浙江专升本（高等数学）模拟试卷1

浙江专升本(高等数学)模拟试卷1(共

8套)

(共216题)

浙江专升本(高等数学)模拟试卷第1

套

一、综合题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)

1、求函数y=vG.(x-1)的单调区间、极值、凹凸区间和拐点.

标准答案：据题意，函数y=>7.(x—1)的定义域为xe(—8,+00),且片0,

令户0,解得唯一驻点x=y，=,令y"=0,解得x=另外，显然x=0是函数y=.(x—

1)的不可导点则将函数f(x)的定义域划分，并列表如下：由表可知，函数f(x)的单

调增区间为(一8，0),(,+8)函数f(x)的单调减区间为|0,函数f(x)在x=0处取得

极大值，且极大值为f(0)=0函数f(x)在*=处取得极小值，且极小值为f函数f(x))

的凹区间为或(一8,

知识点解析：暂无解析

设函数f(x)满足微分方程xF(x)—2f(x)=—(a+l)x(其中a为正常数)且f(l)=L由

曲线y=f(x)(xgl)与直线=1,y=0所围成的平面图形记为D,已知D的面积为

2

3.求：

2、函数f(x)的表达式；

2冈

标准答案：据题意得F(x)—xf(x)=—(a+l)所以f(x)=dx+C]=x2.[(a+l)J(—idx

+C]=x2(+C尸Cx2+(a+l)x再由f(l)=l知C=-a,故f(x)=-ax2+(a+l)x令

f(x)=0,求得曲线与x轴的两个交点分别为x=0,x=l十所以由曲线y=f(x)(x$l)与直

线x=l,y=0所围成的平面图形D如下图所示平面图形D的面积;[一

ax2+(a+l)x]dx=(—=,所以a=L即f(x)=-x2+2x

知识点解析：暂无解析

3、求平面图形D绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积Vx；

标准答案：由(1)知f(x)=—x?+2x,则平面图形D绕x轴旋转一周所形成的旋转体

的体积VX=TTJ。\53/Io15

知识点解析：暂无解析

4、求平面图形D绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积Vy.

标准答案：令y=-x?+2x,所以y—1=—(x—1猿，x=l+/1一岁(舍去),x=l—

因平面图形D绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积Vy=7L12—兀

知识点解析：暂无解析

5、设函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，且a

标准答案：因为f(x)在闭区间［a,b］上连续，且aVcVdVb所以f(x)在闭区间［c,

d|上连续，故f(x)在闭区间［c,d］上可取得最大值M和最小值即mSf(x)SM,

xG［c,d］所以m<f(c)<M,m<f(d)<M又因P,q为任意正常数所以pm<pf(c)<pM,

>3+qf(d)

qmWf(d)WqM所以mgWM由介值定理可知，至少存在一点乐(c,d)

」(a,b),使得f®=

知识点解析：暂无解析

二、选择题(本题共5题，每题7.0分，共5分。)

6、下列关于连续与间断的表述正确的是()

A、如果f(x)在x=a处连续，那么If(x)I在x=a处连续.

如果If(x)I在x=a处连续，那么f(x)在x=a处连续.

C、如果f(x)在R上连续，(p(x)在R上有定义，且有间断点，则(p(f(x))必有间断

点.

D、如果(p(x)在R上有定义，且有间断点，则(p2(x)必有间断点.

标准答案：A

p工eQ

知识点解析：B选项，构造f(x)=I—11eQ,x=O处间断，但If(x)I在x=O连

续；C选项，构造(p(x)=sgnx,f(x)=ex,则(p(f(x))连续；D选项，构造cp(x尸

P-

1-IzEQ,但(p2(x)在R上连续.通过排除法知：A正确.

J

以工)

7、设M彳＞1,则也)在x=l处()

A、左、右导数都存在

B、左导数存在，右导数不存在

C、左导数不存在，右导数存在

D、左、右导数都不存在

标准答案：B

2

因f⑴第蚱譬.因而心⑴二呼――2,「旬尸

知识点解析：

故该函数的左导数存在，右导数不存在，可见选项B正确.

8、下列等式中，正确的结果是：()

A、ff(x)dx=f(x)

B、Jdf(x)=^x)

d

C^d/Jf(x)dx=Rx)

D、dff(x)=f(x)+c

标准答案：C

d

知识点解析：由不定积分和原函数概念可知Jf(x)dx=f(x)+c,Jdf(x尸f(x)+C,八

Jf(x)dx=f(x),由微分与导数关系可知djf(x)dx=f(x)dx,可见选项C正确.

