2025年湖南师大附中高考数学模拟试卷（一）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年湖南师大附中高考数学模拟试卷（一）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合A={x∈N|5−x>1}，B={−1,0,1,2,3,4,5}，则∁BA=(

)A.{5} B.{4,5} C.{−1,4,5} D.{−1,0,4,5}2.若3−2i=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位)，则a，b的值分别等于(

)A.3，−2 B.3，2 C.3，−3 D.−1，43.已知单调递减的等比数列{an}满足a2aA.11024 B.1512 C.512 4.已知直线l：2x−y+5=0与圆C：x2+y2−2x−4y−4=0交于A，BA.25 B.4 C.55.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，E，F分别是棱CD，A1A.45+42

B.56.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为4，上顶点为B，O为坐标原点，点D为OB的中点，曲线E：x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)的左、右焦点分别与椭圆C的左、右顶点A1，A2A.8510 B.65107.已知定义域为R的函数f(x)满足f(1)=1e，且f(x)+f′(x)<0，则不等式f(x+1)>1eA.(2,+∞) B.(−∞,2) C.(0,+∞) D.(−∞,0)8.在数列{an}中，a1=4，an+1=5an+2×A.an=2(n+1)⋅5n−1 B.Tn=(二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=2sin(2x+π4)+2，则A.f(x)的图象关于直线x=π8对称

B.为了得到函数g(x)=2cos(2x+π3)+2的图象，可将f(x)的图象向右平移7π24个单位长度

C.f(x)在(0,π10.已知各项均不为零的数列{an}，其前n项和是Sn，a1=aA.a2=1

B.若{an}为递增数列，则a的取值范围是(0,1)

C.存在实数a，使得{an}11.某校篮球社团准备招收新成员，要求通过考核才能加入，考核规则如下：报名参加该社团的学生投篮n次，若投中次数不低于投篮次数的50%，则通过考核.学生甲准备参加该社团，且他的投篮命中率为0.9，每次是否投中相互独立.若n=3，记甲通过考核的概率为P1，若n=20，记甲通过考核的概率为P2，若n=21，记甲通过考核的概率为P3，若n=19，记甲通过考核的概率为P4，若n=22，记甲通过考核的概率为PA.P1=0.972 B.P2<P3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数f(x)=32x13.已知cosβ=2cos(2α+β)，则tan(α+β)tanα=______．14.若正整数m，n的公约数只有1，则称m，n互质.对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数.函数φ(n)以其首名研究者欧拉的名字命名，称为欧拉函数，例如φ(3)=2，则φ(9)=6.若数列{φ(2n)ϕ(3n)}的前四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

折纸是一项玩法多样的活动.通过折叠纸张，可以创造出各种各样的形状和模型，如动物、花卉、船只等.折纸不仅是一种艺术形式，还蕴含了丰富的数学知识.在纸片△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S1，a=5．

(1)证明：S1=5sinBsinC2sinA；

(2)若83S1⋅sinA=103cos(B−C)+5，求sinA的值；

(3)在(2)的条件下，若16.(本小题12分)

某绿色水果生态园在某种水果收获的.随机摘下该水果100个作为样本，其质量分别在[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400](单位：克)中，经统计，样本的频率分布直方图如图所示：

(1)求图中a的值；

(2)现按分层抽样的方法从质量为[250,300)，[300,350)的水果中随机抽取6个，再从6个中随机抽取3个，求这3个水果中恰有1个质量在[300,350)内的概率；

(3)某经销商来收购水果时，该生态园有水果约10000个要出售．

经销商提出如下两种收购方案：

方案A：所有水果以10元/千克收购；

方案B：对质量低于250克的水果以2元/个收购，不低于250克的以3元/个收购.假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，请估算该生态园选择哪种方案获利更多？17.(本小题12分)

如图，三棱锥P−ABC中，平面PAB⊥平面PAC，BC=2AB=2，∠ABC=π3．

(1)证明：PB⊥AC；

(2)若侧面PAB是等边三角形，点D满足PD=λPA(0<λ<1)，过B，D两点作平面α，满足直线AC//α，设平面α与PC交于点E，直线PC与平面α所成角为π18.(本小题12分)

已知k、m∈R，函数y=f(x)的定义域为R，直线l的方程为y=kx+m，记集合Al={x|f(x)≥kx+m}．

(1)若f(x)=2x，k2+(m−1)2=0，求集合Al；

(2)若f(x)=−x4+x3+bx2，且存在实数k、m使得集合Al中有且只有两个元素，求实数b19.(本小题12分)

