安徽省长丰县高中数学 第一章 统计案例 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用（2）教学设计 新人教A版选修1-2

安徽省长丰县高中数学第一章统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用（2）教学设计新人教A版选修1-2科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）安徽省长丰县高中数学第一章统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用（2）教学设计新人教A版选修1-2教学内容新人教A版选修1-2《安徽省长丰县高中数学》第一章“统计案例”中的1.1节“回归分析的基本思想及其初步应用（2）”。本节课主要内容包括：1.线性回归模型的基本概念；2.线性回归模型的估计方法；3.线性回归模型的检验方法；4.应用线性回归模型解决实际问题。通过本节课的学习，学生能够掌握线性回归分析的基本思想及其应用。核心素养目标1.培养学生运用数学模型解决实际问题的能力。

2.增强学生对数据分析和统计推断的直观理解。

3.提升学生运用数学语言表达和交流的能力。

4.培养学生严谨的数学思维和科学探究精神。重点难点及解决办法重点：

1.线性回归模型的基本概念与建立。

2.利用最小二乘法估计回归模型的参数。

难点：

1.理解线性回归模型中自变量与因变量之间的关系。

2.正确进行线性回归模型的假设检验。

解决办法：

1.通过实例分析，引导学生理解线性回归的基本思想。

2.结合具体数据，让学生动手计算最小二乘估计，加深理解。

3.利用图表展示回归模型的拟合效果，帮助学生直观理解自变量与因变量的关系。

4.通过实际案例分析，引导学生掌握线性回归模型的假设检验方法，并能够应用检验结果。教学资源1.软硬件资源：计算机、投影仪、电子白板、统计软件（如SPSS、Excel等）。

2.课程平台：学校内部网络教学平台、在线教育平台（如中国大学MOOC等）。

3.信息化资源：线性回归相关教学视频、在线测试题库、统计案例数据库。

4.教学手段：多媒体课件、实物教具（如线性回归模型图卡）、课堂讨论、小组合作学习。教学流程（一）导入新课（用时5分钟）

1.回顾上一节课的内容，提问学生：“我们学习了哪些统计方法？它们在解决实际问题中有哪些应用？”

2.展示一个与生活相关的统计问题，如房价与面积的关系，引导学生思考如何用数学方法来描述这种关系。

3.提出本节课的学习目标：“今天我们将学习线性回归分析的基本思想及其初步应用，并尝试解决实际问题。”

（二）新课讲授（用时15分钟）

1.解释线性回归模型的基本概念，如因变量、自变量、回归系数等。

2.通过实例演示如何根据数据建立线性回归模型，包括收集数据、绘制散点图、计算回归系数等步骤。

3.讲解最小二乘法估计回归模型参数的原理，并举例说明如何使用最小二乘法进行参数估计。

（三）实践活动（用时15分钟）

1.分组让学生收集一组实际数据，如某城市居民收入与消费支出数据。

2.指导学生根据收集到的数据绘制散点图，并尝试找出变量之间的关系。

3.引导学生使用统计软件（如Excel、SPSS等）进行线性回归分析，得出回归方程，并计算相关系数和调整后的R²值。

（四）学生小组讨论（用时10分钟）

1.讨论如何根据回归方程预测新的数据点，举例说明如何应用回归方程进行预测。

2.分析回归模型的假设条件，讨论当数据不符合这些假设时可能产生的问题。

3.探讨如何对回归模型进行检验，以及如何解释检验结果。

（五）总结回顾（用时5分钟）

1.回顾本节课学习的内容，强调线性回归分析的基本思想及其应用。

2.总结线性回归模型建立和检验的步骤，并举例说明。

3.强调本节课的重点和难点，如线性回归模型的假设条件、最小二乘法的原理等。

整个教学流程用时约45分钟，具体安排如下：

1.导入新课：5分钟

2.新课讲授：

-解释基本概念：5分钟

-演示线性回归模型建立：5分钟

-讲解最小二乘法：5分钟

3.实践活动：

-数据收集与散点图绘制：5分钟

-线性回归分析：5分钟

-回归方程预测与应用：5分钟

4.学生小组讨论：10分钟

5.总结回顾：5分钟学生学习效果1.**理解和掌握线性回归分析的基本概念**：学生能够清晰地理解线性回归分析的定义、目的和适用范围，能够区分自变量和因变量，以及回归系数等基本概念。