9、已知向量沅=»十3«,法二j+3k,则AOAB的面积是()

A、/19

B、俯

C、网

D、图

标准答案：A

OAXOf5I,而承X葩

知识点解析：根据向量叉积的几何意义得SMOR=E

171一

=-3i—3j+k,所以，可见选项A正确.

10、下列级数发散的是()

oo

A、/

力(一1尸

B士ln(〃+D

V(-D"

C、M2,

yy〃+a

D、iM(a和常数i

标准答案：D

lim-4-=lim近辛=1,因为X4发散，所以X中：

知识点解析：G发散，故D

正确.

三、填空题(本题共70题，每题1.0分，共70分。)

]

11、设函数f(x)=l一广，则其第一类间断点为

标准答案：x=l

知识点解析：

lim/(x)=lim-----=lim---------1工=1•lim/(j)=liny--

-「I-Br・i1-J'M24x-l1一2=

故x=l是函数f(x)的第一类跳跃间断点.

12、设向量a与单位向量j成60。，与单位向量k成120。，且IaI=5々，则a=

标准答案：a=(5,7T一/或。=(一热闻一片

知识点解析：由题意设向量a的方向角为a,60°,120°,故由cos%+cos26()o+

cos2120°=1.可得cos%=

向，所以cosa=±%故a=|aIa0=572.y•-y)

(5赍/)或。=(-5/-鼾

1，|x|<l

f(工)=<0,Ix|=1.

13、设I一1,g(x)=ex,则g[f(ln2)]=

标准答案：e

知识点解析：据题意知f(ln2)=l,所以g[f(ln2)]=虱l)=J=e

14、设尸eX(C|sinx+C2C0sx)为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该方程

为•

标准答案：y"—2y，+2y=0

知识点解析：由通解可知该方程的特征根为ri=l+i,r2=1—i,从而可知特征方

程为r2—2r+2=0,故此二阶常系数齐次线性微分方程为y〃-2y』2y=0.

15>若川+1-ax-ab)=2,则a=,b=.

标准答案：a=1,b=-3

-ar-6)=2可得lim[“上，

知识点解析：由-34+1-aN+1—(稣+1?+2)]=0直线

…x+b+2可看成f(x尸-1=b+2==—1,故b=-3.

16、已知f(0)=2,f(2)=3,f(2)=4,贝ijJoxF(x)dx=.

标准答案：7

if^(xJcLr=xd/z(x)=J-/z(x)—\

知识点解析：JoJ。0Jof(x)dx=2f(2)-

2

[f(x)]o=2f⑵-f(2)+f⑼=7.

17、y=(l+sinx)x,则dyIx=n=

标准答案：一71dx

jrcosj

知识点解析：对数求导法,lny=xln(l+sinx),则y=ln(l+sinx)+1+simr.所以点

](1+siar)，,故唉

=[ln(l+sinx)+l+sinrdx|x=n=—兀'因此‘dyIx=n

兀dx.

fXl-cosx)

ilim2

18、设f(0)=1,f(0)=0,则一tanx

1

标准答案：2

知识点解析：

lim.Ey)=lim八1一厂一八°).lim匕等=

■r-otarir^J-*O1-COSJTX

1T2

/(0)lim尊=4/(0)•而八0)=1,所以lim八】一号红2=1.

ix4ZztanrZ

19、设JCJ—tedt,则常数a=.

标准答案：a=2

lim("叶=lim(1+2厂回

知识点解析：左边Li,工)，…八r)=ea,右边口e'dt=aea

-el=(a-I)a,所以ea=g—l圮a,故a=2.

20、JJr2+x-2dx=.

j_iIt-1I

标准答案：可n7+2'+c

知识点解析：j-2czz=j(x+2)(x-l)dx=

4■口~~:।

3Jx—1JN+23彳十/+c

四、解答题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

1.ln(1-FX2)-ln(14-sin2x)

lim----------------------------------

21、…xsin'x

.(1+•)

11

I.ln(l+12)-ln(l+sin?JT)_i；1+sin2上

liTn.y1MM-iim4

DxsinxDx

AX2

221

标准答案：=3r=T

知识点解析：暂无解析

22、设f(x)在(一处+8)内有一阶连续导数，且f(0)=0,存在f(0).若

^\/工0

F(x)=«”.

