2024-2025学年上学期高一数学苏教版期中必刷常考题之二倍角的三角函数

第21页（共21页）2024-2025学年上学期高一数学苏教版（2019）期中必刷常考题之二倍角的三角函数一．选择题（共5小题）1．（2025•孝义市模拟）已知sinα=34A．138 B．-138 C．382．（2025春•安徽月考）若tanα＝2，则cos2A．1 B．37 C．-37 3．（2025•广东模拟）已知角α的终边与单位圆交于点P(-32A．-12 B．12 C．-34．（2025•芜湖一模）已知cosx=45，则cos2A．-725 B．35 C．155．（2024秋•深圳校级期末）已知角α的终边过点（4，﹣3），则sin2α＝（）A．34 B．-34 C．2425二．多选题（共3小题）（多选）6．（2025•四川模拟）已知函数f(x)=sinωx+2A．ω＝2 B．函数f（x）的最大值为2 C．函数f（x）的图象关于点(-πD．函数f（x）在（-3π8（多选）7．（2024秋•安徽期末）已知函数f(A．f（x）为偶函数 B．f（x）的最小正周期为π C．f（x）的图象关于直线x=πD．f（x）的最大值为2（多选）8．（2024秋•龙华区校级期末）若α∈(0，π2)，且A．tan2α=-3 B．tan2α=3 C．tanα=33 三．填空题（共4小题）9．（2025•罗平县开学）若sinα+2cosα＝0，则sin2α+cos2α＝．10．（2025•昌黎县校级开学）已知α，β均为锐角，且sinα=45，tan（α+β）＝﹣2，则cos2β＝11．（2025•小店区校级开学）已知sin(α+π3)=12．（2025•河南开学）已知sinθsinθ+cosθ=2，则tan(2四．解答题（共3小题）13．（2025•独山子区校级开学）已知sinθ=45（1）求sin2θ的值；（2）求cos(（3）求sin(14．（2024秋•莎车县期末）已知函数f(x)=cos（1）求函数y＝f（x）的单调递增区间；（2）求x∈[0，π2]15．（2024秋•文山市校级期末）已知cosβ=72（1）求tan2β的值；（2）求sinα的值．

2024-2025学年上学期高一数学苏教版（2019）期中必刷常考题之二倍角的三角函数参考答案与试题解析题号12345答案ABCDD一．选择题（共5小题）1．（2025•孝义市模拟）已知sinα=34A．138 B．-138 C．38【考点】求二倍角的三角函数值；运用诱导公式化简求值．【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】A【分析】利用诱导公式、同角公式及二倍角的余弦公式计算得解．【解答】解：由sinα=则cos(3π2+2α)tanα=sin2故选：A．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．2．（2025春•安徽月考）若tanα＝2，则cos2A．1 B．37 C．-37 【考点】二倍角的三角函数的逆用；同角三角函数间的基本关系．【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】B【分析】由二倍角公式可得cos2αco【解答】解：因为tanα＝2，由二倍角公式可知，cos2α＝cos2α﹣sin2α，则cos2故选：B．【点评】本题主要考查了二倍角公式，同角基本关系的应用，属于基础题．3．（2025•广东模拟）已知角α的终边与单位圆交于点P(-32A．-12 B．12 C．-3【考点】求二倍角的三角函数值；任意角的三角函数的定义．【专题】转化思想；定义法；三角函数的求值；运算求解．【答案】C【分析】先根据三角函数的定义求出sinα，cosα，再根据二倍角的正弦公式即可得解．【解答】解：因为角α的终边与单位圆交于点P（-32，所以sinα=12，cosα所以sin2α＝2sinαcosα＝2×12（-3故选：C．【点评】本题考查了三角函数的定义与求值问题，是基础题．4．（2025•芜湖一模）已知cosx=45，则cos2A．-725 B．35 C．15【考点】二倍角的三角函数．【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】D【分析】由已知直接利用二倍角的余弦求解．【解答】解：∵cosx=4∴cos2x=2co故选：D．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．5．（2024秋•深圳校级期末）已知角α的终边过点（4，﹣3），则sin2α＝（）A．34 B．-34 C．2425【考点】求二倍角的三角函数值；任意角的三角函数的定义．【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】D【分析】根据三角函数的定义求出sinα，cosα，结合二倍角的正弦公式计算即可求解．【解答】解：因为角α的终边过点（4，﹣3），则sinα=所以sin2故选：D．【点评】本题主要考查了三角函数定义及二倍角公式，属于基础题．二．多选题（共3小题）（多选）6．（2025•四川模拟）已知函数f(x)=sinωx+2A．ω＝2 B．函数f（x）的最大值为2 C．函数f（x）的图象关于点(-πD．