19.1.2　函数的图象(第2课时　函数的三种表示方法)

1/11本节课主要学习函数的三种表示方法及其简单应用．掌握函数的三种表示方法以及根据各自的特点灵活运用是本节课的教学重点．函数的三种表示方法不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题必须涉及的知识，而且能够加深对函数概念的理解．函数的三种表示方法可以使函数在数与形两方面的结合得到更充分的表现．【情景导入】提出问题实验演示：倾斜木板，将小车置于木板顶端，观察小车下滑的过程．小车沿斜坡下滑，下滑速度与下滑时间的关系如图所示．1．填写下表：t(秒)123v(米/秒)2.写出v与t之间的函数解析式．探究新知通过探究此题，我们知道可以用列表格、写式子和画图象来表示函数关系．讨论：你认为这三种表示方法各有什么优缺点？【说明与建议】说明：通过实验演示，创设问题情境，激发学生从中发现数学问题，建立模型，引起思考．建议：教师教学中鼓励学生积极探究、大胆发言，教学时可分组活动，学生先独立思考，然后组内交流并进行记录，最后各组选派代表汇报．【复习导入】我们在上节课已经亲自动手用列表格、写式子和画图象的方法表示了一些函数．问题：汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程为s千米，行驶时间为t小时．1．请你用含t的式子来表示s.2．提出问题：自变量t的取值范围是什么？完成下列表格：t(时)012s(千米)3.以横轴表示时间，每1小时为1个单位长度，纵轴表示路程，每60千米为1个单位长度．在平面直角坐标系中描点、连线，画出函数图象．请同学们思考一下：从前面的例子看，你认为函数的表示方法有哪些？这些方法各有什么优缺点？在遇到具体问题时，该如何选择适当的表示方法呢？这就是我们这节课要探究的内容．【说明与建议】说明：教师引导学生从全面性、准确性、直观性及形象性四个方面总结归纳函数三种表示方法的优缺点．建议：教师出示问题，学生自主思考，教学中一定要鼓励学生积极探索，并注意点拨，从出示的例题可以看出函数的三种不同表示法可以相互转化．命题角度1利用表格解决函数问题1．父亲告诉小明，温度与海拔有关系，并给小明出示了下面的表格：海拔/km012345…温度/℃201482－4－10…下列有关表格的分析中，不正确的是(D)A．表格中的两个变量是海拔和温度B．自变量是海拔C．海拔越高，温度就越低D．海拔每增加1km，温度升高6℃命题角度2利用解析式法解决函数问题2．临近春夏换季，某款卫衣的售价为每件300元，现按售价的七折进行促销，设购买x件该款卫衣一共需要y元，则y与x之间的函数关系式为(D)A．y＝0.7xB．y＝300xC．y＝30xD．y＝210x3．某商店销售一批玩具，其收入y(元)与销售数量x(个)之间有如下关系：销售数量x(个)1234…收入y(元)8＋0.316＋0.624＋0.932＋1.2…则收入y与销售数量x之间的函数关系式为(A)A．y＝8.3xB．y＝8x＋0.3C．y＝8＋0.3xD．y＝8.3＋x命题角度3利用图象解决函数问题4．某天小明约同伴去篮球场打球，已知小明家、超市、篮球场依次在同一条直线上，家到超市、超市到篮球场的距离分别为400m，600m．他从家出发匀速步行8min到超市购物，停留4min，然后匀速步行6min到篮球场，设小明离超市的距离为ym，所用时间为xmin，则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是(C)eq\o(\s\up7(),\s\do5(A))eq\o(\s\up7(),\s\do5(B))eq\o(\s\up7(),\s\do5(C))eq\o(\s\up7(),\s\do5(D))5．如图1，在某个底面积为20cm2盛水容器内，有一个实心圆柱体铁块，现在匀速持续地向容器内注水，容器内水的高度y(cm)和注水时间x(s)之间的关系满足如图2中的图象，则水流速度是eq\f(40,3)cm3/s.eq\o(\s\up7(),\s\do5(图1))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图2))科学家如何测算岩石的年龄科学家如何测算岩石的年龄呢？1903年，英国物理学家卢瑟福通过实验证实，放射性物质放出射线后，这种物质的质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．如图为镭的放射规律的函数图象．