.厂(0),工=0求F<x),并说明F(x)在(-8,+oo)上的连续性.

工f(工)-f(x)

标准答案：当X#)时，"X尸"囚所以尸仪)=当/0时，显然

P(x)处处连续,又因为所以F，(x)在x=O处也连续,综上可知,F'(x)在(一8,+8)内

处处连续.

知识点解析：暂无解析

23、求函数f(x)=(x+l)31G=D'的单调区间

标准答案：li|f(x)=(x+l)3%工一l)'=(x+l)3区知,定义域xWR,x=l是不可导点

当没1时，F(X)=3(X+D2(X+I)3令f\x)=O,得到驻点x=-1,x=当x>l或xV时，

f(x)>0；当VxVl时,f(x)<0,故函数f(x)的单调增区间为xR—8,],[1,

+℃)；单调减区间为(，1)

知识点解析：暂无解析

lim/r"+j"2"+1・

24、设xNO,求函数f(x)=-▽2”的表达式.

1而，”+/+.=limM

标准答案：当叱xSl时，f(x)=i5/2T**[xn(l+xn4-==x；

当1Vxg2时，f(x)===x2；当x>2时f(x)==所以f(x)=

知识点解析：暂无解析

25、设F(，)=z+1.(t>0)且f(O)=O,求解f(x).

Gx

标准答案：设x=F,则f(x)=G+l(x>0)由公式：f(x)-f(0)=f(t)dt：又因

为：f(t)dt=du=2du=2(U-Ddu+2du=(u2-2u)+2In(u+I)=x-2+21n(+l)

知识点解析：暂无解析

26、求微分方程xhixdy+(y—lnx)dx=O满足yIx=e=l的特解.

1=_1_㈤

标准答案：原方程可化为一阶线性微分方程y」而^一二，其中P(x)二四,

Q(x)=故原方程的通解为y=e-Jp(x)dxlfQ(x).eJp(x)dxdx+C]=dx+CJ=e-

ln(lnx)[jeln(lnx)dx+C]=lnxdx+C]=将初始条件y|x=e=l代入，得到C=故微分方程

xlnxdy+(y—lnx)dx=O满足初始条件yIx=e=l的特解为丫=

知识点解析：暂无解析

j2•04工42

27、求由y=0,y=3与16一工，工>2所围成的平面图形绕y轴旋转一周所

得旋转体的体积Vv.

标准答案：据题意，所围平面图形如卜.阴影部分所示

0

=7t(x~-13y+36)dy=

知识点解析：暂无解析

28、利用已知募级数将函数f(x)=xarctanx展开为x的基级数.

标准答案:令g(x)=arctanx,则g，(x尸l+M因回(―l)nxn,xG(—I,I),所以

(-l)nx2n,xe(-l,l)所以g'(x尸(一1)/2'x®—l,1)将事级数(一1)为2n逐项积

分，可得，XG(—1,1)另一方面g<t)dt=g(x)—g(O)=g(x)故g(x)=,XG(—1,1)所以

f(x)=xarctanx=,x€(—1.1)

知识点解析：暂无解析

浙江专升本(高等数学)模拟试卷第2

套

一、综合题(本题共3题，每题7.0分，共3分。)

1、设户y(x)是由方程y3+xy+x2—2x+1=0所确定并且满足y(l)=O的函数，求

..(jL1

lim7-

r«1

y^jr'fdr

标准答案：方程y3+xy+x2-2x+l=0两边同时对x求导得3y2.y,+y+xy,+2x一

2=0(*)式将y⑴=0代入(*)式中可得/(1)=0在3y2.y，+y+xy'+2x—2=0两边继续对x

求导得6y.(y¥+3y2.y〃2/xy"+2=0再把y(l)=O,y")=0代入上式可得y〃(0尸一

一尸_..2

.lim.7(--1----1--=hm-3-(-J；~-~r1—)

lim5<4^=lim-4-r

y(x)r-*jy{Jr)

=6•■]六=-3

2.所以y(i)

知识点解析：暂无解析

!n^_lnu、一

2、证明不等式，，一丁二+护,其中(OVa<b).

