安徽省安庆市2025届高三下学期3月第二次模拟试题 数学 含解析

安庆市2025年高三模拟考试（二模）数学试题命题：安庆市高考命题研究课题组考试时间120分钟，满分150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.已知复数（为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算化简，再利用复数模的定义即可求得的值.【详解】因为，所以.故选：B.2.已知集合，若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合，然后利用列出方程即可得出答案.【详解】，又，所以，得.故选：C.3.若将函数图象向右平移个单位，所得图象关于原点成中心对称，则的最小正值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得图象变换后的函数解析式，根据对称性求得正确答案.【详解】，将函数的图象向右平移个单位得，由该函数为奇函数可知，即，所以的最小正值为.故选：A4.已知等比数列的前项和为，若，且与的等差中项为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由等比数列的性质可得出的值，结合已知条件求出的值，可求出、的值，再结合等比数列的求和公式可求得的值.【详解】因为等比数列的前项和为，设其公比为，由已知，故，所以，，则，故，所以，，故.故选：D.5.已知平面向量，则“”是“在方向上的投影向量为”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】先根据投影向量的定义，写出在方向上的投影向量为，然后结合条件即可判定.【详解】由于在方向上的投影向量，若，则，故，若，则，故选：C.6.函数的图象经过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（）A.函数不具有奇偶性B.C.函数的值域为D.函数的单调递增区间为【答案】D【解析】【分析】根据条件和指数函数性质得出，，然后利用函数的图像与性质逐一判断即可.【详解】函数的定义域为，且，故函数为偶函数，A错误；由函数的图象过原点，有，即，所以，由于的图象无限接近直线但又不与该直线相交，故，且，故，于是B，C错误；由上面的分析得出函数，显然的单调递增区间为，故D正确；故选：D.7.设事件为两个随机事件，，且，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用条件概率公式得出，然后利用公式化简得出结论.【详解】由可得，又，所以，所以，即，即，于是.故选：B.8.已知曲线，直线，若与有三个交点，且一个交点平分另两个交点连成的线段，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】将直线与曲线联立，得出方程，然后韦达定理得出，分类讨论即可得出答案.【详解】显然与交于点，由，得，得或，设另外两个点为，则，不妨设，已知一个交点平分另两个交点连成的线段，当时，，此时，则，不合题意；当时，，得，解得.又，所以不成立，故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某市为了了解一季度居民的用水情况，随机抽取了若干居民用户的水费支出（单位：元）进行调查，将所得样本数据分为4组：，整理得频率分布直方图如图所示，则（）A.样本中水费支出位于区间的频率为0.03B.按分层抽样，从水费支出位于区间和的用户中共抽取16户，则应从水费支出在的用户中抽4户C.水费支出的中位数的估计值为45D.若从该市全体居民用户中随机抽取5户，以事件发生的频率作为概率，则水费支出位于区间的用户数的估计值为3【答案】BD【解析】【分析】根据频率之和为1即可求解A,根据抽样比即可求解B,根据中位数的计算即可求解C,根据二项分布的期望公式即可求解D.【详解】因，所以样本中支出在的频率为A错误；，B正确：因，中位数的估计值为，C错误；记抽出的5户中一季度水费支出位于区间的用户数为，根据题意可知，D正确.故选:BD.10.如图，在正三棱柱中，，点为正三棱柱表面上异于点的点，则（）A.存在点，使得B.直线与平面所成的最大角为C.若不共面，则四面体的体积的最大值为D.若，则点的轨迹的长为【答案】ACD【解析】【分析】对于A选项，当点为中点时，利用向量证明即可；对于B选项，当点位于点时，此时线面角为，大于；对于C选项，当点位于点（或棱上）时，体积最大，为；对于D选项，先判断出点的轨迹为三段圆弧，然后求出长度即可.【详解】对于A选项，当点为中点时，所以，故A正确；对于B选项，当点位于点时，为直线与平面所成角，故B错误；对于C选项，当点位于点（或棱上）时，点到平面的距离最远，此时四面体的体积最大，以点为例，此时，故C正确；对于D选项，若，如图，在棱上取点，使，在棱上取点使，则点的轨迹由圆弧构成，且其所在圆的半径依次为，，圆心角依次为，圆弧的长分别为，故点的轨迹的长为，故D正确；故选：ACD.11.若实数满足，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】设函数，利用其为增函数，有一个零点得到，即可判断A；由已知可得，可得，即可判断B；由及，可得，即可判断C；由B选项可得，进而得，即可判断D.【详解】设函数，显然为增函数，，由已知，故，故A正确；由，有，故，则，故，故B正确；由，得，故，故C错误；由得，则，由于，得，故D正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆与圆相交于两点，则四边形的面积等于__________.【答案】9【解析】【分析】法一：准确画图，可得四边形是边长为3正方形，进而求得其面积；法二：将两圆方程做差求相交弦方程，再应用弦心距、半径与弦长关系即可求得，利用两点间距离公式求得，进而求得四边形的面积.【详解】由已知，圆，圆，圆心，半径，圆心，半径，法一：如图，准确画图，容易发现四边形是边长为3正方形，其面积为9；法二：将两圆方程相减，可得公共弦所在直线的方程为：到距离为，所以，即，又，所以，四边形的面积.故答案为：9.13.数列满足，则使得的最小正整数的值为__________.