语文试题练习题教案学案课件高中数学校本教程系列(一)

高中数学校本教程系列（一）

数学与科学决策

（高一年选用）

课程目标

通过介绍数学在航海、企业决策、国计民生的宏观控制

等方面的应用，使学生感受数学与日常生活及其他学科的联

系，体验数学在解决实际问题中的作用、感受数学的应用价

值，扩展学生的视野，激发学生学习数学的兴趣，促进学生

逐步形成和发展数学应用意识，提高学生的实践能力。

目录

第一讲

线性规划与最优化杨福海------2

第二讲

生活中的数学刘顺林——12

第三讲

让数学帮你理财蔡启明-----19

第四讲

把握或然，你会更聪明江祥荣--------23

第五讲

奇妙数列——数列在生活中的应用陈志强------27

第六讲

顺水推舟，克“敌”致胜……例谈反证法的应用杨瑞华一一34

第七讲

不等式在解决实际问题中的应用卢介成-------41

第一讲线性规划与最优化

厦门六中数学教研组杨福海

第一课时

什么是线性规划方法？

线性规划方法是在第二次世界大战中发展起来的一种重要的数量方法，线性规划

方法是企业进行总产量计划时常用的一种定量方法。线性规划是运筹学的一个最重要

的分支，理论上最完善，实际应用得最广泛。主要用于研究有限资源的最佳分配问题，

即如何对有限的资源作出最佳方式地调配和最有利地使用，以便最充分地发挥资源的

效能去获取最佳的经济效益。由于有成熟的计算机应用软件的支持，采用线性规划模

型安排生产计划，并不是一件困难的事情。在总体计划中，用线性规划模型解决问题

的思路是，在有限的生产资源和市场需求条件约束下，求利润最大的总产量计划。该

方法的最大优点是可以处理多品种问题。

线性规划模型的适用性

线性规划模型用在原材料单一、生产过程稳定不变、分解型生产类型的企业是十

分有效的，如石油化工厂等。对于产品结构简单、工艺路线短、或者零件加工企业，

有较大的应用价值。需要注意的是，对于机电类企业用线性规划模型只适用于作年度

的总生产计划，而不宜用来做月度计划。这主要与工件在设备上的排序有关，计划期

太短，很难安排过来。

三：线性规划模型的结构

企业是一个复杂的系统，要研究它必须将其抽象出来形成模型。如果将系统内部因素

的相互关系和它们活动的规律用数学的形式描述出来，就称之为数学模型。线性规划的模型

决定于它的定义，线性规划的定义是：求一组变量的值，在满足一组约束条件下，求得目标

函数的最优解。

根据这个定义，就可以确定线性规划模型的基本结构。

(1)变量变量又叫未知数，它是实际系统的未知因素，也是决策系统中的可控因素，

一般称为决策变量，常引用英文字母加下标来表示，如Xi，X2,X3,Xmn等。

(2)目标函数将实际系统的目标，用数学形式表现出来，就称为目标函数，线性规划

的目标函数是求系统目标的数值，即极大值，如产值极大值、利润极大值或者极小

值，如成本极小值、费用极小值、损耗极小值等等。

(3)约束条件约束条件是指实现系统目标的限制因素。它涉及到企业内部条件和外部

环境的各个方面，如原材料供应、设备能力、计划指标、产品质量要求和市场销售

状态等等，这些因素都对模型的变量起约束作用，故称其为约束条件。

约束条件的数学表示形式为三种，即N、=、＜«线性规划的变量应为正值，因为变量

在实际问题中所代表的均为实物，所以不能为负。在经济管理中，线性规划使用较多的是下

述儿个方面的问题：

(1)投资问题一确定有限投资额的最优分配，使得收益最大或者见效快。

(2)计划安排问题一确定生产的品种和数量，使得产值或利润最大，如资源配制问题。

