理解为非零实数与虚数单位i相乘得到的结果．【解题方法点拨】复数与复平面上的点是一一对饮的，这为形与数之间的相互转化提供了一条重要思路．要完整理解复数为纯虚数的等价条件，复数z＝a+bi（a，b∈R）为纯虚数的充要条件是a＝0，b≠0．实数集和虚数集的并集是全体复数集．虚数中包含纯虚数，即由纯虚数构成的集合可以看成是虚数集的一个真子集．【命题方向】纯虚数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点，考察学生的基本运算能力．常见的命题角度有：（1）复数的概念；（2）复数的模；（3）复数相等的四则运算；（4）复数在复平面内对应的点．5．复数对应复平面中的点【知识点的认识】1、复数的代数表示法建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量OZ→2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．【解题方法点拨】﹣点的表示：将复数a+bi作为复平面上的点（a，b）进行图示．﹣几何运算：利用复平面上的点进行几何运算和分析．【命题方向】﹣复平面的几何表示：考查复数在复平面中的点表示及其几何意义．﹣复数的几何应用：如何在复平面中使用复数解决几何问题．6．共轭复数【知识点的认识】实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共轭复数．如2+3i与2﹣3i互为共轭复数，用数学语言来表示即：复数Z＝a+bi的共轭复数Z=a﹣bi【解题方法点拨】共轭复数的常见公式有：|Z|=|Z|；|Z【命题方向】共轭复数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出