浙江专用备战2025年高考数学考点一遍过考点09函数模型及其应用含解析

PAGEPAGE1考点09函数模型及其应用1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的改变特征.

2．能将一些简洁的实际问题转化为相应的函数问题，并赐予解决..一、常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型(为常数，)反比例函数模型(为常数且)二次函数模型（均为常数，）指数函数模型（均为常数，，，）对数函数模型（为常数，）幂函数模型（为常数，）二、几类函数模型的增长差异函数性质在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度先慢后快，指数爆炸先快后慢，增长平缓介于指数函数与对数函数之间,相对平稳图象的改变随x的增大，图象与轴接近平行随x的增大，图象与轴接近平行随n值改变而各有不同值的比较存在一个，当时，有三、函数模型的应用解函数应用题的一般步骤，可分以下四步进行：（1）细致审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；（2）建立模型：将文字语言转化为数学语言，利用数学学问，建立相应的数学模型；（3）求解模型：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原解答：将利用数学学问和方法得出的结论，还原到实际问题中.用框图表示如下：考向一二次函数模型的应用在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位.依据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.典例1依据调查，某地区有300万从事传统农业的农夫，人均年收入6000元，为了增加农夫的收入，当地政府主动引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时汲取当地部分农夫进入加工企业工作.据估计，假如有x(x>0)万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农夫的人均年收入有望提高x%，而进入企业工作的农夫的人均年收入为6000a(1≤a≤3)元．（1）在建立加工企业后，多少农夫进入企业工作，能够使剩下从事传统农业农夫的总收入最大，并求出最大值；（2）为了保证传统农业的顺当进行，限制农夫进入加工企业的人数不能超过总人数的，当地政府如何引导农夫，即x取何值时，能使300万农夫的年总收入最大．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）由题意，假如有x(x>0)万人进入企业工作，设从事传统农业的全部农夫的总收入为y万元，则y=6000(1+x%)(300-x)=-60(x则图象的对称轴为x=100，抛物线开口向下，即当x=100时，y取得最大值为y=2400000(万元)．即由100万人进入企业工作，能够使剩下从事传统农业的全部农夫的总收入最大，最大为2400000万元．（2）设300万农夫的总收入为f(x)，0<x≤200，则f(x)=-60(x易知图象的对称轴为x=50(2+a)=100+50a，①当1≤a<2时，100+50a<200，当x=100+50a时，f(x)取得最大值；②当2≤a≤3时，100+50a≥200，当x=200时，f(x)取得最大值．综上，当1≤a<2时，x=100+50a，能使300万农夫的年总收入最大；当2≤a≤3时，x=200，能使300万农夫的年总收入最大.1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快削减库存，商场确定实行适当的降价措施．经调查发觉每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫要降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？考向二指数函数、对数函数模型的应用（1）在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式.求解时可利用指数运算与对数运算的关系.（2）已知对数函数模型解题是常见题型，精确进行对数运算及指数与对数的互化即可.典例2一片森林原来面积为a,安排每年砍伐一些树,且使森林面积每年比上一年削减p%,10年后森林面积变为.为爱护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林面积为.（1）求p%的值;（2）到今年为止,该森林已砍伐了多少年?（3）今后最多还能砍伐多少年?【解析】（1）由题意得,即,解得

