山西省平遥县高中数学 第三章 函数的应用 3.2 函数模型及其应用（1）教学设计 新人教A版必修1

山西省平遥县高中数学第三章函数的应用3.2函数模型及其应用（1）教学设计新人教A版必修1授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间设计意图嘿，亲爱的同学们，今天我们要一起探索函数模型及其应用。这节课，我们要用数学的眼睛去观察生活，用数学的语言去描述世界。我们要学会如何从实际问题中抽象出函数模型，然后运用所学知识解决实际问题。这不仅仅是为了考试，更是为了让我们在未来的生活中，用数学的思维去思考问题，解决问题。准备好了吗？让我们一起走进数学的世界，发现函数的奥秘吧！🌟📚💡核心素养目标培养学生运用数学语言描述现实问题的能力，提升抽象思维和逻辑推理水平；增强数据分析意识，学会从数据中提取信息，构建函数模型；培养数学建模的实践能力，学会将实际问题转化为数学问题，解决实际问题。学情分析进入高中阶段，学生们已经具备了一定的数学基础，对函数概念有一定的理解。但在本章节的学习中，我们发现学生们的层次存在差异。部分学生能够熟练掌握函数的基本性质，但对函数模型的应用理解不够深入；而另一部分学生则对函数的基本概念都较为生疏。在知识方面，学生们对函数图像的识别和函数性质的分析能力相对较强，但在构建函数模型和解决实际问题方面，能力有所欠缺。

在能力方面，学生的抽象思维能力逐步提高，但部分学生在面对复杂问题时，容易陷入思维定势，缺乏创新意识。此外，学生的数学应用能力也有待加强，他们在将实际问题转化为数学模型时，往往缺乏有效的策略。

在素质方面，学生的学习习惯和自主学习能力参差不齐。部分学生具备良好的学习习惯，能够主动探究问题，而部分学生则依赖教师讲解，缺乏自主学习能力。这些因素对课程学习产生了一定的影响，使得部分学生在面对函数模型及其应用时感到困惑。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有本节课所需的教材或学习资料，特别是新人教A版必修1中的第三章“函数的应用”。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源，如函数图像的动态展示，以及实际应用案例的视频。

3.教学工具：准备计算器或电脑软件，以辅助学生进行函数模型的计算和图形展示。

4.教室布置：根据教学需要，布置教室环境，包括分组讨论区，以便学生进行小组合作学习，以及实验操作台，用于辅助教学演示。教学流程一、导入新课（用时5分钟）

同学们，我们之前学习了函数的基本性质，今天我们要进一步探讨函数在实际生活中的应用。请大家回顾一下，你们能想到哪些生活中的现象可以用函数来描述呢？比如，我们熟悉的气温变化、商品价格随时间的变化等。现在，让我们开启今天的学习之旅，探索函数模型及其应用。