(3)任务分配问题一分配不同的工作给各个对象(劳动力或机床)，使产量最多、效率最

高，如生产安排问题。

(4)下料问题一如何下料，使得边角料损失最小。

(5)运输问题一在物资调运过程中，确定最经济的调运方案。

(6)库存问题一如何确定最佳库存量，做到即保证生产又节约资金等等。

2

应用线性规划建立数学模型的三步骤：

(1)明确问题，确定问题，列出约束条件。

(2)收集资料，建立模型。

(3)模型求解(最优解)，进行优化后分析。

其中，最困难的是建立模型，而建立模型的关键是明确问题、确定目标，在建立模型

过程中花时间、花精力最大的是收集资料。

四：运用线性规划模型进行总生产计划时的问题

1、线性规划模型考虑的因素可能不全面，实际中有些情况没有被考虑到，这就

使得线性规划模型过于理想化；

2、实际运用线性规划模型时，虽然一些因素或约束条件被考虑到了，但是由于

这些因素或约束条件不易量化或求得(如进行总生产计划常需考虑到的能源单耗就不

易求得)时，线性规划模型的运用和有效性因而受到了一定的限制；

3、对一些基础管理不善的企业而言，模型中的单位产品资源消耗系数a很难得

到；

4、目标函数中的产为成本系数C实际上是个变量，他随计划的数量结构和品种

结构而变。这些问题给机械行业应用线性规划模型带来许多困难，如处理不好，求得

的结果的可靠性会很低的。

第二课时

数学建模一线性规划模型

一：问题的提出

在生产管理和经营活动中经常提出一类问题，即如何合理地利用有限的人力、物力、财

力等资源，以便得到最好的经济效果。

例1若需在长为4000mm的圆钢上，截出长为698mm和518mm两种毛坯，问怎样截取才能

使残料最少？

初步分析可以先考虑两种“极端”的情况：

(1)全部截出长为698mm的甲件，-共可截出EQF(4000,698)»5件，残料长为510mm。

(2)全部截出长为518mm的乙件，一共可截出EQF(4000,518)»7件，残料长为374mm。

由此可以想到，若将x个甲件和y个乙件搭配起来下料，是否可能使残料减少？把截取条

件数学化地表示出来就是：

698x+518yW4000

x,y都是非负整数

目标是使：z=EQF(698x+518y,4000)(材料利用率)尽可能地接近或等于1。(尽可

能地大)

该问题可用数学模型表示为：

3

目标函数maxz=EQF(698x+518y,4000)

l满足约束条件：698x+518yW4000,(1)

x,y都是非负整数.(2)

例2某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已知生产单位产品所需的设备台

数及A、B两种原料的消耗，如下表所示。

III

设备

128台数

原材料A

4016kg

原材料B

0412kg

该工厂每生产一件产品I可获利2元，每生产一件产品II可获利3元，问应如何安排生

产计划使工厂获利最多？

这问题可以用以下的数学模型来描述：设Xi,X2分别表示在计划期内产品I、II的产量。

因为设备的有效台数为8,这是一个限制产量的条件，所以在确定I、II的产量时，要考

虑不超过设备的有效台数，即可用不等式表示为：

x1+2x2W8.

同理，因原材料A、B的限量，可以得到以下不等式：

4x।W16

4xzW12.

该工厂的目标是在不超过所有资源限量的条件下，如何确定产量XI、Xz以得到最大的利润。

若用z表示利润，这时z=2xi+3X2。综上所述，该计划问题可用数学模型表示为：

目标函数：maxz=2x1+3x2

满足约束条件：Xi+2xzW8

4

4xiW16

4x2W12.

