18.2.2　菱形（第1课时　菱形的性质）

18.2.2菱形第1课时菱形的性质“菱形”是继“四边形”“平行四边形”和“矩形”之后的一个学习内容，它是在学生掌握了平行四边形的性质与判定，又学习了特殊的平行四边形——矩形，具备了初步的观察、操作等活动经验的基础上讲授的．通过探索和证明菱形的特殊性质可以让学生体会证明的必要性并进一步丰富对图形的认识和感受．【置疑导入】问题：在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？它是什么图形呢？它有什么性质呢？运用多媒体动态地展示将平行四边形的一边进行平移的过程，让学生观察图形的变化．【说明与建议】说明：通过提问可使学生的注意力集中起来．建议：让学生通过观察图形的变化，从而引导学生探寻菱形的性质．【归纳导入】如图，准备四根木棒拼成平行四边形，使其一边慢慢地平移，提出问题：整个变化过程中四边形是否仍然是平行四边形？当相邻两边长度相等时停止移动，此时的四边形与原平行四边形有什么不同？归纳：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．【说明与建议】说明：通过图形的变化让学生感知菱形是平行四边形中的一个特例，为菱形性质及定义的得出做好铺垫．建议：在得到菱形定义的时候要抓住两个关键点．一是平行四边形，二是一组邻边相等．命题角度1菱形的性质1．如图，在菱形ABCD中，∠ABD＝70°，则∠C的度数为(B)A．30°B．40°C．50°D．60°第1题图第3题图第5题图2．菱形ABCD的两条对角线AC＝8cm，BD＝6cm，那么菱形的边长是(B)A．6cmB．5cmC．4cmD．8cm3．两个相同的菱形按如图所示的方式拼接在一起，若∠ABD＝15°，则∠BCF的度数为60°.命题角度2菱形的面积4．已知菱形ABCD的面积为96cm2，对角线AC的长为16cm，则此菱形的边长为(D)A．20cmB．14cmC．3eq\r(2)cmD．10cm5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF.若EF＝3，BD＝4，则菱形ABCD的面积为12．中国传统纹样——菱形纹菱形纹在中国传统装饰纹样中有着悠久历史，最早可以追溯到原始社会的新石器时代早期．起源于具象纹饰的模拟和抽象，两种途径相互影响，共同促进，构成了早期人类装饰图案的主体纹样，如马家窑彩陶文化的半山类型，菱形纹就是其典型特征．早在原始社会，菱形纹就已经是多种几何装饰图案的母题纹样，李泽厚先生曾评价这一类几何纹饰为“有意味的形式”．首先，菱形纹是作为一种几何形式存在，能从自身的结构特点中传达出形式上的美感．人们在长期的装饰实践中，将一直处于运动变化的菱形纹予以概括、整合、提炼，依照事物美的规律构造出多元化的造型，于变化中求多样性，又于多样性中求统一；其次，作为一种与人类生活密切相关的装饰纹样，菱形纹又是人们理想愿望和精神寄托的图案之一，突出体现在其寓意美好的方面，它是人们内心世界的主观反映，也是菱形纹艺术魅力的内在表象．课题18.2.2第1课时菱形的性质授课人素养目标1.经历菱形性质的探究过程，掌握菱形的两条性质．2．经历菱形性质的探究过程，培养动手实验、观察推理的意识，发展形象思维和逻辑推理能力．3．根据菱形的性质进行简单的证明，培养逻辑推理能力和演绎能力．教学重点菱形性质的探究．教学难点菱形性质的探究和应用．授课类型新授课课时教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.(复习)什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？平行四边形和矩形之间的关系是什么？2．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，则直线AC是线段BD的垂直平分线，依据：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．建立新旧知识之间的链接，为突破本节课难点做准备．活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】剪一剪：将一个矩形的纸对折两次，沿虚线剪下，再打开，就得到一个菱形．菱形是特殊的平行四边形，因此菱形也是中心对称图形．通过折纸的过程，菱形是不是轴对称图形呢？菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴．学生通过动手操作，探索菱形的对称性，不仅增强了学生兴趣，也为后面归纳菱形性质做铺垫．活动二：实践探究、交流新知【探究新知】思考下列问题根据刚才的发现，猜想菱形具有哪些性质？性质1：菱形的四条边都相等．符号语言：在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA.性质2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．符号语言：在菱形ABCD中，AC⊥BD，∠ABD＝∠CBD，∠ADB＝∠CDB，∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA.学生试证明菱形的两个性质．求证：菱形的四条边都相等．菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．已知：如图，四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点O.求证：(1)AB＝BC＝CD＝DA；(2)AC⊥BD，∠1＝∠2，∠5＝∠6，∠3＝∠4，∠7＝∠8.【探究】菱形的面积公式(教材第56页例3)如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位).【思路点拨】本题要求两条小路的长和花坛的面积，可以在Rt△ABO中，应用直角三角形的性质和勾股定理求出OA，OB的长．解：∵花坛ABCD的形状是菱形，∴AC⊥BD，∠ABO＝eq\f(1,2)∠ABC＝eq\f(1,2)×60°＝30°.在Rt△OAB中，AO＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×20＝10.BO＝eq\r(AB2－AO2)＝eq\r(202－102)＝10eq\r(3).∴花坛的两条小路长AC＝2AO＝20(m).BD＝2BO＝20eq\r(3)≈34.64(m).花坛的面积S菱形ABCD＝4×S△OAB＝eq\f(1,2)AC·BD＝200eq\r(3)≈346.4(m2).【方法归纳】你有什么发现？(1)菱形的一条对角线将菱形分成两个全等的等腰三角形；(2)菱形的两条对角线将菱形分成四个全等的小直角三角形；(3)应用菱形性质计算的一般思路：①菱形对边平行、对角相等、四条边相等，所以在做题时，可利用等量代换来转换为其他边的长；②菱形的对角线互相垂直，故常借助对角线垂直和勾股定理来求线段的长．1.在学生独立思考后再通过交流和引导，明确目前证明线段、角相等的常用方法，培养学生的合情推理能力．2.在认识菱形特征的基础上，对菱形的性质进行归纳，是知识的一次升华，培养学生的概括能力．活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于点E，连接BE.求证：∠AFD＝∠CBE.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，CB＝CD，CA平分∠BCD.∴∠BCE＝∠DCE.又∵CE＝CE，∴△BCE≌△DCE(SAS).∴∠CBE＝∠CDE.∵AB∥CD，∴∠AFD＝∠CDE.∴∠AFD＝∠CBE.【变式训练】如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，AF.AE和AF有什么样的数量关系？并说明理由．解：AE＝AF.理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝CD.又∵E，F分别为BC，CD的中点，∴BE＝eq\f(1,2)BC，DF＝eq\f(1,2)CD.∴BE＝DF.∴△ABE≌△ADF(SAS).∴AE＝AF.师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法．通过变式训练培养学生的发散思维能力和逻辑思维能力．活动四：课堂检测【课堂检测】1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是(D)A.对边相等B．对角相等C.对角线互相平分D．对角线互相垂直2．如图，在菱形ABCD中，下列结论错误的是(D)A.BO＝DOB．∠DAC＝∠BACC.AC⊥BDD．AO＝DO第2题图第4题图3．已知菱形ABCD的面积为24cm2，若对角线AC＝6cm，则这个菱形的边长为5cm.4．如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是菱形．若点A的坐标是(3，4)，则点C的坐标是(8，4)．5．如图，已知四边形ABCD是菱形，∠ACD＝30°，AB＝6.(1)求∠ABC的度数；(2)求AC的长．解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∠ACD＝30°，∴∠BCD＝2∠ACD＝60°，AB∥CD.∴∠ABC＝180°－60°＝120°.(2)连接BD交AC于点O，则∠AOB＝90°，AO＝CO.∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝30°.∴OB＝eq\f(1,2)AB＝3.∴OA＝eq\r(AB2－OB2)＝3eq\r(3).∴AC＝6eq\r(3).师生活动：