19.1.2　函数的图象(第1课时　函数的图象及其画法)

1/1319.1.2函数的图象第1课时函数的图象及其画法本节课是在学习函数概念的基础上，进一步讨论函数的图象，学习从函数图象上获取信息和函数图象的画法，初步讨论函数的变化规律和变化趋势．同时这节课对于学习函数、培养学生的探索能力、拓展学生的空间想象力都有十分重要的意义．【情景导入】你一定知道乌鸦喝水的故事吧！一个细口瓶中盛有一些水，乌鸦想喝水，但是嘴够不着瓶中的水，于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中(如图)，瓶中水面的高度随石子的增多而上升，乌鸦喝到了水．但是还没解渴，瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度了，乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中，水面又上升，乌鸦终于喝足了水，高兴地飞走了．如果设衔入瓶中石子的体积为x，瓶中水面的高度为y，下列选项中能大致表示上面故事情节的图象是(B)eq\o(\s\up7(),\s\do5(A))eq\o(\s\up7(),\s\do5(B))eq\o(\s\up7(),\s\do5(C))eq\o(\s\up7(),\s\do5(D))【说明与建议】说明：利用学生非常熟悉的故事创设问题情境，激发学生学习兴趣的同时也引起学生的思考，从而考虑解决问题的方法．建议：通过探究函数图象的一系列问题，使学生充分认识图象，从图象中获取信息，理解图象的实际含义，直观感受数形结合解决这类问题的价值，为后面学生自主解决函数图象问题做好铺垫．【置疑导入】我们生活在一个变化的世界中，时间、温度，还有你的身高、体重等都在悄悄地发生变化．从数学的角度探究变化的量，讨论它们之间的关系，将有助于我们更好地了解自己、认识世界和预测未来．观察下图，你能大致地描述男、女生平均身高的变化情况吗？你的身高在平均身高之上还是之下？你能预测自己18岁时的身高吗？【说明与建议】通过设置连续的具有启发性的提问，加上学生熟悉的问题情境引入新课，激发学生的学习兴趣，同时使学生明确本节课所要解决的主要问题．建议：教师教学时着重引导学生如何获取知识、探究新知识，教学中学生自主探究，教师补充释疑．命题角度1点在函数图象上1．下列四个点中，在函数y＝－eq\f(1,3)x－1的图象上的点是(B)A．(3，0)B．(－3，0)C．(－2，3)D．(0，－3)命题角度2画函数图象2．在下列式子中，对于x的每一个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数，画出这些函数的图象．(1)y＝x＋1；(2)y＝eq\f(2,x).解：(1)列表：x…－2－101…y…－1012…描点、连线，如图所示：(2)列表：x…－2－112…y…－1－221…描点、连线，如图所示：命题角度3根据问题情景，确定函数图象3．小明和妈妈通过自驾去“花溪十里河滩”游玩，早上他们从贵安新区出发，匀速行驶一段时间后，途中遇到堵车原地等待一会儿，然后他们加快速度行驶，按时到达“花溪十里河滩”．游玩结束后，他们自驾匀速返回．其中x表示小明和妈妈驾车从贵安新区出发后至回到贵安新区所用的时间，y表示他们离贵安新区的距离，下面能反映y与x的关系的大致图象是(A)eq\o(\s\up7(),\s\do5(A))eq\o(\s\up7(),\s\do5(B))eq\o(\s\up7(),\s\do5(C))eq\o(\s\up7(),\s\do5(D))命题角度4观察函数图象，获取信息解决相关问题4．小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，以下是她本次去舅舅家所用的时间与路程的关系式示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：(1)小红家到舅舅家的路程是1__500米，小红在商店停留了4分钟；(2)在小红骑车去舅舅家的途中，最快的骑行速度是450米/分；(3)本次去舅舅家的行程中，小红共骑行了多少米？一共用了多少分钟？解：小红共骑行了1200＋600＋900＝2700(米)，共用了14分钟．课题19.1.2第1课时函数的图象及其画法授课人素养目标1.会用描点法画出函数的图象，能说出画函数图象的步骤．2．会判断一个点是否在函数图象上．3．经历画函数图象的过程，体会函数图象建立数形联系的关键是分别用点的横、纵坐标表示自变量和对应的函数值．4．会观察函数图象获取信息，根据图象初步分析函数的对应关系和变化规律．教学重点函数图象的意义及画法，从图象中获取信息．