由图象我们可以发现：镭的质量由m0，缩减到eq\f(1,2)m0需要1620年，由eq\f(1,2)m0缩减到eq\f(1,4)m0需要3240－1620＝1620(年)，由eq\f(1,4)m0缩减到eq\f(1,8)m0需要4860－3240＝1620(年)，即镭的质量缩减为原来的一半所用的时间是一个不变的量——1620年．一般把1620年称为镭的半衰期．实际上，所有放射性物质都有自己的半衰期．铀的半衰期为45.6亿年，衰变后的铀最后成为铅，因此，科学家们测出一块岩石中现在含铀和铅的质量，便可以算出这块岩石原来的含铀量，进而利用半衰期算出从原来的含铀量到现在的含铀量经过了多少时间，从而推算出这块岩石的年龄．据此测算出地球上最古老的岩石的年龄约为30亿年．课题19.1.2第2课时函数的三种表示方法授课人素养目标1.运用丰富的实例理解函数的三种表示方法，并了解三种表示方法的优缺点．2．通过作图、交流、归纳等数学实践活动，提高把实际问题转化为数学问题的能力．3．通过实际操作，体会函数的三种表示方法在实际生活中的应用价值，激发学习数学的兴趣．教学重点掌握函数的三种不同表示方法，知道其优缺点．教学难点帮助学生感受用列表法、解析式法和图象法表示函数关系的相互转换这一数形结合的思想．授课类型新授课课时教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾问题：如图，要修建一个面积为12m2的小花坛，该花坛的一边长为xm，周长为ym．(1)变量y是变量x的函数吗？如果是，写出自变量x的取值范围；(2)能求出这个问题的函数解析式吗？(3)当x的值分别为1，2，3，4，5，6时，请列表表示变量之间的对应关系；(4)你能画出函数的图象吗？解：(1)y是x的函数，自变量x的取值范围是x>0.(2)能，y＝2(x＋eq\f(12,x)).(3)列表如下．x/m123456y/m2616141414.816(4)描点、连线，画函数图象如图．温故知新，为抓住本节重点，突破难点做知识储备，为本课的学习提供迁移或类比方法．教学步骤师生活动设计意图活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】在上题中我们亲自动手用列表格、写式子和画函数图象的方法表示了一个函数．这三种表示函数的方法分别称为列表法、解析式法和图象法．思考一下，从这个例子看，你认为三种表示函数的方法各有什么优缺点？在遇到具体问题时，该如何选择适当的表示方法呢？这就是我们这节课要探究的内容．直接引入，简单明了，引导学生明确本节课研究的重点内容，激发学生的求知欲．活动二：实践探究、交流新知【探究新知】【探究1】思考下面的问题问题1有一根弹簧原长10cm，每挂1kg重物，弹簧伸长0.5cm.设所挂的重物为mkg，受力后弹簧的长度为lcm，根据上述信息完成下表：m/kg01233.5…l/cm受力后弹簧的长度l是所挂重物m的函数吗？问题2有一辆出租车，前3千米内的起步价为8元，每超过1千米收2元，有一位乘客坐了x(x>3)千米，他付费y元．用含x的式子表示y，y是x的函数吗？问题3如图所示的是某地某一天的气温变化图．气温与时间是函数关系吗？从前面所见到的或自己举的例子可以看出：函数有三种表示方法，分别为列表法、解析式法和图象法．你认为函数的三种表示方法各有什么优缺点？根据自己的想法填下表：表示方法全面性准确性直观性形象性列表法×√√×解析式法√√××图象法××√√师生活动：学生认真完成3个问题，并互相交流，教师要让学生注意区分函数的三种表示方法，同时强调有时为了需要可能采用多种表示方法．1.引导学生观察、分析、类比、猜想，体验知识的生成过程，使传授的数学知识成为学生自己思考后获得的结果．2.引导学生认识函数的三种表示方法，并归纳总结出三种表示方法的优缺点，学会根据实际情况和具体要求选择适当的表示方法来解决相关问题，进一步知道函数三种表示方法之间可以转化．教学步骤师生活动设计意图【探究2】由函数图象分析函数的性质师生活动：利用开始提出的问题，教师引导学生归纳总结函数的性质．函数图象与函数性质之间存在着必然联系，我们可以归纳如下表：图象特征函数变化规律由左至右曲线呈上升状态⇔y随x的增大而增大由左至右曲线呈下降状态⇔y随x的增大而减小曲线上的最高点是(a，b)⇔x＝a时，y有最大值b曲线上的最低点是(a，b)⇔x＝a时，y有最小值b活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例(教材第80页例4)一个水库的水位在最近5h内持续上涨，下表记录了这5h内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y表示水位高度．