标准答案：(拉格朗H中值定理)令函数f(x)=lnx,xG[a,b],f(x)在闭区间[a,b|±

连续，在开区间(a,b)内可导，由拉格朗日中值定理可知，至少存在一点&E(a，

1

T冈

b),使得f(b)—f(a尸「©(b—a),即lnb—lna=<(b—a)所以二，由于OVaVgV

b,故，又因为a，b2>2ab,所以>则F(x尸2x(lnx-Ina)+—2a=2x(lnx—lna)+因

为x>a>0,所以F(x)>0,故函数f(x)在|a,+8)上为增函数所以f(b)>f(a)=O,即

(b2+a2)(lnb-Ina)—2a(b—a)>0因此

知识点解析：暂无解析

3、设p>0,证明：/'一1•1十"dxVl

标准答案：”>0,0<x<l.-.0<xp<l,且］+“VxPvi.•・区VI・•.由定积分性

质可得xpdx而

知识点解析：暂无解析

二、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)

1一工

右,则当x—l时()

4、已知函数f(x)=l卜工，g(x)=3—3.

A^f(x)是比g(x)高阶的无穷小

B、g(x)是比f(x)高阶的无穷小

C、f(x)与g(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小

D、f(x)与g(x)是等价无穷小

标准答案：C

1—7

lim/心工<=lim—［七=4-lim

知识点解析：因为1双幻13—3・G

111m(1-日)。+阳+石)=1

6二1一力2,因此答案C正确.

5、已知函数y=x3—ax,xG［O,1］,设经过该函数的两个端点处有一条直线，则函

数图像上与该直线平行的切线上切点的坐标是：()

A、

B、(6,“一口。)

C、(1,1—a)

D、(一1,-1—a)

标准答案：A

知识点解析：由题意，曲线y=x3—ax在区间［0,1］上的两个端点坐标为(0,0),

(1,1-a),故过这两个端点的直线的斜率为ki=l-a,设所求相切点的坐标为

(xo,yo)»则函数y=X3—ax在该点的切线的斜率为k2=3x2—aIx=xo=3x()2—a,由

题意，ki=k2»故有云3,又由于xo曰0，1]，故xo=口，又由于点(xo，yo)

在曲线y=x3—ax上，故y(尸，故所求的切点的坐标为().

6、由曲线广/笈-4,x=2,x=4所围平面图形的面积为()

4

A、-3

8

B、3

16

C、3

D、4

标准答案：B

2J—41[xl

知识点解析：据题意画图可知，所围平面图形的面积为S」2J*dx=U

d(2x—4)=,因此，选项B正确.

[1

7、设函数f(x)连续且不等于0,若Jxf(x)dx=arcsinx+C,则(1)dx=()

标准答案：D

]

知识点解析：因Jxf(x)dx=arcsinx+C,f(x)连续且不等于0所以xf(x)=/1—，，即

志■同志业二X/I—X2dr=—J-(l—x2)

+C,答案D

正确.

8、方程y〃-2y，+3y=dsin(：&x)的特解形式为()

A、xex[Acos(>/2j-)-f-Bsin(-/2x)]

B、ex[Acos(y2r)+Bsin(72x)J

C、Aexsin(^x)

标准答案：A

知识点解析：特征方程为J—2r+3=0,解得口=l+/i,「2=1一回i又因

九+3i=l+i是特征方程的根，所以取k=l所以y〃-2y，+3y=eXsin(x)的特解形式可设

为xex[Acos(x)+Bsin(x)].可见选项A正确.

三、填空题(本题共70题，每题1.0分，共10分。)

9、设函数'।-r।(•厂'-1)的第一类间断点为.

标准答案：x=0,x=l

lim/(x)=lim-1、=-1，lim/(x)=limii

知识点解析：IIT_W/_】)I*Ux=1,故

X=0为函数的跳跃间断点；X=1为可去间断点.

limr

10>—X=.

标准答案：0

x

6-，14

lim=lim-7-------•而limr'

JT"J-^0j2(A

知识点解析：

1

X

limr'=8.故limJr

r*0X'=Q.

—IxI

11、已知f(2)=2,f(2)=0,f(x)dx=l,贝I」x2『Qx)dx=

标准答案：0

知识点解析：

Ix2f\2,r)dr\fr/grdf^t)

JUOJooJU

=£『/'⑺I：-2J：广⑺汕］=一4*/⑺=一］”⑺I：—⑺山］=o.

,广■■一-

12、计算定积分JL2一i]dx二

_2

标准答案：行

知识点解析：函数’2在对称区间上为奇函数，因而题设中函数的积分可化为

口—x2dx=_2x2dx=

13、设函数y=y(x)由方程x=yX所确定，则y，=.

y—

标准答案：产

知识点解析：用对数法和隐函数求导求函数乂=丫*的导数，可得y，=彳''

*>

.r

14、由椭圆〃+y2=l所围成的封闭图形的面积是__________.

