2024-2025学年上学期高一数学苏教版期中必刷常考题之向量基本定理及坐标表示

第20页（共20页）2024-2025学年上学期高一数学苏教版（2019）期中必刷常考题之向量基本定理及坐标表示一．选择题（共5小题）1．（2025•聊城一模）已知角α∈（0，π），向量a→=（1，3），b→=（cosα，sinα），若a→A．2π3 B．π3 C．π42．（2025•临沂一模）在△ABC中，点D是AB的中点，点P在CD上，若AP→=λA．16 B．13 C．23 3．（2025•四川开学）已知向量a→=（0，2），b→=（m，2），＜a→，A．0 B．1 C．2 D．44．（2025•延庆区模拟）已知向量a→=(1，2)，b→=(λA．﹣2 B．﹣1 C．0 D．15．（2025•山东模拟）如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则AF→A．34AB→+14AD→ B．1二．多选题（共3小题）（多选）6．（2025•昭阳区校级开学）已知向量a→，b→，c→满足a→=（1，1），b→=（﹣1，2），c→A．|aB．当b→∥c→时，4m+C．当(2a→+b→)⊥cD．b→在a→（多选）7．（2024秋•威海期末）设向量a→=（x+4，x），b→=（A．x＝0是a→⊥b→B．x＝﹣6是a→⊥b→C．a→∥b→是x＝4D．a→∥b→是x＝﹣（多选）8．（2024秋•锦州期末）已知|OM→|=2，|ON→|=2，OM→与ON→夹角为π3，若|OP→|=2且OP→A．2 B．32 C．52 D三．填空题（共4小题）9．（2025•新余一模）已知向量a→=(1，-2)，b→=(-1，1)10．（2024秋•丹东期末）在△ABC中，D是BC上一点，且BD＝3DC，用基底{AD→，AC→}表示向量AB→11．（2025•蓟州区校级模拟）D为△ABC的边AB一点，满足AD→=2DB→．记a→=CA→，b→=CB→，用a→，b→表示CD→=12．（2025•百色校级开学）已知向量a→=(5，2)，b→=(1，四．解答题（共3小题）13．（2024秋•中山区校级期末）在△ABC中，点D为边AC上靠近A的三等分点，点M为形内一点．（1）如图，若点M满足5AM→=2AC→-BC（2）若点O为△ABC的外心，点M满足3OM→=OA→+OB→+OC→14．（2024秋•大连校级期末）已知e1→，e2→是平面内两个不共线的非零向量，AB→（1）求实数λ的值；（2）若e1→=(2（3）已知D（3，5），在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．15．（2025•沈阳开学）设e1→，e2→是不共线的非零向量，且a→（1）证明：{a→，b→（2）若向量c→=e1→+3e2→，试用基底

2024-2025学年上学期高一数学苏教版（2019）期中必刷常考题之向量基本定理及坐标表示参考答案与试题解析题号12345答案BBDBD一．选择题（共5小题）1．（2025•聊城一模）已知角α∈（0，π），向量a→=（1，3），b→=（cosα，sinα），若a→A．2π3 B．π3 C．π4【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】B【分析】结合向量共线的性质，即可求解．【解答】解：向量a→=（1，3），b→=（cosα，sinα），则sinα=故tanα=α∈（0，π），则α=故选：B．【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．2．（2025•临沂一模）在△ABC中，点D是AB的中点，点P在CD上，若AP→=λA．16 B．13 C．23 【考点】平面向量的基本定理；平面向量的数乘与线性运算．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】B【分析】由题意运用平面向量的线性运算法则，推导出CP→=(23-λ)CA→+λCB【解答】解：根据点D是AB的中点，可得CD→因为AP→=λAB→+13AC→解得CP→=（λ-23）AC→因为P、C、D三点共线，所以23-λ故选：B．【点评】本题主要考查平面向量的线性运算法则、向量共线的条件等知识，考查了概念的理解能力，属于基础题．3．（2025•四川开学）已知向量a→=（0，2），b→=（m，2），＜a→，A．0 B．1 C．2 D．4【考点】平面向量数量积的坐标运算．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】D【分析】根据已知条件，结合平面向量的夹角公式，即可求解．【解答】解：向量a→=（0，2），b→=（则a→⋅b＜a→，则cos＜a→，b→故|b→|=故选：D．【点评】本题主要考查平面向量的夹角公式，属于基础题．4．（2025•延庆区模拟）已知向量a→=(1，2)，b→=(λA．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】B【分析】由向量平行的坐标表示即可求解．【解答】解：因为a→所以a因为(a→+所以﹣（1+μ）＝λ，所以λ+μ＝﹣1．故选：B．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题．5．（2025•山东模拟）如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则AF→A．34AB→+14AD→ B．1【考点】平面向量的基本定理．【专题】计算题；平面向量及应用．【答案】D【分析】根据题意得：AF→【解答】解：根据题意得：AF→又AC→=AB所以AF→故选：D．【点评】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础试题二．多选题（共3小题）（多选）6．（2025•昭阳区校级开学）已知向量a→，b→，c→满足a→=（1，1），b→=（﹣1，2），c→A．|aB．