X1,X2>0

该模型的特征是：

（1）有一组决策变量（XI,X2,xn）表示某一方案；这组决策变量的值就代表一个具体

方案。一般这些变量取值是非负的。

（2）存在一定的约束条件，这些约束条件可用一组线性等式（不等式）来表示。

（3）有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性函数（称为目标函数）来表示。按问

题的不同，要求实现目标函数最大化或最小化。

满足以上三个条件的数学模型称为线性规划模型。其一般形式为：

目标函数：max（min）=cixi+c2x2+…+c„x„

auxi+aJ2x2+….+ai3x„2bi

a2）xi+az2X2+,,,.+a23X*2b2

满足约束条件：……

a*x।+a»2X2+•,,,+aMX2b

XI,X2,…，Xn>0

二：问题的解决穷举法

以例1为例介绍穷举法。

先根据（1）求出X所有可能的取值为：0、1、2、3、4、5,再由（1）把相应y的最

大值求出，对应为7、6、5、3、2、0,依此计算住z值如下表：

X012345

y765320

Z90.65%95.15%99.65%91.20%95.70%87.25%

由表可知，在一根圆钢上截取2个甲件和5个乙件，可以得到最高的材料利用率

99.65%。

5

第三课时

线性规划的应用实例

例1某工厂甲、乙两种产品，每件甲产品要耗钢材2kg、煤2kg、产值为120元；每件乙产

品要耗钢材3kg,煤1kg,产值为100元。现钢厂有钢材600kg,煤400kg,试确定甲、乙两

种产品各生产多少件，才能使该厂的总产值最大？

解设甲、乙两种产品的产量分别为Xi、X2,则总产值是Xi、X2的函数

f（Xi，X2）=120X,+100X2

资源的多少是约束条件：

由于钢的限制，应满足2X|+3X2^600；由于煤的限制，应满足2X|+X2*00。

综合上述表达式，得数学模型为

求最大值（目标函数）：f（X,,X2）=120X|+100X2

2XI+3X2«600

2X1+X2<400

Xt>0,X2>0

X|,X2为决策变量，解得X05O件,X20OO件

fmax=（120x150+100x100）7^=280007E

故当甲产品生产150件、乙产品生产100件时，产值最大，为28000元。

例2某工厂在计划期内要安排甲、乙两种产品。这些产品分别需要在A、B、C、D四种不

同设备上加工。按工艺规定，产品甲和乙在各设备上所需加工台数列表于表1-1中。已知设

备在计划期内的有效台时数分别是12、8、16和12（一台设备工作lh称为一台时），该工厂

每生产一件甲产品可得利润20元，每生产一件乙产品可得利润30元。问应如何安排生产计

划，才能得到最多利润？

解1）建立数学模型

设X,>X2分别表示甲、乙产品的产量，则利润是f（X”X2）=20X1+30X2，求最

大值。

设备的有效利用台时为约束条件：

A：2X,+2X2<12

B：X|+2X2<8

6

C：4X1W16

D：4XE2

X,>0,X2>0

2）求解未知数

Xi*、X2<3,但由式⑴、式（2）得X|*、X2<2,所以取XI*、X,<2故

fmax=（20x4+30x2）元=140元

3）结论：在计划期内，安排生产甲产品4件、乙产品2件，可得到最多的利润（140元）。

例3某工厂为维修全厂某类设备制造备件，需由一批5.5m长的相同直径的圆钢截取

3.1m、2.1m、1.2m的胚料。每台设备所需的件数如表1-2所示。用5.5m长的圆钢截取上述

三种规格的零件时，有下列五种截取方法可供选择，如表1—2所示。问当设备总数为100

台时，采取何种方案可使5.5m的圆钢用料最省？

表1-2每台设备所需的件数

规格/m每台设备所需件数

3.11

2.12

1.24

表1-3五种截取方法

方案截取3.1的根数截取2.1的根数截取1.2的根数所剩料头

11100.3

21020

30210.1

40121

50040.7

假设：按第一方案截取的5.5m长的圆钢数为X,

按第二方案截取的5.5m长的圆钢数为X2

按第三方案截取的5.5m长的圆钢数为X3

按第四方案截取的5.5m长的圆钢数为X4

7

按第五方案截取的5.5m长的圆钢数为X5

据此表1-4：

方案3.1m的根数2.1m的根数1.2M的根数

1XiXi0

2X：02发

302X：x3

40X2X

5004X5

因为设备总台数为100台，所以按各方案截取的零件数必须满足下列约束条件：

X1+X2=100

X2+2X3+X4=200

2X2+X3+2X4+4X5=400

X,,X2,X3,X4,X5>0

目标函数为frnin=Xi+X2+X3+X4+X5

通过计算机运算得最优解为X|=0、X2=100>X3=100.X4=0、X5=25,故最优值（最

省方案）为fmin=225根

对于只有两变量的线性规划问题，可以用图解法求最优解，其特点是过程清楚、图形清晰。

例4设有一线性规划问题表达式（包括目标函数、约束条件）如下

fmax=50X,+40X2

Xi+X2<450(1)

2X1+X2<800(2)

X1+3X2W900(3)

X1(X2>0(4)

以Xi，X2为坐标，当式⑴为等式，即XI+X2=450时，在Xi,X2坐标系，它是一条

直线，但式⑴不是等式，而是Xi+XzW«O,即在式（1）表示的约束条件中给定的不仅是在直

线上的所有点，而是在直线X|+X2=450左下部一个广大的区域（包括直线在内的阴影线部

分）,见图1-1,例如X|=0、X2=0,Xi=-5、X2=0,X|=3、X2=-3等等,都是满足式⑴的点。

8

同理，也可以在XI,X2坐标系中画出式(2)、(3)、(4)所决定的4条直线，连同式(1),

共5条直线，如图1-2所示。

由图1-2所示的5条直线所围成的一个凸多边形，就是约束条件给定的区域，其中所

有的点都满足约束条件的要求。实际上，它表示一个由凸多边形内无数多个点所组成的集合,

称为凸集。那么，怎样从无穷多中求出使目标函数值最大的点呢？

图1-1某线性规划问题

图1-2某线性规划问题中的约束条件

解由于目标函数f=50X|+40X2，在f为一定值时也是一条直线，其斜率为-40/50。当

f为不同值时，在X”X2坐标系中实际上是一系列的平行线，则尽管在每一条直线上X”