函数f（x）在（-3π8【考点】求二倍角的三角函数值；三角函数的周期性；正弦函数的奇偶性和对称性；由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】ACD【分析】先结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质检验各选项即可判断．【解答】解：因为f（x）＝sinωx+2cos2ωx2=sinωx+cosωx+1由题意可得，2πω=π，即ω＝2f（x）=2sin(2x+π因为f（-π8）=2sin0+1＝1，即f（x）的图象关于（-π8当-3π8＜x故选：ACD．【点评】本题主要考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．（多选）7．（2024秋•安徽期末）已知函数f(A．f（x）为偶函数 B．f（x）的最小正周期为π C．f（x）的图象关于直线x=πD．f（x）的最大值为2【考点】求二倍角的三角函数值；解三角形；三角函数的周期性；正弦函数的奇偶性和对称性．【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】CD【分析】先应用诱导公式及二倍角公式化简解析式，再根据函数奇函数的定义判断A，应用周期定义判断B，再根据对称轴定义判断C，结合正弦函数值域及基本不等式计算求解值域判断D．【解答】解：函数f（x）的定义域为R，对于A：f(-x)=sin(-x对于B：f（π2）=13，f（-π2）=-1对于C：f(π-x)=sin(对于D：当sinx＝0时，f（x）＝0；当sinx∈[﹣1，0）时，f(-1sinx-2sinx≥22，1当sinx∈（0，1]时，f(1sinx+2sinx≥22，0＜1所以f(x)故选：CD．【点评】本题主要考查了函数奇偶性，对称性，周期性的应用，还考查了基本不等式求解最值，属于中档题．（多选）8．（2024秋•龙华区校级期末）若α∈(0，π2)，且A．tan2α=-3 B．tan2α=3 C．tanα=33 【考点】二倍角的三角函数；三角函数的恒等变换及化简求值；同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．【答案】AD【分析】由已知利用二倍角的余弦公式可求cosα的值，进而利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正切公式即可求解．【解答】解：因为sin2α+cos2α＝sin2α+cos2α﹣sin2α＝cos2α=1又α∈所以cosα=12，sinα=1-cos2α=3可得tan2α=2tanα1-tan故选：AD．【点评】本题考查了二倍角的余弦公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正切公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．三．填空题（共4小题）9．（2025•罗平县开学）若sinα+2cosα＝0，则sin2α+cos2α＝-35【考点】求二倍角的三角函数值．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】-3【分析】先由条件得到tanα＝﹣2，结合二倍角公式，化弦为切，代入求出答案．【解答】解：因为sinα+2cosα＝0，所以tanα＝﹣2，sin2故答案为：-3【点评】本题考查了二倍角公式，属于基础题．10．（2025•昌黎县校级开学）已知α，β均为锐角，且sinα=45，tan（α+β）＝﹣2，则cos2β＝【考点】求二倍角的三角函数值；求两角和与差的三角函数值．【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．【答案】-3【分析】根据同角三角函数之间的关系可得余弦值和正切值，再根据两角和的正切以及二倍角公式可求得结果．【解答】解：由α为锐角及sinα=45由tan（α+β）＝﹣2，得sin（α+β）＝﹣2cos（α+β），易知π2＜α+β＜π，所以结合sin2（α+β）+cos2得sin(α+所以cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-故cos2故答案为：-3【点评】本题主要考查两角和的正切以及二倍角公式，属于基础题．11．（2025•小店区校级开学）已知sin(α+π3)=【考点】求二倍角的三角函数值．【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】-1【分析】根据诱导公式、二倍角公式等知识来求得正确答案．【解答】解：∵sin(∴sin(2α+π6)=sin[（2α+2π3）=2si故答案为：-1【点评】本题考查求二倍角的三角函数值，考查运算求解能力，属于中档题．12．（2025•河南开学）已知sinθsinθ+cosθ=2，则tan(2【考点】求二倍角的三角函数值；同角三角函数间的基本关系．【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】17【分析】由已知可求得tanθ＝﹣2，利用二倍角的正切公式可求得tan2θ，进而利用两角差的正切公式可求值．【解答】解：因为sinθsinθ所以tanθ＝﹣2，tan2tan(2故答案为：17【点评】本题主要考查了同角基本关系，二倍角公式，和差角公式的应用，属于中档题．