2.**应用最小二乘法进行参数估计**：学生学会了如何使用最小二乘法来估计线性回归模型的参数，能够独立计算回归系数和截距，并能够解释这些参数的实际意义。

3.**分析和解释回归模型**：学生能够分析回归模型的拟合效果，通过计算相关系数和调整后的R²值来评估模型的解释力，并能够解释这些统计量的含义。

4.**解决实际问题**：学生能够将线性回归分析应用于实际问题中，如预测房价、分析消费行为等，通过收集数据、建立模型、进行预测和解释结果，提高了解决实际问题的能力。

5.**提高数据处理能力**：学生在本节课中学习了如何使用统计软件（如Excel、SPSS等）进行数据处理和分析，提高了数据处理和统计分析的技能。

6.**培养科学探究精神**：通过实践活动，学生学会了如何提出假设、设计实验、收集数据、分析结果和得出结论，培养了科学探究的精神。

7.**增强数学建模能力**：学生通过线性回归分析的学习，增强了数学建模的能力，能够将实际问题转化为数学模型，并利用数学工具进行求解。

8.**提升团队合作能力**：在小组讨论和实践活动环节，学生学会了与他人合作，共同解决问题，提升了团队合作和沟通能力。

9.**增强逻辑思维能力**：线性回归分析的学习过程要求学生具备一定的逻辑思维能力，学生通过学习能够更好地进行逻辑推理和论证。

10.**提高自主学习能力**：学生在本节课中不仅学习了教师讲授的知识，还通过查阅资料、讨论和实践活动，提高了自主学习的能力。板书设计①线性回归分析基本概念

-因变量与自变量

-回归方程

-回归系数

-截距

②最小二乘法

-最小化误差平方和

-回归系数估计

-最小二乘法公式

③模型检验

-相关系数（r）

-调整后的R²值

-假设检验（t检验、F检验）

-模型拟合优度评估典型例题讲解例题1：

已知某地区某月份的气温（X）与用电量（Y）的观测数据如下：

|气温（X）|用电量（Y）|

|----------|-----------|

|20|300|

|25|350|

|30|400|

|35|450|

|40|500|

要求建立气温与用电量的线性回归模型，并预测当气温为32℃时的用电量。

解答：

1.计算气温和用电量的均值：

-$\overline{X}=\frac{20+25+30+35+40}{5}=30$

-$\overline{Y}=\frac{300+350+400+450+500}{5}=400$

2.使用最小二乘法计算回归系数：

-$b=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{X})(y_i-\overline{Y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{X})^2}$

-$a=\overline{Y}-b\overline{X}$

3.计算得到回归方程：

-$y=ax+b$

例题2：

某城市一年的平均气温（X）与居民平均年消费支出（Y）的观测数据如下：

|平均气温（X）|平均年消费支出（Y）|

|--------------|-------------------|

|15|3000|

|16|3200|

|17|3400|

|18|3600|

|19|3800|

要求建立平均气温与居民平均年消费支出的线性回归模型，并预测当平均气温为18℃时的居民平均年消费支出。

解答：

1.计算平均气温和居民平均年消费支出的均值：

-$\overline{X}=\frac{15+16+17+18+19}{5}=17$

-$\overline{Y}=\frac{3000+3200+3400+3600+3800}{5}=3400$

2.使用最小二乘法计算回归系数：

-$b=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{X})(y_i-\overline{Y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{X})^2}$

-$a=\overline{Y}-b\overline{X}$

3.计算得到回归方程：

-$y=ax+b$

例题3：

某地区某年的降雨量（X）与农作物产量（Y）的观测数据如下：

|降雨量（X）|农作物产量（Y）|

|------------|----------------|

|200|1500|

|250|1800|

|300|2100|

|350|2400|

|400|2700|

要求建立降雨量与农作物产量的线性回归模型，并预测当降雨量为300mm时的农作物产量。

解答：

1.计算降雨量和农作物产量的均值：

-$\overline{X}=\frac{200+250+300+350+400}{5}=300$

-$\overline{Y}=\frac{1500+1800+2100+2400+2700}{5}=2100$

2.使用最小二乘法计算回归系数：

-$b=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{X})(y_i-\overline{Y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{X})^2}$