9

X2取不同的值，f总是某一定值。例如图1-3中的直线I,当X1=0、X2=0时；当X1=4、X2

=-5时40；因此称直线I为f的某一等直线（此处为零）。

中，

八

/=4<M»

图1-3目标函数f的等值线

由于直线I是等直线，而且斜率相等，它们又是一系列平行线，因此只要画出其中任

意的一条线，将它们平移到某个与凸集相交的极限位置，所得的交点就是既满足约束条件（在

凸集范围内），又使f值为最大的现代战争最优解。如下图1-4中的点，X|=350,X2=100,

421500。

（JSO.too）a

同行质点

图1・4某线性规划问题的最优解

10

上面介绍的图解法虽然简单直观，但只有在变量为两个的情况下才能实现；当变量数增

多时，图解法就无法满足了。这时，就要用解析计算的方法一单纯形法来求解。单纯形法的

基本思路是：根据问题的标准型（等价的把不等式改为等式），从可行域中一个基本可行解（顶

点）开始转换到另一个可行解（顶点）。这种过程叫“迭代”，每迭代一次都使目标函数达到最

大值时，问题就得到了最优解。

在实际应用中，即使有了单纯形的解法，仍不能应付复杂情况的求解，如以一个有77

个变量,9个约束条件的线性规划问题为例，用单纯形法进行手工计算约需120工作小时，这

样大的计算量必须借助于计算机来完成（该题用计算机求解仅需12min）«

练习：1.某厂生产甲、乙两种产品，生产甲种产品每件要消耗煤9吨，电力4千瓦，使用

劳动力3个，获利70元；生产乙种产品每件要消耗煤4吨，电力5千瓦，使用劳动力10

个，获利120元。有一个生产日，这个厂可动用的煤是360吨，电力是200千瓦，劳动力是

300个，问应该如何安排甲、乙两种产品的生产，才能使工厂在当日的获利最大，并问该厂

当日的最大获利是多少？（甲20件，乙24件，获利4280元）

2.电视台为某个广告公司特约播放两套片集。其中片集甲播映时间为20分钟，广告时间为

1分钟，收视观众为60万，片集乙播映时间为10分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20

万。广告公司规定每周至少有6分钟广告，而电视分每周只能为该公司提供不多于80分钟

的节目时间。电视台每周应播映两套片集各多少次，才能获得最高的收视率？

3.预测2012年奥运会男子铅球的成绩。

届次成绩（米）届次成绩（米）届次成绩（米）

714.811517.412121.05

814.9551618.572221.35

915.871719.682321.26

1016.0051820.332422.47

1116.201920.542521.70

1417.122021.1826?

4.预测2010年我国进出口总额。

年份进出口总额年份进出口总额年份进出口总额

1981119876.8199319.6

19823.919887.9199424

19834198911.2199528.1

19845199011.5199629

19856199113.5

19866199216.62010?