四．解答题（共3小题）13．（2025•独山子区校级开学）已知sinθ=45（1）求sin2θ的值；（2）求cos(（3）求sin(【考点】求二倍角的三角函数值；运用诱导公式化简求值；两角和与差的三角函数．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）-2425；（2）4-3310；（【分析】（1）先由θ为第二象限角，sinθ=45，得cosθ（2）由两角差的余弦公式可得；（3）由诱导公式得sin(【解答】解：已知sinθ=45（1）因θ为第二象限角，故cosθ＜0，由sinθ=45所以sin2θ＝2sinθcosθ=（2）cos(（3）sin(【点评】本题考查的知识点：三角函数的定义，三角函数的值，主要考查学生的运算能力，属于中档题．14．（2024秋•莎车县期末）已知函数f(x)=cos（1）求函数y＝f（x）的单调递增区间；（2）求x∈[0，π2]【考点】二倍角的三角函数；正弦函数的单调性．【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】（1）先利用二倍角公式及辅助角公式对已知函数化简，然后结合正弦函数的单调性即可求解；（2）结合正弦函数的最值性质可求、【解答】解：y=（1）令2kπ得kπ-所以函数y＝f（x）的单调递增区间为[kπ（2）0≤x≤所以-12≤sin（2x+则f（x）∈从而函数y＝f（x）的值域为[1【点评】本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式在三角函数化简中的应用还考查了正弦函数的性质的应用．15．（2024秋•文山市校级期末）已知cosβ=72（1）求tan2β的值；（2）求sinα的值．【考点】二倍角的三角函数；两角和与差的三角函数．【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．【答案】（1）724（2）910【分析】（1）由同角三角函数关系得到tanβ，再利用二倍角公式进行计算；（2）凑角法，结合正弦和角公式进行计算．【解答】解：（1）由cosβ=可得sinβ=1-co则tan2（2）由0＜β＜所以cos(sinα＝sin[（α﹣β）+β]＝sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ=5=9【点评】本题考查了三角函数求值，考查了三角函数恒等变换的应用，属于基础题．

考点卡片1．任意角的三角函数的定义【知识点的认识】任意角的三角函数1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sinα＝y，cosα＝x，tanα=y2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．【解题方法点拨】利用三角函数的定义求三角函数值的方法利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．【命题方向】已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα＝（）A．45B．35C．-35分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x＝﹣4，y＝3，r=x2∴cosα=x故选：D．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．2．三角函数的周期性【知识点的认识】周期性①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T=2【解题方法点拨】1．一点提醒求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sint的相应单调区间求解，否则将出现错误．2．两类点y＝sinx，x∈[0，2π]，y＝cosx，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．3．求周期的三种方法①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为2π|ω|，y＝tan（ωx+φ）的③利用图象．图象重复的x的长度．3．运用诱导公式化简求值【知识点的认识】利用诱导公式化简求值的思路1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．4．正弦函数的单调性【知识点的认识】三角函数的单调性的规律方法1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．5．正弦函数的奇偶性和对称性【知识点的认识】正弦函数的对称性正弦函数是定义域为R的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有sin（﹣x）＝﹣sinx．