教学难点通过观察实际问题的函数图象，使学生感受到用不同方法表示函数关系的相互转换这一数形结合的思想授课类型新授课课时教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾什么是常量？什么是变量？什么是函数？通过复习前面所学的内容，引出本节要学习的内容．活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】信息1：如图是一张心电图．信息2：如图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T(℃)如何随时间t(时)的变化而变化，你从图象中得到了哪些信息？用学过的图，可加强学生对新旧知识的理解．活动二：实践探究、交流新知【探究新知】【探究1】函数的图象．我们先来看这样一个问题：正方形的边长x与面积S的关系是S＝x2．其中自变量x的取值范围是x>0．阅读教材第75页，独立完成下面的问题．画函数S＝x2(x>0)的图象．第一步：列表：x00.511.522.53…S00.2512.2546.259…第二步：描点：以x的值为横坐标，相应S的值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点．第三步：连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描各点从左到右用平滑的曲线连接起来．注意：原点要排除，从所画的图象上可以看出，曲线从左向右上升，即当x由小变大时，S随x的增大而增大．归纳：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．师生活动：学生思考，表示x与S的对应关系的点有多少个？如果全在坐标纸上描出的话是什么样子．画图象取点时要让学生发现：这样的点有无数个，如果全描出来的太麻烦，也不可能，我们只能描出其中的一部分，然后想象出其他点的位置，用平滑的曲线连接起来．【探究2】我们知道，函数图象是以自变量的值和对应的函数值分别为横、纵坐标的点组成的图形，这样的点有无数个，那么怎样判断一个点是否在函数图象上？(1)判断下列各点是否在函数y＝x＋0.5的图象上．①(－4，－4.5)；②(4，4.5).(2)判断下列各点是否在函数y＝eq\f(6,x)(x>0)的图象上．①(2，3)；②(4，2).【探究3】用描点法画函数的图象．要做一个面积为8m2的长方形小花坛，该花坛的长为xm，宽为ym．(1)变量y是变量x的函数吗？如果是，写出自变量的取值范围；(2)你能求出这个问题的函数解析式吗？(3)当x的值分别为1，2，3，4，5，6时，请列表表示变量之间的对应关系；(4)你能画出这个函数的图象吗？解：(1)由函数的定义可知，y是x的函数，自变量x的取值范围是x>0．(2)这个问题的函数解析式为y＝eq\f(8,x)．(3)列表：x/m123456y/m84eq\f(8,3)2eq\f(8,5)eq\f(4,3)(4)描点、连线，如图所示：归纳：画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线，这种画函数图象的方法称为描点法．师生活动：教师展示解题过程，全班讲评．在画图象时，可能有的同学忘记自变量的取值范围，教师在此处要注意强调．1.引导学生观察、分析、类比、猜想，体验知识的生成过程，使传授的数学知识成为学生自己思考获得的结果，从而抓住了重点，突破了难点．2.引导学生领会和掌握图象的意义，培养学生的观察、归纳、概括等探究能力．活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例1(教材第76～77页例2)如图1所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，图2反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系．图1图2根据图象回答下列问题：(1)食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？(2)小明吃早餐用了多少时间？(3)食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？(4)小明读报用了多少时间？(5)图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？解：(1)由纵坐标看出，食堂离小明家0.6km；由横坐标看出，小明从家到食堂用了8min.(2)由横坐标看出，25－8＝17，小明吃早餐用了17min.(3)由纵坐标看出，0.8－0.6＝0.2，食堂离图书馆0.2km；由横坐标看出，28－25＝3，小明从食堂到图书馆用了3min.