II

第二讲生活中的数学

厦门六中数学教研组刘顺林

第一课时电冰箱温控器的调节

——如何使电冰箱使用时间更长

中国自从1978年改革开放之后，人民生活水平日益提高，许多家庭都购买了电冰箱等

家用电器。但是也有许多家庭并不了解电冰箱的工作原理，更不了解电冰箱温控器的工作原

理及其调节方法。人民生活水平固然提高了许多，但是现在也并不是都十分富裕。不正确的

使用电冰箱势必会缩短其使用寿命，带来了不必要的麻烦，同时也浪费了自然资源和财力。

有一次，我们家中的一台电冰箱工作了很长时间，却一直不停机。我们吓了一跳，以为

电冰箱坏了。我们给维修单位打电话咨询，但是上上下下仔细查看了整个电冰箱后，才发现

只是温控器调节的不正确。这使我们认识到了冰箱温控器对于电冰箱的重要性。因此，我们

来研究一下电冰箱温控器的正确使用方法，即如何使电冰箱的使用寿命更长。

问题：如何正确调节电冰箱温控器，使电冰箱使用寿命更长。

电冰箱制冷是靠中温低压的液态制冷剂进入蒸发器吸收热量汽化为低温低压的气态制

冷剂，达到蒸发器周围降温使冰箱内部冷却的目的。压缩机、冷凝器、干燥过滤器、毛细管

则是帮助并保证在蒸发器中已使用过的制冷剂回复到中温低压的液体，能再一次送回蒸发器

吸热汽化，实现单向连续循环制冷。蒸发器是电冰箱中唯一制冷的器件。压缩机把蒸发器出

来的低温低压的汽态制冷剂经回气管由压缩机吸入气缸，被压缩为高温高压的气态进入冷凝

器，把蒸发器中吸收的热量和压缩机在压缩做功时转换的热量，利用制冷剂与周围介质之间

有较大的温差，通过冷凝器全部散发到空气中。制冷剂在冷凝器中因放热而被液化。这高压

中温液态制冷剂经干燥过滤器吸收其中的水分，滤除其中的杂质，进入毛细管节流降压，使

高压液态制冷剂降为低压而能回到蒸发器重复使用。电冰箱就是这样由各种制冷剂作工质，

在封闭系统中作单向连续循环，把冰箱内热量不断的转移到箱外而达到制冷目的。

电冰箱压缩机是开开停停间歇工作的。电冰箱达到箱内的设定温度是通过温度控制器控

制压缩机的开、停机来完成的。压缩机运转时间长，即制冷时间长，则箱内温低：反之箱温

就高。温度控制器二个触点串联在压缩机电路中，当箱内温度低到某一设定温度时则温控器

触点跳开，压缩机停转，暂停制

冷，随后箱内温度逐渐提高，在

箱内温度高到另一设定温度时则

温控器触点闭合，压缩机又运转

制冷……如此循环。使箱内温度

保持在一定范围内。

电冰箱温控器中的感温包感

受蒸发器的温度，当温度升高或

降低时，感温元件中感温剂膨胀

或收缩，使非刚性元件感温腔（波

纹管或膜盒）推进或退缩，从而

（压缩）

改变感温元件与弹簧片之间的作用力通过温控器中机械传力放大，使感温腔微小形变产生的

微小位移放大，控制电触点，使其闭合或断开电路。温控器指向的数字，并不表示确切的温

度，而是表示控制温度高低的程度趋向，数字小表示控制在较高温度，数字大则表示控制在

较低温度。

我们认为，压缩机的使用寿命在很大程度上决定了电冰箱的使用寿命。而影响压缩机工

作时间的因素主要有：外界温度、温控器档位、冷冻室食品量、开关冰箱门习惯。当电冰箱

工作稳定后，冷冻室食品量对其影响十分微小，但不可以忽略不计、无论是在寒冷的冬季，

还是在炎热的夏季，冰箱中的食品都是在不断的吸热和放热。当冰箱内冷汽散失时，食品吸

热；当电冰箱制冷吸热时，食品放热。这在夏季时最为明显：当电冰箱停机时，冰箱内食品

越多其停机时间越长，因为如果假设食品的平均比热容不变，那么根据物理学关于热能的公

式Q=MXCXAT可知食品量与停机时间成反比。其中Q为食品热量变化，C为食品平均

比热，AT食品温度变化量。因此，冰箱内食品量的多少也是十分重要的。实际上，外界温

度随季节变化而变化，温控器档位靠人工调节，冰箱内的食品量和如何开关门对于一个家庭

来讲变化不会很大，因为已经形成了习惯。但是，使用时如果压缩机长时间连续工作，压缩

机温度就会升高，就会造成热冲击。过多的热冲击会缩短压缩机的使用寿命。因此，我们只

要调节温控器档位，使电冰箱冷冻室温度不低于某•温度，而且压缩机在非长时间连续工作

的条件下（不超过一个小时），工作时间与工作、停机的时间和的比值最小（如工作10分

钟，停机10分钟，则比值为0.5）,即压缩机的使用寿命更长，就可以使电冰箱的使用寿命

更长。同时，电冰箱的耗电量也降低了。这样，一台电冰箱在使用过程中既省电，又可以延

长使用寿命，当然十分经济。通过电冰箱生产厂家的电话咨询，专业技术人员肯定了我们的

上述看法。于是我们就此进行了一些实验，并通过电话咨询得到了一些准确的数据。