标准答案：7ta

知识点解析：椭圆的面积：s=7iab,因而该椭圆的面积为兀a.

15、设函数yjmanx,R|Jdy=.

In5

标准答案：5m僦siarcoardx

1ln5

知识点解析：d尸y'dx=5Msnx』n5赤sec2xdx=5mianx.siucFdx

£_±—三.r-1_y+]=之一2

16、两异面直线L|：T-2--3,L2：1—1—1之间的距离

_5_

标准答案：而

知识点解析：Li的方向向量为Si=(l,2,3),经过点Pi(0,0,0),L2的方向向量

123

为S2=（1,1,1）,经过点P2(l，—1，2),所以S|xS2=111=-i+2j-

k,ISixSI=凶

2,故L]与L2之间的距离为d二

17、级数、九/一"型的收敛区间是___________.

标准答案：(一8，—2)(2*+oo)

丁Fx|

知识点解析：a产sin2"，由于口=2,故当IIV2,即IxI>时，，级数绝对收

敛.因而收敛区间是：(-8,)U(,+00)

18、设a=(2,—3,1),b=(l,一2,3),则同时垂直于a和b,且在向量c=(2,

1,2)上投影为14的向量c=.

标准答案：e=(14,10,2)

知识点解析：据题意设6=入纶1>)=(-7入,—5X,—Z),则Prjce=IeIcosz(e,c)=

e•c

1c•=14,解得入二-2,故e=(14,10,2)

四、解答题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

19、设f(x尸八+，,求f(f(x)),f(f(f(x))).

标准答案：由于f(x)=,所以f(f(x))=化简可得f(f(x))=f(f(x))=化简可

得f(f(x))=

知识点解析：暂无解析

20设函数f(x)=ax3—6ax?+b在区间[-1，2]上的最大值为8,最小值为一24,且

知a>0,求系数a,b的值.

标准答案：f(x)=3ax2—12ax=3ax(x—4),xW[—1,2],a>0令f(x)=0,解得x=0

当一IVxVO时,£(x)>0当0VxV2时,f(x)<0,所以函数f(x)在x=0处取得极

大值，且f(。)为[一1，2]上的最大值.所以f(0)=b=8,又因f(-l)=-a-6a+b=b

―7a=8—7af(2)=b-16a,所以最小值为f(2)=b-16a=~24由b=8,可知a=2.

知识点解析：暂无解析

21、求函数f(x)=x2ln(l+x)tfx=0处的n阶导数^n)(0)(n>3).

标准答案：(莱布尼兹公式)令u=x2,v=ln(l+x),则u'=2x,u〃=2,u®=0(nZ3)故由

莱布尼兹公式(uv)(叽各0u(k)v(n-k)可知(uv)(叽回u(k)v(n-k)=u(0)v(n)+u(1)v(n-1)

+u⑵v(n-2)=x2[|n(l+x并n)+2nx[ln(l+x)](nr)+n(n—+x)产―2)又因为加。

(n)(n-,)

+X)]=(-l),故当吟3时,阿⑻=x2(-1/一1)+血一1)(一1)(厂3)因此

f<n)(0)=(-l)(n-3)!n(n-l)=

知识点解析：暂无解析

22、求通过点M](3,—5,1)和M2(4,1,2)且垂直于平面x—8y+3z—1=0的平

面方程.

标准答案：设所求平面的法向量为n,因为平面过点Mi(3,-5,1),M2(4,1,2)

所以6,1),且nl回；又因所求平面垂直已知平面，且已知平面的

法向量为ni=(l,—8,3),故nlni.所以法向量n可以取为xni==(26,—2,一

14)又平面过点M|(3,—5,1),所以由点法式方程知，所求平面方程为26(x—3)

-2(y+5)-14(z—1)=0,即13x—y—7z—37=0.

知识点解析：暂无解析

23、求不定积分jln(x+J1+M)dx.

标准答案：

原积分jln(.r+Ji+M)dr=/ln(.r+/+M)—j\rdln(.r+vl4.r)

J

=j*ln(J-4-s/1+)—f---cLr=八+/')—J\+C・

Jy14-x~

知识点解析：暂无解析

24、计算积分J,47T

标准答案：x=l是瑕点

ln(24-73)

〃什/।=冷+ln(24->/3)

所以J*/I1一'

知识点解析：暂无解析

._m八/(.r+—X2)

25、求定积分Judx.