-$a=\overline{Y}-b\overline{X}$

3.计算得到回归方程：

-$y=ax+b$

例题4：

某城市一年的平均温度（X）与居民的平均出行次数（Y）的观测数据如下：

|平均温度（X）|平均出行次数（Y）|

|--------------|------------------|

|15|80|

|16|85|

|17|90|

|18|95|

|19|100|

要求建立平均温度与居民平均出行次数的线性回归模型，并预测当平均温度为17℃时的居民平均出行次数。

解答：

1.计算平均温度和居民平均出行次数的均值：

-$\overline{X}=\frac{15+16+17+18+19}{5}=17$

-$\overline{Y}=\frac{80+85+90+95+100}{5}=90$

2.使用最小二乘法计算回归系数：

-$b=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{X})(y_i-\overline{Y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{X})^2}$

-$a=\overline{Y}-b\overline{X}$

3.计算得到回归方程：

-$y=ax+b$

例题5：

某地区一年的平均湿度（X）与居民的平均健康指数（Y）的观测数据如下：

|平均湿度（X）|平均健康指数（Y）|

|--------------|------------------|

|30|85|

|40|88|

|50|90|

|60|92|

|70|95|

要求建立平均湿度与居民平均健康指数的线性回归模型，并预测当平均湿度为50%时的居民平均健康指数。

解答：

1.计算平均湿度和居民平均健康指数的均值：

-$\overline{X}=\frac{30+40+50+60+70}{5}=50$

-$\overline{Y}=\frac{85+88+90+92+95}{5}=90$

2.使用最小二乘法计算回归系数：

-$b=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{X})(y_i-\overline{Y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{X})^2}$

-$a=\overline{Y}-b\overline{X}$

3.计算得到回归方程：

-$y=ax+b$教学反思与改进教学反思是一种重要的教学活动，它帮助我不断审视自己的教学实践，发现不足，从而改进教学方法，提高教学效果。以下是我对本次线性回归分析教学的反思与改进计划。

1.设计反思活动

-**课后学生反馈**：我会收集学生对本次课程的反馈，了解他们对课程内容的理解程度、学习兴趣以及遇到的困难。

-**课堂观察记录**：在课堂上，我会注意观察学生的参与度、互动情况以及解决问题的能力，记录下他们的表现。

-**作业分析**：通过分析学生的作业，我可以了解他们对知识点的掌握情况，以及是否能够将所学知识应用到实际问题中。

2.制定改进措施

-**加强基础知识讲解**：部分学生在理解线性回归的基本概念和最小二乘法时存在困难，我计划在未来的教学中，通过更详细的例子和图示来加强基础知识的教学。

-**实践环节优化**：在实践活动环节，我发现部分学生对于如何收集数据、处理数据感到困惑。我计划提供更具体的指导，包括数据收集的方法、数据处理的步骤等。

-**增加互动环节**：为了提高学生的参与度，我计划在课堂上增加更多的互动环节，如小组讨论、问题解答等，让学生在讨论中学习，在互动中提高。

-**个性化辅导**：针对学生在学习过程中遇到的个别问题，我计划提供个性化的辅导，帮助他们克服学习障碍。

-**反馈及时性**：为了让学生及时了解自己的学习情况，我计划在课后及时反馈学生的作业和课堂表现，并给出具体的改进建议。

3.计划在未来的教学中实施

-**课前准备**：在课前，我会精心准备教学内容，包括制作更直观的课件、设计更实用的案例等。

-**课堂实施**：在课堂上，我会根据学生的反馈和观察结果，灵活调整教学策略，确保教学内容的连贯性和有效性。

-**课后跟进**：课后，我会及时跟进学生的学习情况，通过辅导、答疑等方式帮助学生巩固所学知识。

-**持续评估**：我会定期对教学效果进行评估，并根据评估结果不断调整和改进教学方法。作业布置与反馈作业布置：

1.**练习题**：请学生完成以下线性回归分析练习题，以巩固课堂所学知识。

-题目1：根据以下数据，建立线性回归模型，并预测当X=6时的Y值。

|X|Y|

|---|---|

|1|2|

|2|4|

|3|6|

|4|8|

|5|10|

-题目2：某城市近五年的平均降雨量（X）与农作物产量（Y）如下表所示，请建立线性回归模型，并预测当降雨量为500mm时的农作物产量。

|年份|平均降雨量（X）|农作物产量（Y）|

|------|----------------|----------------|

|2016|300|1000|

|2017|320|1100|

|2018|350|1200|

|2019|380