.（2）设经过m年，森林面积变为,则,即，解得m=5,故到今年为止,已砍伐了5年.（3）设从今年起先,以后还可砍伐n年,则n年后的森林面积为,令,即,,,解得n≤15,故今后最多还能砍伐15年.典例3某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量与时间之间的关系为．已知后消退了的污染物，试求：（1）后还剩百分之几的污染物．（2）污染物削减所须要的时间．（参考数据：，，）【解析】（1）由，可知时，，当时，，所以，当时，，所以个小时后还剩的污染物．（2）当时，有，解得，所以污染物削减所须要的时间为个小时．2．盐化某厂确定采纳以下方式对某块盐池进行开采：每天开采的量比上一天削减，10天后总量变为原来的一半，为了维持生态平衡，剩余总量至少要保留原来的，已知到今日为止，剩余的总量是原来的．（1）求的值；（2）到今日为止，工厂已经开采了几天？（3）今后最多还能再开采多少天？考向三分段函数模型的应用（1）在现实生活中，许多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．（2）分段函数主要是每一段上自变量改变所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要留意各段变量的范围，特殊是端点．（3）构造分段函数时，要力求精确、简洁，做到分段合理，不重不漏．典例4某公司利用APP线上、实体店线下销售产品A，产品A在上市20天内全部售完.据统计，线上日销售量ft、线下日销售量gt（单位：件）与上市时间tt∈ N*天的关系满意：ft=     （1）设该公司产品A的日销售利润为F(t)，写出F(t)的函数解析式；（2）产品A上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？【解析】（1）由题意可得：当1≤t≤10时，日销售量为10t+-t2+20t=-当10<t≤15时，日销售量为-10t+200+-t2+20t=-当15<t≤20时，日销售量为-10t+200+-t2+20t=-综上可得：F(t)=（2）当1≤t≤10时，由40(-t2+30t)≥5000当10<t≤15时，由40(-t2+10t+200)≥5000当15<t≤20时，20(-t故第5天至第15天给该公司带来的日销售利润不低于5000元.3．经过市场调查，某种商品在销售中有如下关系:第x(1≤x≤30,x∈N+)天的销售价格(单位:元/件)为f(x)=第x天的销售量(单位:件)为(a为常数),且在第20天该商品的销售收入为1200元(销售收入=销售价格×销售量).（1）求a的值,并求第15天该商品的销售收入;（2）求在这30天中,该商品日销售收入y的最大值.考向四函数模型的比较依据几组数据，从所给的几种函数模型中选择较好的函数模型时，通常是先依据所给的数据确定各个函数模型中的各个参数，即确定解析式，然后再分别验证、估计，选出较好的函数模型.典例5某工厂第一季度某产品月生产量依次为10万件，12万件，13万件，为了预料以后每个月的产量，以这3个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量（单位：万件）与月份的关系.模拟函数；模拟函数.（1）已知4月份的产量为13.7万件，问选用哪个函数作为模拟函数较好？（2）受工厂设备的影响，全年的每月产量都不超过15万件，请选用合适的模拟函数预料6月份的产量.【解析】（1）若用模拟函数1：，则有，解得，即，当时，．若用模拟函数2：，则有，解得，即，当时，．所以选用模拟函数1较好．（2）因为模拟函数1：是单调增函数，所以当时，生产量远大于他的最高限量；模拟函数2：也是单调增函数，但生产量，所以不会超过15万件，所以应当选用模拟函数2：好．当时，，所以预料6月份的产量为万件.4．某创业投资公司拟开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资利益，现打算制定一个对科研课题组的嘉奖方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过收益的20%．（1）请分析函数是否符合公司要求的嘉奖函数模型，并说明缘由．（2）若该公司采纳函数模型作为嘉奖函数模型，试确定最小正整数a的值．1．某学校开展探讨性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：x1.992.845.18y0.991.582.012.353.00现有如下4个模拟函数：①y=0.6x-0.2；②y=x2-55x+8；③y=log2x；④y=2x-3.02．请从中选择一个模拟函数，使它比较近似地反映这些数据的规律，应选A．① B．②C．③ D．④2．已知三个变量随变量改变的数据如下表：则反映随改变状况拟合较好的一组函数模型是A． B．C． D．3．国家相继出台多项政策限制房地产行业，现在规定房地产行业收入税如下：年收入在280万元及以下的税率为；超过280万元的部分按征税．现有一家公司的实际缴税比例为，则该公司的年收入是A．万元 B．万元C．万元 D．万元4．某高校为提升科研实力，安排逐年加大科研经费投入.若该高校2024年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该高校全年投入的科研经费起先超过2000万元的年份是(参考数据：，，)A．2024年 B．2024年C．2024年 D．2024年5．一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有的质量发生衰变,剩余质量为原来的.若该物质余下质量不超过原有的，则至少须要的年数是A． B． C． D．6．