在北京等中国北方城市，冬季的供暖由市区县的各供暖单位负责保证。政府规定，冬季

居民室内的温度不得低于16摄氏度。北京市的供暖单位现在一般能够保证这个温度在18

摄氏度左右，最高温可达20摄氏度，最低温绝不低于16摄氏度。因此，可以认为我国北方

冬季家庭室内温度在18摄氏度左右。又因为，我国北方春秋季节家庭室内温度也在18摄氏

度左右，偏冷的地区依然有暧汽等供暖，甚至常年不断。所以，可以认为，我国北方春秋冬

三季的家庭室内温度均在18摄氏度左右。就一般家庭而言，熟食一般现吃现买，生食一般

只放几个星期。电冰箱冷冻室的食品量•般占冷冻室容积的五分之三左右，且•般变化不是

很大。就是说，一般家庭的食品量对冰箱的影响基本相同。

综上所述，我们理想化的实验条件是我国北方春秋冬三季•般家庭的电冰箱。在研究这

个问题时可以把食品量和室内温度作为常数来考虑。由于每次开冰箱门时都会使冰箱内食品

吸热升温，所以不同人的开门习惯和速度会影响到冰箱的制冷效果。比如说：老人可能手脚

不是很利落，而且拿一件东西要想一下；年轻人可能一只手开门，另一只手就把东西拿出来

了。为了简便计算，我们可以认为，在一个家庭中不考虑老人与青年人的分别，只考虑平均

到每个家庭成员的使用效果，那么各个家庭的情况基本相同。结果是，我们在计算过程中可

以忽略这一因素的影响。我们想利用家用电冰箱来进行•次实验。于是我们选用了长岭阿里

斯顿——BCD208型电冰箱，在保持室温为18摄氏度且食品量始终占冷冻室有效容积五

分之三不变的情况下，测定了•些数据。这种电冰箱属于中等档次的家用电器，制冷效果属

于一般水平。目前许多家庭使用的电冰箱的制冷效果和保温能力都与其相差无几。这些满足

了本论文前面交代的实验条件，可以作为该条件下的一个例子，来解决这个问题。于是我们

开始了实验。实验进行了一个多星期，每组数据（既一个档位）间间隔二个小时，让电冰箱

进行调节，以保证数据的准确性。

13

这台冰箱的温控器旋钮有六个档位，分别是从零到五。第零档为停机档，既电冰箱压缩

机停止工作，不会启动；第五档为速冻档，即压缩机一直启动，不会停机。因此，我们不能

选第零档，因为冰箱不会制冷；不能选第五档，因为冰箱持续工作，即浪费电能，又会造成

热冲击，还有可能冻坏食品。我们设工作时间与工作、停机的时间和的比值为y,设电冰

箱温控器档位为xo则自变量x的取值范围为（0,5）o在平面直角坐标系中描点作图，

为了便于计算，且不影响结果的正确，我们在计算时把原y值扩大了100倍。这样可以方便

计算，也能方便作图。观察散点的分布，我们认为这些点极有可能是在一条抛物线上，因此

设y关于x的函数为^=f（x）=ax2+bx+c。我们在后面附有实验数据列表和用绘图工具

《几何画板》作出的函数图象。其中，表格包含五组数据，在测定时每组数据之间至少间隔

两个小时，因为电冰箱需要约一个小时来调整。函数图象有一个大致的轮廓。图中的空心圆

点表示描点，实心圆点表示当x为4.5时函数图象上的点。

我们分别以三组数据为一组，把五组数据分成了十组。设五组数据对应函数图象上的点

从左至右依次为A、B、C、D、E,则将五组数据分组为：ABC、ABD、ABE、ACD……BDE、CDE。

每组可分别解出一个函数，但都有一定误差。其中，凡是包含数据组E的组误差都十分大,

且不太正常。我们认为是由于压缩机升温且冷凝器温度升高散热变慢，导致电冰箱工作异常。

这种可能性十分大，属于正常现象。通过电话咨询，冰箱厂家的技术人员肯定了我们的想法,

并告诉我们：目前•些高级的冷凝管可以大大提高散热效率，但造价颇高，且调节温控器就

可解决问题，没必要多花钱去生产。于是把数据组E舍去，只计算前四组，又可以分为四

组：ABC、ABD、ACD、BCD。以这四组数据分别解出一个函数，这四组函数中也存在误差，但

是应该保留数据组A存在误差的那一分组。因为，温控器调得过低后也会造成冰箱本身的

问题。由于档位越低，要求达到的温度越高（不一定始终在设定温度以卜），所以要工作的

时间就比较短，但停机时间缩短得更多。就是说，冰箱内的食品在较长时间内放出了热量，

在较短的时间内又吸入了大致相同的热量。冰箱在这时需要适度调低要求达到的温度。这就

是为什么要注意温控器的调节。就是说，由BCD解得的函数对于点A、D的误差属于合理

误差。最后，只有BCD这•组的不合理误差最小（此时A点误差为-0.36）,最后解得的函数

即为所求的函数y=f（x）«

由数据组BCD解函数：

6a+2鳍-我85=>4--35处•。血？-M5*+40»