当b→∥c→时，4m+C．当(2a→+b→)⊥cD．b→在a→【考点】平面向量数量积的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的投影向量．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】BC【分析】由向量坐标的线性运算，利用向量模长公式，可判定A；由平行向量的坐标表示，建立方程，可判定B；由向量坐标的线性运算，利用垂直向量坐标，可判定C；利用投影向量的计算方法，可判定D．【解答】解：对于A，由a→=(1，可得a→-b→=(2对于B，b→=(-1，当b→∥c→时，可得﹣n+1＝4m，即4m+n＝对于C，2a→+可得m+2n＝2，故C正确；对于D，b→在a→上的投影向量为a→故选：BC．【点评】本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，考查投影向量的概念，属中档题．（多选）7．（2024秋•威海期末）设向量a→=（x+4，x），b→=（A．x＝0是a→⊥b→B．x＝﹣6是a→⊥b→C．a→∥b→是x＝4D．a→∥b→是x＝﹣【考点】平面向量数量积的坐标运算．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】AC【分析】根据已知条件，结合向量平行、垂直的性质，即可求解．【解答】解：向量a→=（x+4，x），b→=（若a→⊥b则（x+4）x+2x＝0，解得x＝0或x＝﹣6，故x＝0是a→⊥b→的充分条件，故A正确；x＝﹣6是a→⊥b若a→则2（x+4）＝x2，解得x＝4或x＝﹣2，故a→∥b→是x＝4的必要条件，故C正确；a→∥b故选：AC．【点评】本题主要考查向量垂直、平行的性质，属于基础题．（多选）8．（2024秋•锦州期末）已知|OM→|=2，|ON→|=2，OM→与ON→夹角为π3，若|OP→|=2且OP→A．2 B．32 C．52 D【考点】平面向量的基本定理；数量积表示两个平面向量的夹角．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】CD【分析】由题意将OP→=xOM→+yON→平方可得x2+y2【解答】解：由|OM→|=2，|ON→|=2，所以OM→因为|OP→|=2且OP→=xOM→+所以4=x2OM→2+y2ON即x2+y2+xy＝1，所以(x所以34(x+y)2≤1结合选项可得C，D符合题意．故选：CD．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，属于中档题．三．填空题（共4小题）9．（2025•新余一模）已知向量a→=(1，-2)，b→=(-1，1)【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】12【分析】由向量线性关系的坐标运算及共线的坐标表示列方程求参数即可．【解答】解：由题设b→a→∴-2-3故答案为：12【点评】本题考查向量线性关系的坐标运算及共线的坐标表示等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．（2024秋•丹东期末）在△ABC中，D是BC上一点，且BD＝3DC，用基底{AD→，AC→}表示向量AB→【考点】用平面向量的基底表示平面向量．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】4AD【分析】由题意可得出BD→=3DC→，利用平面向量的减法可得出AB→【解答】解：由题知，BD→所以AD→-AB故答案为：4AD【点评】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．11．（2025•蓟州区校级模拟）D为△ABC的边AB一点，满足AD→=2DB→．记a→=CA→，b→=CB→，用a→，b→表示CD→=【考点】用平面向量的基底表示平面向量．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】根据平面向量的线性运算计算即可，设∠ACB＝2θ∈（0，π），根据三角形的面积公式可得ab=【解答】解：因为AD→所以CD→设∠ACB＝2θ∈（0，π），则θ∈设A，B的对边分别为a，b，由△ABC的面积为98，得1所以ab=因为CD→即1==4所以1+cos又因为θ∈(0，π2)，所以tan当且仅当19b2=49所以∠ACB的最小值为π2故答案为：13a→【点评】本题考查平面向量的线性运算和余弦定理，属于中档题．12．（2025•百色校级开学）已知向量a→=(5，2)，b→=(1，【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】25【分析】先求出2a【解答】解：由a→=(5，又(2a所以9λ﹣（4﹣λ）＝0，解得λ=故答案为：25【点评】本题主要考查平面向量共线的性质，属于基础题．四．解答题（共3小题）13．（2024秋•中山区校级期末）在△ABC中，点D为边AC上靠近A的三等分点，点M为形内一点．（1）如图，若点M满足5AM→=2AC→-BC（2）若点O为△ABC的外心，点M满足3OM→=OA→+OB→+OC→【考点】平面向量的基本定理．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】（1）35（2）k=【分析】（1）延长AM至E使AE＝5AM，可以得到四边形ABEC是平行四边形，然后根据AC→=3AD→，所以S△（2）设MN→=λDN→，由BN→=【解答】解：（1）M是△ABC所在平面内一点，延长AM至E使AE＝5AM，因为5AM所以AB→连接BE，因为向量AB→和向量CE→则四边形ABEC是平行四边形，由于AC→=3AD又AE→=5AM在平行四边形中，S△ABC＝S△ABE，所以△ABM与△ABD的面积之比为S△（2）因为3OM→=设MN→=λDN→因为BN→=k所以BN=λ=λ=(2又BN→则有23λ+(1+所以k=【点评】本题考查平面向量的基本定理的应用，属中档题．