(J+J2工一热)dr=[xdz+fJ2工一2dr

0J0J0

=4x2+f>/l—(1—x)zdr=2+[—(1—z)'dr

L0JoJO

u2+J：/HTck=2+2f/PTdr

^^-2+21cos2〃d〃=2+(1+cos2u)du

o

=2+(«+|sin2M)|*=2+f

标准答案:

知识点解析：暂无解析

y(J•一D"

26、求基级数占"-2"的收敛域.

■.“e(z)=|.(«r-D1rH〃.2"I=..n

标准答案：山出？w-(x)=即(〃+1)•2f•(x-D-1=出22(〃+l)|

X-1I=回IX-I|<1解得一1<*<3,故基级数的收敛区间为x€(—1,3)

当x=-1时，由莱布尼茨判别法知，交错级数收敛；当x=l时，发散，所以累

级数的收敛域为［一1,3).

知识点解析：暂无解析

浙江专升本(高等数学)模拟试卷第3

套

一、综合题(本题共3题，每题7.0分，共3分。)

1、设y=f(x)是第一象限内连接点A(0,1),B(l,0)的一段连续曲线,M(x,y)为该

曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点.若梯形0CMA的面

£1.A

积与曲边三角形CBM的面积之和为6T,求f(x)的表达式.

标准答案：据题意可知2(f(x)+l)+凹f(t)dt=在上式两边同时对x求导数得

(f(x)+l)+x2当X/)时，可得一阶线性微分方程P(x)—f(x)=由通解公式为

f(x)=dx+C］=x+C)=x2+Cx+lXHf(l)=O,所以可得C=-2,因此所求f(x)=x2一

2x+l

知识点解析：暂无解析

且物口+工十号］:二试求

2、设f(x)在x=0的邻域内具有三阶导数,

1+/

f(0),f(0),F(O)及…JT」

=J1nos手)臼

标准答案：因为［l+x+1」所以」=3=0=0,且f(0)=0所以

=3所以f(x)-2x2=x2.a(x),其中a(x)=0所以，f(x)=2x2+o(x2)又因f(x)在x=0处的

二阶泰勒公式为f(x)=f(0)+x2+o(x2)所以可知f(0)=0,『(0)=4所以而『(0)=2所以

知识点解析：暂无解析

3、设函数f(x),g(x)在［a,b］上连续，求证：至少存在一点斤(a,b)使得解)

JR出『司:f(x)dx.

.…J区„.

标准答案：令F(x)=J“f(t)dt.g(t)dt,x6［a,b］•・,设函数f(x),g(x)在［a,b］上连续

••・F(x)在⑶b］上可导,且F(a尸F(b)=0.••由罗尔定理可知,至少存在一点斤(a,b),

使得P6)=0，即熊)g(x)dx=g0f(x)dx

知识点解析•：暂无解析

二、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)

4、下列结论正确的是：()

A、当XTO时,若函数f(x)极限存在，函数g(x)极限不存在，则函数和f(x)+g(x)的

极限不存在.

当XTO时,若函数f(x)极限不存在,函数g(x)极限不存在，则函数和f(x)+g(x)

的极限不存在.

C、当X-0时，若函数f(x)极限存在，函数g(x)极限存在,则函数和f(x)+g(x)的极

限可能不存在.

D、当X—>0时，若函数f(x)极限存在,函数g(x)极限不存在，则函数和f(x)+g(x)的

极限可能不存在.

标准答案：A

知识点解析：根据极限运算的基本性质，可以得出结论A成立.

5、微分方程y^y=x2+l+sinx的特解形式可设为()

A、y*=ax2+bx+c+Asinx

B、y=ax-+bx+c+Acosx

C、y=ax+bx+c+x(Asinx+Bcosx)

D、y=x(ax+bx+c+Asinx+Bcosx)

标准答案：C

知识点解析:对应齐次方程为J+1=O,特征根为“=-i,12=i，对于y"+y=x?-1,

因为九=0不是特张方程的根，取k=0,从而其特解形式可设为y「=ax2+bx+c；对

于y"+y=sinx,因为入=0,co=l,入+coi=i是特征方程的根，取k=l,从而其特解形式

可设为y2*=x(Asinx+Bcosx),所以yM+y=x2+l+sinx的特解形式可设为y*=yj+y2”，

可见选项C正确.