bL

当X=2.574时，函数有最小值y=35.846；

所以，温控器旋钮应指在2.574的位置。

可是由于实验中不可能消除误差，所以应指在2、3之间的•个位置，室温稍低时就调

低一点儿，反之就高一点儿，一般家庭不用经常调，温度差2到3度不会有大影响。但是

不同的电冰箱性能不同，具体的食品量在变化，外界温度也会上下浮动，每个人每一次开门

造成的影响都不相同，不同品牌电冰箱温控器控制面板也不相同。所以忽略绝大多数家庭相

同的因素，只须再考虑不同的电冰箱性能不同、电冰箱温控器控制面板也不相同。尽管不同

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的电冰箱性能不同，但是它们的工作原理相同，都是在不断的吸热、放热。就是说，它们在

那个档位基本上都是最佳的。虽然电冰箱温控器控制面板不相同，但是内部旋转多少角度能

调节多少温度，却是同样基本相同的。目前市场上比较多的样式主要有：“0"至b'5"，“1”

到“7”和“弱”、"中”、“强”。由于我们实验用的电冰箱配备的是第一种样式的温控

器，所以对应到其它两种样式分别是“3”、“4”档之间和“中”略偏“弱”。

问题解决了，是在中国北方春秋冬三季，一般家庭家用电冰箱温控器的调节。目的是如

何更经济的使用好电冰箱。答案就是上一段最后的几句话。问题虽然很小，而且用的就是解

方程的方法，但却能培养我们从生活中寻找数学问题、运用数学知识的好习惯。这对于推行

素质教育是一个极佳的方法，它使学生因为自己的兴趣而学习，知识也就更加牢固。另外，

这个问题可以扩展到其它方面。如卜水道的清理问题，你必须知道什么时候清理最合理：时

间早了浪费物资，晚了又极难工作。当然牵扯的量也是相当多的。我们相信，通过我们不断

的学习，我们将解决更多的生活中的问题。

第二课时哪种投票制度最合理

Blockvotia的国民议会刚统计完了对PalmgreasingSlushfund议案的投票情况，总统

FreebiePerks满脸的不高兴。他的私人秘书PenelopePoundpincher施展浑身解数拼命安

慰他。

“Penny,你曾告诉我6个地区中有4个地区（包括最大的那个地区）支持此议案。那

我们怎么输了呢？”

“这是由于加权投票制度的缘故，先生。你知道，每个地区孝分配了与其人口数大致

成比例的一定票数。这是说明详细分配情况的一张表（见图1）。总的票数为31。因此，任

何一个拥有16张票（即比总票数的一半多一张票）的联盟将能够左右选举的结果。

Sheepshire,Fiddlesex,Slurrey和Porkney群岛对议案投了赞成票。我已经说过，这

正好是6个地区中的4个，而且包括了最大的一个。且它们合起来仅有15票，而反对议案

的两个地区却有16票。”

“总统选举下个月就要进行，我不希望这一情况重演。如果我们让边界委员会给

Sheepshire加一票，而使Candlewick减一票----"

Penny把头摇得像拨浪鼓。“我不主张这样做，先生。Richfolk和Candkewick这两个

区都赞成你连任。Sheepshire犹豫不决，而另外三个地区则反对你连任。Richfolk和

Candlewick可以挫败另外4个区组成的联盟，但如果你从这两个区中任一个区减去一票的

话，那情况就不同了。”

这时有人敲门。Porkney群岛的代表CharlieHogg冲了进来。“总统先生，这场滑稽戏

不能再继续演下去了！”

“什么滑稽戏？”

“你所谓的民主投票制度，Porkney群岛毫无权力。

"但你们拥有一票，这是与你们的人口成比例的。Slurrey的人口比你们还多，也只有

一票。你们拥有的权力实际上比Slurrey还多。”

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“不对。任何投票的结果都

完全被三个最大的地区所左右。

这三个地区至少有两个将投相同

的票，而它们合起来的票数至少

同Richfolk和Candlewick（分别

是第二大和第三大的地区）拥有

的总票数一样多。这就有了16票,

居于多数地位。在任何一次投票

中，即使3个最小的地区一票也

不投，也会得到相同的结果！”

“我明白了。但我能把它怎

么样呢？”

“再给我们一票！这样至少

3个最小的地区就可以同

Sheepshire联合起来打出一个平

局。如果你再给Slurrey也加一

票，那么我们就可以结成一个获

胜的联盟了（见图1）。”