(4)由横坐标看出，58－28＝30，小明读报用了30min.(5)由纵坐标看出，图书馆离小明家0.8km；由横坐标看出，68－58＝10，小明从图书馆回家用了10min，由此算出平均速度是0.08km/min.例2(教材第77～78页例3)在下列式子中，对于x的每一个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数．画出这些函数的图象：(1)y＝x＋0.5；(2)y＝eq\f(6,x)(x＞0).解：(1)①列表(计算并填写表中空格).x…－3－2－10123…y…－0.50.51.52.5…②描点、连线：根据表中数值描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点．(2)y＝eq\f(6,x)(x＞0).①列表(计算并填写表中空格).x…0.511.522.533.5456…y6321.5…②描点、连线：根据表中数值描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点．【变式训练】1.某气象站观察一场沙尘暴从发生到结束的全过程，开始时风速按一定的速度匀速增大，经过荒漠地时，风速增大得比较快．一段时间后，风速保持不变，当沙尘暴经过防风林时，其风速开始逐渐减小，最终停止．如图是风速v与时间t之间函数关系的图象．结合图象回答下列问题：(1)沙尘暴从开始发生到结束共经历了多长时间？(2)从图象上看，风速在哪一个时间段增大得比较快，风速每小时增加多少？(3)风速在哪一时间段保持不变，经历了多长时间？(4)风速从开始减小到最终停止，风速每小时减小多少？解：(1)沙尘暴从开始发生到结束共经历了41.2小时．(2)风速从5～12小时这个时间段增大得比较快，风速每小时增加eq\f(38－10,12－5)＝4(千米).(3)风速在12～26小时这个时间段保持不变，经历了14小时．(4)风速每小时减小eq\f(38,41.2－26)＝2.5(千米).2.在如图所示的平面直角坐标系中画出函数y＝eq\f(1,2)x2的图象．解：列表：…－2－1012……2eq\f(1,2)0eq\f(1,2)2…描点、连线，如图．师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法．1.设置典型例题巩固新知，帮助学生掌握从图象中获取信息，学会画图象．2.通过变式训练，学生进一步巩固新知，突破重难点．通过综合应用知识讲题，，提高学生的应考能力．活动四：课堂检测【课堂检测】1．下列曲线中不能表示y是x的函数的是(C)2．如图是一台自动测温仪记录的图象，它反映了某市冬季某天气温T随时间t变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是(C)A.凌晨4时气温最低，为－3℃B.14时气温最高，为8℃C.从0时至14时，气温随时间增长而上升D.从14时至24时，气温随时间增长而下降第2题图第3题图3．小军上午从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中．小军离家的路程y(m)和所经过的时间x(min)之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是(D)A.小军家与超市相距3000mB.小军去超市途中的速度是300m/minC.小军在超市逗留了30minD.小军从超市返回家比从家里去超市的速度快4．画出函数y＝2x－1的图象．(1)列表：x…－101…y…－3－11…(2)描点、连线：(3)判断点A(－3，－5)，B(2，－3)，C(3，5)是否在函数y＝2x－1的图象上．(4)若点P(m，9)在函数y＝2x－1的图象上，求m的值．解：(2)如图．(3)点A，B不在图象上，点C在图象上．(4)m＝5.5.(1)画出函数y＝－eq\f(8,x)的图象；(2)从函数图象观察，当x＜0时，y随x的增大而增大，还是y随x的增大而减小？当x＞0时呢？解：(1)列表：x…－8－4－2－11248…y…1248－8－4－2－1…描点、连线，如图．(2)当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而增大．6.在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a，b两个情境．①②③情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校；情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．1)情境a，b所对应的函数图象分别是③①(填写序号)；