6、下列可推出函数f(x)在闭区间［a,b］上可积的是()

A、f(x)在闭区间［a,b］上只有有限个间断点

B、f(x)是有界函数

C^f(x)在闭区间［a,b］上无单调性

D、f(x)是连续函数

标准答案：D

知识点解析：由可积分的条件可知选项D正确.对于选项A,f(x)在闭区间［a,b］

上只有有限个间断点的有界函数可推出f(x)在闭区间［a,b］上可积；对于B和C,

Lz是有理数

V

可以举反例，例如，狄利克雷函数D(x)=Ou是无理数，显然D(x)是有界函数，

且在［0,1］上无单调性，但是D(x)在［0,1］上不可积；可见只有选项D正确.

7、下列等式不正确的是()

A、d上rJ「«f(x)dx］=f(x)

色广'

B、必J“f(t)dt］=f［b(x)］bXx)

C、石［Lf(x)dx］=f(x)

D、叫drJ「-F,(t)dt］=F,(x)

标准答案：A

知识点解析：因为f(x)在［a,b］定积分计算结果是一个常数，故五U“f(x)dx］=O,

B,C,D计算都正确.

8、下列微分方程是线性方程的是()

A、exy.y-y

sinr

B、1.y"+x2y，+ylnx=e*

T

C、y〃一y，+2y=y

D、(y+l)y-x+1

标准答案：B

知识点解析：一阶线性微分方程形如y，+P(x)y=Q(x),二阶线性微分方程形如

y"+P(x)y，+Q(x)y=f(x),可见选项B正确.

三、填空题(本题共70题，每题1.0分，共70分。)

,1-八+/(工)tanr-1n.

9、设…/—I=3,则督f(x)=.

标准答案：12

]-/1+/(«r)tarv-1_「2^*r^arlr]y(x)tan.r

lim------F----：------=iim----T-----=Thm•*--------

知识点解析：…」1—1…2/4,一)x

(3

f(x)=3,所以f(x)=12.

10、设函数「1=0在x=0处连续，常数

a=,b=.

标准答案：a=-2,b=0

lim因

知识点解析：囚为f(x)在x—0处连续，故」一/f(x尸f(0尸4而口二0,故必有

(ax+b)=0,因此b=0；所以==-2a=4即a=-2

Hma(/)

11、设函数f(x)在x=0处满足f(x)=f(0)—3x+a(x),且…~=0,则f(0)

标准答案：-3

知识点解析：由函数在一点处的导数定义知式0)=

lim/a)-/(0)=|imZL3£±aO2=_3+lin)3

jTJC尸＞0JC，WJT=—3

12、已知函数f(x尸xe?x,则«50)(x)=

标准答案：250xe2x+50.249e2x

知识点解析：令u=x,v=e2x,则W=l,u"=0,因此由莱布尼茨公式可知(uv)(5°)二

50

<Xu(0)v<)+au(I)v(49)=250xe2x+50<249e2x

13、设f(x)=2x—5,则flf(x)—l]=.

标准答案:4x+13

知识点解析：f(x)=2x+5nf[f(x)—1l=fI2x+4]=2(2x+4)+5=4x+13.

14、已知P(1nx)=x5—1,则f(x)=.

J_

标准答案：5e5x+x+C

知识点解析：令曰nx,则*=，f(t)=e5t+l,因此f(x)=k(x)dx=J(e5i+l)出=5

e5t+t+C.

阡

15、(X3-t)f(t2)dt=__________.

标准答案：3X2JOf(t2)dt+2x3f(x4)(x-1)

「冈

知识点解析:Jo(x3—t)f(t2)dt=x3-f(t2)dt-tf(t2)dt(X3-

t)f(t2)dt=3x2f(t2)dt+2x4f(x4)-2x3f(x4)

n

16、若IaI=5,b=I8I,a与b的夹角为3,则|a—bI=.

标准答案：7

知识点解析：因为Ia—bI2=(a一b).(a—b)=IaI2—2a.b+IbI2=IaI2

2IaIIbIcos3+IbI2=25—2x5x8x凶+64=49,故Ia~bI==7.

17、(I+x)ydx+(l-y)xdy=0的通解是.

标准答案：xy=ceyr(c为任意实数)

冈

知识点解析：原方程可化为：l,ydy=o,即:dx=dy,两边积分

得到：xy=ceyr(c为任意实数).