生产肯定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），商品的售价是每件20元，为获得最大利润(利润收入成本)，该企业一个月应生产该商品数量为A．万件 B．万件 C．万件 D．万件7．扶贫小组帮助某农户建立一个面积为100m2的矩形养殖区，有一面利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，则最低造价须要打算___________元.8．某种产品的产销量状况如图所示，其中：l1表示产品各年年产量的改变规律；l2表示产品各年的销售量改变（1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产安排进行下去；（2）产品已经出现了供大于求的状况，价格将趋跌；（3）产品的库存积压将越来越严峻，应压缩产量或扩大销售量；（4）产品的产、销状况均以肯定的年增长率递增.你认为较合理的是

（把你认为合理结论的序号都填上）.9．美国对中国芯片的技术封锁，这却激发了中国“芯”的探讨热潮.某公司研发的A，B两种芯片都已经获得胜利.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在打算投入资金进行生产.经市场调查与预料，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系为y=kxa(x>0)（1）试分别求诞生产A，B两种芯片的毛收入y（千万元）与投入资金x（千万元）的函数关系式；（2）假如公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大？（3）现在公司打算投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入x千万元生产B芯片，用f(x)表示公司所得的利润，当x为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润.（利润=A芯片毛收入+B芯片毛收入-研发耗费资金）10．某电动小汽车生产企业，年利润（出厂价投入成本）年销售量.已知上年度生产电动小汽车的投入成本为万元/辆，出厂价为万/辆，年销售量为辆，本年度为打造绿色环保电动小汽车，提高产品档次，安排增加投入成本，若每辆电动小汽车投入成本增加的比例为（），则出厂价相应提高的比例为.同时年销售量增加的比例为.（1）写出本年度预料的年利润（万元）与投入成本增加的比例的函数关系式；（2）为了使本年度的年利润最大，每辆车投入成本增加的比例应为多少？最大年利润是多少？11．在热学中,物体在常温下的温度改变可以用牛顿冷却定律来描述,假如物体的初始温度是T0,经过肯定时间t后,温度T将满意T-Ta=12th(T0-Ta)12．习总书记在十九大报告中，提出新时代坚持和发展中国特色社会主义的基本方略，包括“坚持人与自然和谐共生，加快生态文明体制改革，建设漂亮中国”.目前我国一些高耗能低效产业（煤炭、钢铁、有色金属、炼化等）的产能过剩，将严峻影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务.十九大后，某行业安排从2024年起先，每年的产能比上一年削减的百分比为.（1）设年后（2024年记为第1年）年产能为2024年的倍，请用表示;（2）若，则至少要到哪一年才能使年产能不超过2024的25%？参考数据：,.13．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元~1600万元的投资收益，现打算制定一个对科研课题组的嘉奖方案：奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．(即：设嘉奖方案函数模型为y=f(x)时，则公司对函数模型的基本要求是：当x∈[25，1600]时，①f(x)是增函数;②f(x)75恒成立;③恒成立．（1）推断函数是否符合公司嘉奖方案函数模型的要求，并说明理由;（2）已知函数符合公司嘉奖方案函数模型要求，求实数a的取值范围．1．（2024四川文科）某公司为激励创新，安排逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发资金起先超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2024年 B．2024年C．2024年 D．2024年2．（2015四川文科）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满意函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）.若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是A．16小时 B．20小时C．24小时 D．28小时3．（2014湖南理科）某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为，其次年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为A．B．C．D．4．