【答案】6【解析】【分析】将条件变形，然后取对数，得出为以为首项，2为公比的等比数列，然后得出，即可得出答案.【详解】因为，所以，则，又，所以为以为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，则使得，计算得最小正整数值为6，故答案为：6.14.将3个1，3个2，3个3共9个数分别填入如图方格中，使得每行、每列的和都是3的倍数的概率为__________.【答案】【解析】【分析】古典概型求概率，先求所有情况共有种，而每行，每列的和为3的倍数有两种可能，即每行每列数字相同或1，2，3各一个，利用排列组合知识求出种类数即可.【详解】将3个1，3个2，3个3共9个数填入一共有种方法.每行，每列的和为3的倍数有两种可能：①每行或每列的数字相同，有种方法，②每行或每列的数字1，2，3各一个，有种方法.所以每行，每列的和都是3的倍数的概率为.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.Deepseek席卷全球引发了AI浪潮.某中学为丰富学生个性化学习生活，组织成立Deepseek应用学生社团组织，成立数据运用、模型设计、场景分析、迁移学习等四个学生社团并计划招募成员，由于报名人数超过计划数，将采用随机抽取的方法确定最终成员.下表记录了四个社团的招募计划人数及报名人数.社团计划人数报名人数数据运用50100模型设计60场景分析160迁移学习160200甲同学报名参加这四个学生社团，记为甲同学最终被招募的社团个数，已知，.（1）求甲同学至多获得三个社团招募的概率；（2）求甲同学最终被招募的社团个数的期望.【答案】（1）（2）2.3【解析】【分析】（1）由于事件“甲同学至多获得三个社团招募”与事件“”是对立的，通过对立事件概率公式求解即可；（2）根据，，列出关于和方程，求出和，然后求出的分布列或者事件间的关系直接求解.【小问1详解】由于事件“甲同学至多获得三个社团招募”与事件“”是对立的，所以甲同学至多获得三个社团招莫的概率是【小问2详解】解法1：设甲同学被数据运用，模型设计，场景分析，迁移学习等各社团招䓪依次记作事件.由题意可知，，，又，解得，则,，，所以的分布列为：01234.解法2：设甲同学被数据运用，模型设计，场景分析，迁移学习等各社团招募依次记作事件.由题意可知，，，又，解得.设甲同学报名数据运用，模型设计，场景分析3个社团，最终被招募的社团个数，由于其被招募的概率均为，所以服从二项分布，故；甲同学被迁移学习社团招募的概率为，最终被迁移学习社团招募的个数为，则也服从二项分布，，从而，故.16.在中，角所对的边分别为，且.（1）证明：；（2）若角为锐角，且的面积为，求边长的大小.【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角转化可得，由此可得.（2）根据条件结合边角转化可得，分析可得为等腰直角三角形，根据可得结果.【小问1详解】证法1：由正弦定理得，.∵，∴，即，∵，∴，故，∵，∴，∴或，∴或（舍），故.证法2：由正弦定理得，，由余弦定理得，，∴，即，∴，∴.∵，∴，即，∵，∴，∴或，∴或（舍），故.【小问2详解】由，得，即，∴，∵，∴，故，∵，∴，即，故，∴，即，故，，∴为等腰直角三角形，∵，∴.17.如图，在矩形中，为中点，在边上，且，将沿翻折至，得到五棱锥为中点.（1）求证：平面：（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）如图，取中点，连接，然后通过证明平面平面，进而证明平面；（2）取中点，连接，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.【小问1详解】证明：如图，取中点，连接，因为在矩形中，，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又，所以，因为平面，所以平面，在中，分别为的中点，所以，因为平面，所以平面，因为平面平面，所以平面平面，又平面，所以平面；【小问2详解】取中点，连接，如图所示，因为在矩形中，，所以在中，，且，因为平面平面，且平面平面，所以平面，以为坐标原点，所在直线为轴，并过点分别作与平行直线为轴，与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意可得：，所以，设平面的法向量为，有，所以，取，得平面的一个法向量为又，设直线与平面所成角的，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.18.已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，过的直线交于两点.（1）求抛物线的方程：（2）求证：抛物线在两点处的切线互相垂直；（3）设为线段的中点，以线段为直径的圆交抛物线在处的切线于点，试判断是否为定值，并证明你的结论.【答案】（1）（2）证明见解析（3）为定值，证明见解析【解析】【分析】（1）根据抛物线和椭圆焦点坐标的求法列出方程求解；（2）设直线的方程和，然与抛物线联立，韦达定理，得出.然后求二次函数的导数，把切线的斜率表示出来即可得出答案；（3）得出两条切线方程，然后结合题意和几何性质将需要求解的代数式表达出来，即可得出结论.【小问1详解】易知，抛物线开口向上，且焦点坐标为，所以椭圆的焦点也在轴上，则由，解得：，所以抛物线的方程为.【小问2详解】因为直线与抛物线有两个交点，所以其斜率必存在，设直线的方程为由，则对求导得，设抛物线在两点处的切线斜率分别为，则，即抛物线在两点处的切线互相垂直.【小问3详解】解法1：由（2）可知即，则与轴的交点坐标为，于是于是，所以为定值.解法2：设抛物线在两点的切线，切线交点为，故，联立解得点坐标为，由（2）知点坐标为，且，所以，故，即，因为，所以，即，故在中，，所以，即，所以为定值.解法3：因为，故，又，所以，，即，由（2）知，所以，故，即，所以为定值.19.定义在同一数集上的函数，按一定顺序排成一列，称为数集上的函数列，记为的导函数为.（1）若满足，证明：为等比数列：（2）定义在上的函数列满足，且.①若，设，证明：：②若，证明：.【答案】（1）证明见解析（2）①证明见解析；②证明见解析【解析】