1

18、在x=2处，函数f(x)=3—才事级数展开式为

eo

标准答案：«-o(x—2)n,xe(l,3)

1g

-L.=火

知识点解析：因为I""*"Qx"，xE(—1,1),所以f(x尸

CD

i=i=z

3-J1一(1―2)・・o(x-2)n,收敛区间x€(l,3).

四、解答题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

limJ"7f二

19、求极限-J2+siu

lim.八二3二1一山

Zr2+sior+siar

=_luim---N---------工-"--------7--—--—2—-J-1-----_-

—J1+至

标准答案：7/

知识点解析：暂无解析

20、设函数f(x)的导函数为sinx且f(0)=—l；若F(x)是f(x)的一个原函数且

F(0)=0,求解：J1+一工)"

标准答案：由题意：f(x)=sinx,则f(x)=—cosx+C,而f(0)=—1,此时C=0,因而

f(x)=—cosx；又有F〈x)=f(x),则F(x)=—sinx+C,而F(0)=0,此时C=0,因而

f737^7^^=[i~~&

J1-rF(JT)J1—sinr

1+siordr=[-—F-^7^-dr

COS2JTJcos'J*COS4X

2

=Jsecxdr-J—d(cosr)

cos-x

_1+sinj+(.

所以：.e©

F(x)=­sinx；

知识点解析:暂无解析

21、求函数f(x)=x—，^*的凹凸区间和拐点.

标准答案：函数f(x)的定义域为问一1,1］当X力且对一1时，f(x)=

、'一"一冈

/I-X4f，=一令F(x尸0,可得x=0,当x>0时，r(x)<0；当x

<0时，f(x)>0所以函数f(x)的凹区间为(一1,0),凸区间为(0,1)拐点为(0,0).

知识点解析：暂无解析

22、求由方程x2-xy+y2=3确定的隐函数y=f(x)的极大值和极小值.

2才二y

标准答案；首先对方程x2—xy"=3两边关于x求导，得广？一2丁令y,=o,

冈

得：2x=y，代入原方程得驻点x=l,x=-1又因V0,所以函数y=y(x)在x=l

处取得极大值，且极大值为y(l)=2；同理可知y"Ix=-i=>0，所以函数y=y(xj在

x=-l处取得极小值，且极小值为y(—l)=-2.

知识点解析：暂无解析

,__"

23、求积分।1J1二丘

=p2dM=2

标准答案：x=e是瑕点J1uJo

知识点解析：暂无解析

1

24、当xW［0,兀］时，，讨论方程sirr'xcosx―4的实根个数.

J_

标准答案：令函数f(x)=sin'xcosx—4,xG［0,兀］,则F(x尸sin—G—4si/x)令

Fxi,

f(x)=0,得x=0,X=7t,x=」,X=f(0)=V0fm)V0因为函数f(x)=sin3xcosx一在闭

区间［0,］和闭区间上连续所以由零点定理知，至少存在格日。，),使得f(4)=0,

f化2)=0当xE(0,)和(，兀)时，f(x)>0,故函数f(x)为增函数当xe()时,f(x)<0,

函数f(x)为减函数所以当x6［0,兀］时，方程si"xcosx=仅有两个实根

知识点解析：暂无解析

「，-

25、己知函数Jo［2f(t)+t"cost］dt=xf(x),且f(2)=0,求函数f(x).

标准答案：据题意方程Jo[2f(t)+t2cost]dt=xf(x)两端同时对X求导数，得F(x)一

f(x)=xcosx则此方程为一阶线性微分方程，令P(x)=,Q(x)=xcosx则此一阶微分方

程的通解为f(x)=e-

,p(x)dx.[fQ(x).e,p(x)dxdx+C]=+C]=elnx.[fxcosxelnxdx4-C]=x[fcosxdx+C]=x(sinx+C)又因

f()=0,所以C=—1,故f(x)=x(sinx-1)

知识点解析：暂无解析

26、求曲线x2+(y—4产=4所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体体

积.

标准答案：yi=4+，4-/,y2=4—所以Vx=7tdx=16兀dx=16兀.=32兀2

知识点解析：暂无解析

浙江专升本(高等数学)模拟试卷第4

套

一、综合题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)

i

1、求函数y=x+"+1的单调区间、极值、凹凸区间和拐点.

]

标准答案：据题意，函数y=x+”+1的定义域为(一8,—1)U(—1,+o