另外，正弦函数具有周期性，其对称轴为x＝kπ+π2，k∈【解题方法点拨】例：函数y＝sin2x+2sin2x的对称轴方程为x＝x=kπ解：由于函数y＝sin2x+2sin2x＝sin2x+1﹣cos2x=2而函数y＝sint的对称轴为t则2x-π4=kπ+则函数y＝sin2x+2sin2x的对称轴方程为x故答案为x=这个题很有代表性，一般三角函数都是先化简，化成一个单独的正弦或者余弦函数，然后把2x-π【命题方向】这个考点非常重要，也很简单，大家熟记这个公式，并能够理解运用就可以了．6．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【知识点的认识】根据图象确定解析式的方法：在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A=M-m2，k=M+m2，ω7．同角三角函数间的基本关系【知识点的认识】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：sinαcosα=tan2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．公式五：sin（π2-α）＝cosα，cos（π2-α公式六：sin（π2+α）＝cosα，cos（π2+α）＝﹣3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sin_αcos_α；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α=2【解题方法点拨】诱导公式记忆口诀：对于角“kπ2±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α8．两角和与差的三角函数【知识点的认识】（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα9．求两角和与差的三角函数值【知识点的认识】（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα【解题方法点拨】﹣利用和差公式：sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβcos（α±β）＝cosαcosβ∓sinαsinβtan(﹣将具体角度值代入公式，求解三角函数值．﹣验证计算结果的正确性．【命题方向】常见题型包括利用和差公式求解三角函数值，结合具体角度进行计算．若α为锐角，sinα=45，则解：若α为锐角，sinα=45，则cossin(α+π3)=110．二倍角的三角函数【知识点的认识】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α=2【解题方法点拨】例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是π．解：∵y＝sin2x+2sinxcosx=1-cos＝sin2x-12cos2=52sin（2x+φ）+12，（∴其周期T=2π故答案为：π．这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．【命题方向】本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．11．求二倍角的三角函数值【知识点的认识】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α=2【解题方法点拨】﹣利用二倍角公式：sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2αtan2﹣将具体角度值代入公式，求解二倍角的三角函数值．﹣验证计算结果的正确性．【命题方向】常见题型包括利用二倍角公式求解三角函数值，结合具体角度进行计算．已知tanα2=22，则解：因为tanα所以tanα=故答案为：2212．二倍角的三角函数的逆用【知识点的认识】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α=2【解题方法点拨】﹣利用二倍角公式：sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2αtan2﹣将具有二倍角公式展开模式的表达式，改写成二倍角并求解．【命题方向】常见题型包括利用二倍角公式求解表达式，结合具体角度进行计算．求下列各式的值：（1）sinπ8sin3（2）cos215°﹣cos275°；（3）2cos25π12（4）tan30°解：（1）sinπ8sin3π8=sinπ8（2）cos215°﹣cos275°＝cos215°﹣sin215°＝cos30°=3（3）2cos25π12-1＝cos5（4）tan30°1-tan230°13．三角函数的恒等变换及化简求值【知识点的认识】三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．公式①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（π2+x）＝sin（π2-②余弦函数有y＝cos（2kπ+x）＝cosx，cos（π2-x）＝③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（π2-x）＝cot④余切函数有y＝cot（π2-x）＝tanx，cot（kπ+x）＝cot【解题方法点拨】