二、新课讲授（用时15分钟）

1.函数模型的概念介绍

-解释函数模型的概念，通过实例展示如何从实际问题中抽象出函数模型。

-举例说明，如：某商品的价格y与购买数量x之间的关系，可以用一次函数y=kx+b来描述。

2.函数模型的应用举例

-讲解如何利用函数模型解决实际问题。

-举例：某城市人口随时间变化的趋势，可以用指数函数来描述。

3.函数模型的构建方法

-介绍构建函数模型的基本步骤。

-举例：如何根据实际数据，通过观察和拟合，确定函数模型的形式。

三、实践活动（用时10分钟）

1.学生独立完成一个简单的函数模型构建任务。

-提供一组数据，要求学生根据数据构建相应的函数模型。

2.小组合作，共同解决一个实际问题。

-分组讨论，每个小组选择一个实际问题，如交通流量、房价等，并尝试构建相应的函数模型。

3.学生展示和分享他们的函数模型。

-各小组展示他们的模型，其他同学和老师进行点评和讨论。

四、学生小组讨论（用时10分钟）

1.学生回答如何从实际问题中提取关键信息。

-举例：在研究气温变化时，如何从历史数据中提取温度和时间的信息。

2.学生讨论如何选择合适的函数模型。

-举例：在研究人口增长时，如何判断是使用指数函数还是对数函数。

3.学生分享他们构建函数模型时的困难与解决方法。

-举例：在构建房价与面积关系的函数模型时，如何处理数据中的异常值。

五、总结回顾（用时5分钟）

同学们，今天我们学习了函数模型及其应用。我们了解到，函数模型可以帮助我们更好地理解现实世界中的各种现象。在构建函数模型时，我们要注意以下几点：

-从实际问题中提取关键信息。

-根据数据选择合适的函数模型。

-注意数据分析和处理中的细节。拓展与延伸1.《数学建模与数学应用》

-介绍数学建模的基本原理和方法，以及数学在各个领域的应用案例，帮助学生了解数学模型在实际问题解决中的作用。

2.《函数模型在现代生活中的应用》

-探讨函数模型在经济学、生物学、物理学等领域的应用，通过具体的案例，让学生认识到函数模型在科学研究中的重要性。

3.《数学建模竞赛指南》

-为对数学建模感兴趣的学生提供竞赛相关的指导和练习题，激发学生的兴趣，提高他们的数学建模能力。

二、鼓励学生进行课后自主学习和探究

1.学生可以尝试使用不同的函数模型来解决同一实际问题，比较不同模型的特点和适用范围。

-例如，对于人口增长问题，可以比较指数函数和对数函数在描述人口增长趋势时的差异。

2.鼓励学生查找并分析现实生活中的函数模型实例，如股票价格、房价、能源消耗等，理解这些模型背后的数学原理。

-例如，学生可以研究房价与地区、面积、交通便利程度等因素之间的关系，尝试构建相应的函数模型。

3.学生可以尝试将所学知识应用于解决日常生活中的问题，如制定预算、规划旅行路线等，提高数学应用能力。

-例如，学生可以学习如何使用线性规划来优化旅行路线，最小化旅行成本和时间。

4.鼓励学生参与数学建模竞赛或项目，通过实际操作来提升数学建模和问题解决能力。

-例如，学生可以参加学校或社区组织的数学建模竞赛，或者参与学校的科研项目，将所学知识应用于实际问题。

5.学生可以阅读相关的数学书籍或文章，拓宽知识面，提高对数学模型的认识。

-例如，阅读《数学之美》等书籍，了解数学在不同学科中的应用和美学价值。教学反思与总结这节课，我们探讨了函数模型及其应用，看到同学们在课堂上积极思考、踊跃发言，我感到非常欣慰。但同时，我也在反思教学过程中的得失，总结一下：

首先，在教学方法上，我尝试了多种方式来激发学生的学习兴趣。比如，通过生活中的实例引入课题，让学生感受到数学与生活的紧密联系。我发现，这种教学方法能够让学生更容易接受新知识，提高了他们的学习积极性。

然而，我也发现，在讲解函数模型构建方法时，部分学生显得有些吃力。这说明我在讲解过程中可能过于注重理论，而忽视了实际操作。今后，我会更加注重理论与实践相结合，让学生在实际操作中掌握知识。

在策略方面，我采用了分组讨论的方式，让学生在合作中学习。这种策略取得了不错的效果，同学们在讨论中互相启发，共同进步。但我也发现，部分学生在这个环节中表现出一定的依赖性，缺乏独立思考的能力。因此，我会在今后的教学中，引导学生学会独立思考，培养他们的自主学习能力。

在教学管理上，我努力营造一个轻松、愉快的学习氛围。但在实际操作中，我发现自己在课堂管理上还有待提高。有时候，课堂纪律不够严谨，影响了教学效果。今后，我会加强对课堂纪律的管理，确保教学秩序。

当然，教学中也存在一些问题和不足。例如，部分学生对函数模型构建方法掌握不够扎实，课堂纪律有时不够理想。针对这些问题，我提出以下改进措施和建议：

1.在今后的教学中，我将更加注重理论与实践相结合，通过实际操作让学生更好地掌握知识。

2.加强课堂管理，确保教学秩序，为学生的学习创造一个良好的环境。

3.针对不同层次的学生，采取差异化的教学方法，关注每一个学生的学习需求。

4.鼓励学生积极参与课堂讨论，培养他们的自主学习能力和团队协作精神。重点题型整理1.题型一：根据实际问题构建函数模型

-问题：某城市的空气质量指数（AQI）随时间的变化可以用一个二次函数来描述，已知某时刻AQI为100，且24小时后AQI为50。求该城市的空气质量指数随时间变化的函数模型。

-解答：设空气质量指数随时间变化的函数为y=ax^2+bx+c。根据已知条件，可以列出方程组：

100=a*0^2+b*0+c

50=a*24^2+b*24+c

解这个方程组，得到函数模型y=ax^2+bx+c的具体形式。

2.题型二：利用函数模型预测未来值

-问题：某商品的售价y与广告费用x之间存在线性关系，已知当广告费用为1000元时，售价为5000元。若广告费用增加2000元，预测商品的售价。

-解答：根据题意，售价y与广告费用x之间的关系可以用线性函数y=kx+b来描述。根据已知条件，可以列出方程：

5000=1000k+b

当广告费用增加2000元，即x=3000时，代入方程计算y的值，得到新的售价。

3.题型三：分析函数模型的性质

-问题：已知函数模型y=2x^3-3x^2+4，求该函数的极值点，并分析函数的增减性。

-解答：首先，求函数的一阶导数y'=6x^2-6x，令y'=0，解得x=0和x=1。然后，求二阶导数y''=12x-6，代入x=0和x=1，得到y''(0)=6>0，y''(1)=-6<0。因此，x=0是函数的极大值点，x=1是函数的极小值点。通过一阶导数的符号变化，可以分析函数的增减性。

4.题型四：函数模型的应用问题

-问题：某城市每年的绿化面积S（单位：公顷）与投资金额A（单位：万元）之间存在以下关系：S=2A+1/A。若要使绿化面积增加20%，需要投资多少万元？

-解答：要使绿化面积增加20%，即S的新值是原值的120%，设新的投资金额为A'，则有：

1.2(2A+1/A)=2A'+1/A'

解这个方程，得到A'的值，即需要的投资金额。

5.题型五：函数模型的选择与验证

-问题：某企业生产一种产品，成本函数