（2024浙江）已知，函数在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是__________.5．（2024年高考北京文、理数）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付胜利后，李明会得到支付款的80%．①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，须要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．变式拓展变式拓展1．【答案】（1）每件衬衫要降价20元；（2）每件衬衫降价15元时每天盈利最多．【解析】设每件衬衫降价x元，每天获利y元，则每件盈利元，每天销量为件．∴．（1）由，得或.因为要尽快削减库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越多，故每件衬衫应降价20元．答：每件衬衫要降价20元．（2），∴当时，元．答：每件衬衫降价15元时每天盈利最多．【名师点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型.2．【解析】设总量为，由题意得：（1），解得．（2）设到今日为止，工厂已经开采了天，则，即，解得．（3）设今后最多还能再开采天，则，即，即，得，故今后最多还能再开采25天．3．【答案】（1）a=50，第15天该商品的销售收入为1575元；（2）当x=5时,该商品日销售收入最大,最大值为2025元.【解析】（1）当x=20时,由,解得a=50.从而可得,即第15天该商品的销售收入为1575元.（2）由题意可知y=即y=当1≤x≤10时,.故当x=5时y取最大值,.当10<x≤30时,.故当x=5时,该商品日销售收入最大,最大值为2025元.【名师点睛】（1）许多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就须要构建分段函数模型.（2）求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．4．【解析】（1）对于函数模型，当时,为增函数,,所以fx≤9但当x=10时,f10=1故函数模型y=x（2）对于函数模型,即，当3a+20>0,即a>-20为使gx≤9对于x∈10,1000恒成立,即要g为使gx≤x5对于即x2-48x+15a≥0恒成立,即又24∈10,1000,故只需15a-576≥0,所以a≥综上,a≥9823,故最小的正整数a的值为考点冲关考点冲关1．【答案】C【解析】依据表中数据，画出图象如下：通过图象可以看出，y=log2x能比较近似地反映这些数据的规律．故选C．2．【答案】B【解析】从题表格可以看出，三个变量都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量的增长速度最快，呈指数函数改变，变量的增长速度最慢，呈对数型函数改变，故选B.3．【答案】D【解析】设该公司的年收入为a万元，则280p%+（a﹣280）（p+2）%=a（p+0.25）%，解得a==320．故选D．4．【答案】B【解析】若年是第一年，则第年科研费为，由，可得，得，即年后，到年科研经费超过万元，故选B．5．【答案】B【解析】设原物质的质量为单位1，一年后剩余质量为原来的，两年后变为原来的，依此类推，得到年后质量是原来的，只须要故n取4.故答案为B.【名师点睛】本题主要考查函数模型的选择与应用、增长率的概念、指数函数等基础学问，考查数学建模实力，属于基础题．6．【答案】B【解析】由题意可得，获得最大利润时的收入是万元，成本是，所以此时的利润为，当且仅当时，取最大值.故选B.【名师点睛】本题主要考查函数的应用，依据题意列出函数的表达式，进而可求出结果，属于基础题型.7．【答案】3200【解析】设正面铁栅长为，两侧墙长为，则,于是造价为,则，当且仅当即时取等号,故填.【名师点睛】本题考查利用基本不等式解决实际问题，主要采纳基本不等式求解最小值的方法.8．【答案】（2），（3）【解析】产品产量、销售量均以直线上升，但表示年产量的直线l1斜率大，上升快，l2斜率小，上升慢，所以随着x的增加，两者差距加大，出现了供大于求的状况，库存积压越来越9．【答案】（1），y=x(x>0)；（2）详见解析；（3）x=4千万元时，公司所获利润最大，最大利润9【解析】（1）由已知易得生产A芯片的毛收入为；将(1,1)，(4,2)所以，生产B芯片的毛收入y=x（2）由x4>x由x4=x由x4<x所以，当投入资金大于16千万元时，生产A当投入资金等于16千万元时，生产A、B芯片的毛收入相等；当投入资金小于16千万元时，生产B芯片的毛收入大.（3）公司投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入x千万元生产B芯片，则投入(40-x)千万元资金生产A芯片，公司所获利润f(x)=40-x故当x=2，即x=4千万元时，公司所获利润最大，最大利润为910．【答案】（1）（）；（2），.【解析】（1）由题意，得（），即（）.（2）.∴当时，取得最大值，为，∴每辆车投入成本增加的比例为时，本年度的年利润最大，且最大年利润是万元.11．【答案】25.9【解析】依题意，可令T0=195，T=105，Ta=75，t=20，代入式子得又若T=