t/h012345y/m33.33.63.94.24.5(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？由此你能发现水位变化有什么规律吗？(2)水位高度y是否为时间t的函数？如果是，试写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象．这个函数能表示水位的变化规律吗？(3)据估计这种上涨规律还会持续2h，预测再过2h水位高度将为多少米．解：(1)如图1，描出表中数据对应的点，可以看出，这6个点在一条直线上，再结合表中数据，可以发现每小时水位上升0.3m．由此猜想，如果画出这5h内其他时刻(如t＝2.5h等)及其水位高度所对应的点，它们可能也在这条直线上，即在这个时间中水位可能是始终以同一速度均匀上升的．

图1图2

(2)由于水位在最近5h内持续上涨，对于时间t的每一个确定的值，水位高度y都有唯一的值与其对应，所以y是t的函数，开始时水位高度为3m，以后每小时水位上升0.3m．函数y＝0.3t＋3(0≤t≤5)是符合表中数据的一个函数，它表示经过th水位上升0.3tm，即水位y为(0.3t＋3)m.其图象是图2中点A(0，3)和点B(5，4.5)之间的线段AB.如果在这5h内，水位一直匀速上升，即升速为0.3m/h，那么函数y＝0.3t＋3(0≤t≤5)就精确地表示了这种变化规律，即使在这5h内，水位的升速有些变化，而由于每小时上升0.3m是确定的，因此这个函数也可以近似地表示水位的变化规律．(3)如果水位的变化规律不变，则可利用上述函数预测，再过2h，即t＝5＋2＝7(h)时，水位高度y＝0.3×7＋3＝5.1(m).把图1中的函数图象(线段AB)向右延伸到t＝7所对应的位置，得图2，从它也能看出这时的水位高度约为5.1m．【变式训练】一根蜡烛长20cm，蜡烛的燃烧速度是5cm/h.(1)写出蜡烛的剩余长度h(cm)与燃烧时间t(h)之间的函数关系式；(2)画出这个函数的图象．解：(1)h＝20－5t(0≤t≤4).(2)列表：t01234h20151050描点、连线，如图．师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法．

1.通过例题教学让学生对知识的认识从感性上升到理性，同时规范解题的思路和书写格式．2.感受所学知识在实际中的用途，培养学生应用数学的意识．3.通过变式训练进一步巩固本节课知识，让学生继续感受函数图象体现出的函数关系的特点，明确图象上每一个点的实际意义：每个点都对应一对自变量和相应的函数值，每一条线都体现了函数和自变量这两个变量之间的变化关系，是数形结合的完美体现．活动四：课堂检测【课堂检测】1.一名老师带领x名学生到动物园参观，已知成人票每张30元，学生票每张10元．设门票的总费用为y元，则y关于x的函数解析式为(A)A．y＝10x＋30B．y＝40xC．y＝10＋30xD．y＝20x2.一个学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如下数据：支撑物高度h/cm1020304050607080小车下滑时间t/s4.233.002.452.131.891.711.591.50下列说法错误的是(C)教学步骤师生活动设计意图A．当h＝50cm时，t＝1.89sB．随着h逐渐升高，t逐渐变小C．h每增加10cm，t减小1.23sD．随着h逐渐升高，小车的速度逐渐加快3.购买某型号汽油的金额y(元)关于数量x(L)的函数图象如图所示，那么这种汽油的价格是每升5.09元．4.某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度y(米)关于时间x(时)的函数解析式为y＝6＋0.3x(0≤x≤5).5．声音在空气中传播的速度(简称音速)y(m/s)与气温x(℃)之间的关系如下表所示：气温x(℃)05101520音速y(m/s)331334337340343从表中可知，音速y随气温x的升高而加快，在气温为20℃的一天召开运动会，某人看到发令枪冒出的烟0.2s后听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点68.6m.6.某校办工厂年产值是15万元，计划以后每年增加2万元．(1)写出年产值y(万元)与年数x(年)之间的函数解析式，并画出函数图象；(2)估计5年后该工厂