已知双曲线Γ：x2−y2b2=1(b>0)，左、右顶点分别为A1，A2，过点M(−2,0)的直线交双曲线Γ于P，Q两点．

(1)若Γ的离心率为2，求b．

(2)若b=263,△MA2P为等腰三角形，且点P在第一象限，求点P的坐标．参考答案1.C

2.A

3.A

4.B

5.B

6.D

7.D

8.D

9.AD

10.ABD

11.AD

12.313.1314.3215.(1)证明：由正弦定理asinA=bsinB，可得b=asinBsinA，

则S1=12absinC=a2sinBsinC2sinA，

又∵a=5，∴S1=5sinBsinC2sinA；

(2)解：将S1=5sinBsinC2sinA代入83S1⋅sinA=103cos(B−C)+5，

得203sinBsinC=103cos(B−C)+5=103(cosBcosC+sinBsinC)+5，

即103(sinBsinC−cosBcosC)=5，∴−103cos(B+C)=5，

即23cosA=1，解得cosA=36，

又∵A∈(0,π)，∴sinA=1−cos2A=336；

(3)解：由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA，则16.解：(1)根据题意可得(0.002+0.002+0.003+0.004+a+0.001)×50=1，解得a=0.008；

(2)因为[250,300)和[300,350)的频率之比为2：1，

所以在[250,300)和[300,350)内的分别抽有4个和2个，

设在[250,300)内的4个水果分别为A，B，C，D，

在[300,350)内2个水果分别为a，b，

则再从6个中随机抽取3个所得样本空间为：

Ω={{A,B,C}，{A,B,D}，{A,B,a}，{A,B,b}，{A,C,D}，{A,C,a}，

{A,C,b}，{A,D,a}，{A,D,b}，{A,a,b}，{B,C,D}，{B,C,a}，{B,C,b}，

{B,D,a}，{B,D,b}，{B,a,b}，{C,D,a}，{C,D,b}，{C,a,b}，{D,a,b}}，

所以n(Ω)=20，

记E：其中恰有一个在[300,350)内，

则E={{A,B,a}，{A,B,b}，{A,C,a}，{A,C,b}，{A,D,a}，{A,D,b}，

{B,C,a}，{B,C,b}，{B,D,a}，{B,D,b}，{C,D,a}，{C,D,b}}，

所以n(E)=12，

所以P(E)=n(E)n(Ω)=1220=35；

(3)方案A：

收益=(125×0.002+175×0.002+225×0.003+275×0.008+325×0.004+375×0.001)

×50×0.001×10×10000=25750元；

方案B：低于250克获利(0.002+0.002+0.003)×50×10000×2=7000元，

不低于250克获利(0.008+0.004+0.001)×50×10000×3=19500元，

总计7000+19500=26500元．

因为25750<26500，所以该生态园选择方案B获利更多．

17.解：(1)证明：三棱锥P−ABC中，平面PAB⊥平面PAC，

∵BC=2AB=2，∠ABC=π3，

∴在△ABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcos∠ABC=5−4cosπ3=3，

∴AB2+AC2=BC2，即AB⊥AC，△ABC为直角三角形，

作BF⊥PA，垂足为F，

∵平面PAB⊥平面PAC，平面PAB∩平面PAC=PA，BF⊂平面PAB，

∴BF⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，∴BF⊥AC；

∵BF∩AB=B，BF，AB⊂平面PAB，∴AC⊥平面PAB，

∵PB⊂平面PAB，∴PB⊥AC．

(2)侧面PAB是等边三角形，点D满足PD=λPA(0<λ<1)，过B，D两点作平面α，

∵AC//α，平面α∩平面PAC=DE，∴AC//DE，

又PE=λPC(0<λ<1)，

以点A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，过点A垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则B(1,0,0)，P(12,0,32)，A(0,0,0)，C(0,3,0)，

∴PA=(−12,0,−32)，PC=(−12,18.解：(1)因为k2+(m−1)2=0，所以k=0，m=1，

由f(x)=2x，得2x≥1，解得x≥0，

所以Al=[0,+∞)；

(2)存在实数k，m使得集合Al={x1,x2}，

则−x4+x3+bx2≥kx+m的解集为{x1,x2}，

即x4−x3−bx2+kx+m≤0的解集为{x1,x2}，

所以方程x4−x3−bx2+kx+m=0有重根x=x1及x=x2．

因此x4−x3−bx2+kx+m=(x−x1)2(x−x2)2恒成立，

即x4−x3−bx2+kx+m=x4−2(x1+x2)x3+(22x12+x+4x1x2)x2−2x1x2(x1+x2)x+x12x22，

故有−2(x1+x2)=−1x12+x22+4x1x2=−b，

则x1，x2是二次方程x2−12x−12b−18=0的两个不相等的实数解，

所以Δ=14+2b+12>0，

解得b>−38，

所以实数b的取值范围是(−38,+∞)；

(3)证明：令g(x)=f(x)−(kx+m)，

因为f′(x)是定义域为R的严格减函数，

则g′(x)=f′(x)−k，在R上严格减函数，

①必要性：若直线l是函数y=f(x)在点P(t,f(t))处的切线，

则有f(t)=kt+mf′(t)=k，所以g(t)=0g′(t)=0．

故x>t时，g′(x)<0，

所以函数y=g(x)在(t,+∞)上严格减函数，

所以g(x)<g(t)=0；

x<t时，g′(x)