14．（2024秋•大连校级期末）已知e1→，e2→是平面内两个不共线的非零向量，AB→（1）求实数λ的值；（2）若e1→=(2（3）已知D（3，5），在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．【考点】平面向量加减法的坐标运算．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】（1）λ=（2）（﹣7，﹣2）（3）（10，7）．【分析】（1）首先表示出AE→，根据AE（2）直接由向量线性运算的坐标表示即可求解；（3）根据AD→【解答】解：（1）AE→因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得AE→即e1→+(1+因为e1→，e2→是平面内两个（2）BE→（3）因为A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，所以AD→设A（x，y），则AD→因为BC→=(-7，-2)即点A的坐标为（10，7）．【点评】本题主要考查平面向量的线性运算、坐标运算，属于基础题．15．（2025•沈阳开学）设e1→，e2→是不共线的非零向量，且a→（1）证明：{a→，b→（2）若向量c→=e1→+3e2→，试用基底【考点】用平面向量的基底表示平面向量．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；逻辑思维．【答案】见试题解答内容【分析】（1）假设a→，b→共线，则存在实数λ，使得a→=λb→，推出e1→，e（2）设c→=e1→+3e2→=xa→+yb→=x（e1【解答】解：（1）证明：假设a→，b所以存在实数λ，使得a→=λ即e1→+2e2整理得（1﹣λ）e1→=-（λ+2则e1→，e2→共线，这与e1所以假设不成立，即a→与b→所以{a→，b→（2）设c→=e1→+3e2→=xa→+yb＝（x+y）e1→+（2x﹣y因为e1→，e2所以x+解得x=所以c→【点评】本题考查向量的共线，基底，属于中档题．

考点卡片1．平面向量的数乘与线性运算【知识点的认识】（1）实数与向量a→的积是一个向量，记作λa→，它的大小为|λa→|＝|λ||a→|，其方向与λ的正负有关．若|λa→|≠0，当λ＞0时，λa→的方向与a→的方向相同，当λ＜当λ＝0时，λa→与a对于非零向量a、b，当λ≠0时，有a→∥b→⇔a（2）向量数乘运算的法则①1a→=a→；（﹣②（λμ）a→=λ（μ）a→=μ③（λ+μ）a→=λa→④λ（a→+b→）＝λ一般地，λa→+μb→叫做a→，b→的一个线性组合（其中，λ、μ均为系数）．如果l→=λa→+2．平面向量的投影向量【知识点的认识】投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影．投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的分解．设a→，b→是两个非零向量，AB=a→，CD=b→，考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量a→向向量b→向量a→在向量b→上的投影向量是【解题方法点拨】投影，是一个动作．投影向量，是一个向量．我们把|a→|cosθ叫作向量（1）向量a→在向量b→上的投影向量为|a→|e→cosθ（其中e→为与b（2）注意：a→在b→方向上的投影向量与b→在a→方向上的投影向量不同，b→【命题方向】（1）向量分解：将一个向量分解成与另一个向量垂直和平行的两个部分．（2）向量夹角计算：通过求两个向量之间的夹角，则可以判断它们之间的关系（如垂直、平行或成锐角或成钝角）．（3）空间几何问题：求点到平面的距离．3．平面向量的基本定理【知识点的认识】1、平面向量基本定理内容：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一a→，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．3、说明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．4．用平面向量的基底表示平面向量【知识点的认识】1、平面向量基本定理内容：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一a→，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．3、说明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．【解题方法点拨】﹣表示转换：将向量v→写成基底向量的线性组合．例如，v→用基底e→1和﹣基底选择：在特定的基底下表示向量时，选择适当的基底并进行线性组合．【命题方向】﹣向量基底表示：考查如何使用基底向量表示任意平面向量．﹣基底下的计算：如何在给定的基底下进行向量运算．在△ABC中，若D，E，F分别是AB的3个四等分点，且CB→=e1→，CA→=e2→，试用基底解：在△ABC中，若D，E，F分别是AB的3个四等分点，且CB→=e由题意得BD→=14BA故CD→-CB→=同理，CE→-CB→=12所以CE→=12（因为CB→=e整理得，CE→=15．平面向量加减法的坐标运算【知识点的认识】﹣向量加法：如果a→=(a1，﹣向量减法：如果a→=(a1，【解题方法点拨】﹣坐标运算：直接对向量的坐标分量进行加减操作，得出结果．﹣实际应用：用于解决如点的移动、向量差等问题．【命题方向】﹣向量运算的实际应用：考查向量加减法在实际问题中的应用，如几何问题中的位置计算．﹣坐标运算技巧：如何高效进行向量的坐标运算．向量a→，b→满足a解：由a→+b→=（﹣1，5），a得2b→=（﹣1，5）﹣（5，﹣3）＝（﹣6，所以