"我明白你的意思。这样总

票数就是33"，Penny说。“这样

有17票或17票以上就可以得胜。

图］BhckvctLi的加男不山，各娼区的人.小.地图卜,的表

Fiddlesex,Slurrey,Porkney群

列出了现行的我黑加相和另外两种可能也

岛和Sheepshire结成联盟,能够

月言肌徂传班牧力西、。”

“不错！三个最小的地区中的任何一个才能够改变投票的结果——它们将拥有力量均

势！”

这时边界委员会的联络官GerryMander走了进来。Perks问他："Gerry,边界委员会

能否重新划定各区的边界，使Slurrey和Porkney群岛各多得一票？”

CerryMander摇了摇头。"Slurrey区还可想点办法。但Porkney是群岛就不好办了。”

Hogg咆哮起来：“我的选民们会不高兴的。”

总统叽咕着说：“是会不高兴。不过，正如你说的那样，这没有什么用，因为你的地区

毫无权力。我看你最好不要发出无法兑现的威胁，Hogg。"

“单是三个选区就可以把你赶下台，这种情况也不会使你感到舒服。你必定能够想点

什么办法。”

“我可以再给Sheepshire两票。能办到吗，Gerry?"

“没问题。区界沿着Wastedump河弯弯曲曲地延伸。我们很容易把它改合理一些。

“但是给最大的地区再加儿票不可能帮助最小的地区获得一份权力呀！"Hogg伤心地叫

道。

Perks说：“恰恰相反，如果Sheepshire再多两票的话，你就会得到一份权力（见图1

的右图）。“

“不错”，Penny边说边看着这些数字，”这同一个联盟共拥有33票中的17票；依然是

最小的三个地区中的每一个都可以声称自己掌握着力量均势。”

“这真是妙极了"，Hogg说，“你给了Sheepshire更多的权力，其中部分权力却鬼使神

差般地影响到我们

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“不，Hogg。我们并没有给Sheepshire更多的权力——我们只是给他们更多的选票”,

Penny吸了一口气说，“正如你说的那样，权力和选票并不是一回事。”

“怎么会是这样？"Perks问道，“如果权力不是选票，那它是什么？我需要知道这一

点。权力赢得选举。”

"我认为你需要Banzhaf权力指数,先生"，Penny说，"JohnF.Banzhaf是乔治敦大

学的•位法律专家。1965年他提出了在加权投票体制中衡量代表所拥有的权力的一种方法。

他的设想是，一位代表可以通过加入一个看来要输掉的联盟使其转败为胜。或者背弃一个看

来要获胜的联盟使其转胜为败而显示其权力。”

“这不是同一回事吗？”

“是同一回事，先生。如果你加入一个联盟，你同时也就背弃了由其他所有人组成的

另个联盟。所以我们只需要考虑一种情况就够了——比如说考虑建立个获胜的联盟。假

定某一位代表在联盟中起着关键性的作用：有了她则联盟赢得投票，失去她则联盟输掉投票。

任何一位代表的Banzhaf权力指数就是她在其中恰好起着这样一种作用的联盟的数目。”

“我们原先的投票体制是一个（16；10,9,7,3,1,1）体制。获得多数所需的票数

为16票。各人代表的加权为10,9,7,3,1和1。Porkney仅能在恰好有16票的联盟中起

着关键作用。如果这种联盟有更多选票，那么Porkney是否背弃它对投票结果不会有任何影

响。如果其票数少于16票，则它就不是一个获胜联盟了。但是Porkney所属的任何•个联

盟其选票总数均不等于16票，因此Porkney的权力指数为零。按照总统提出的新方案，我

们将有一个（17；12,9,7,3,1,1）投票体制。Porkney在其所属的任何一个恰好有17

票的联盟中起着关键作用。这种联盟正好有一个，即由Sheepshire,Fiddlesex,Slurrey和

Porkney组成的联盟。因此，Porkney的权力指数为2。”

"那么Sheepshire的权力指数为多少？“Perks问。

“Sheepshire有12票，因此它在它加入的任何一个拥有17票到28票（即17—1+12

票），的联盟中起着关键作用。你可以通过试错法列出这些联盟（见图2）。这种联盟共有18

个，因此Sheepshire的权力指数为18。”

Hogg叫了起来：“Sheepshire的人口是我们的人口的12倍，可他们的权力却只有我们

的权力的9倍。”

Gerry问道：“有没有比试错法更好的计算权力指

数的方法呢？”

Penny说：“嗯，对于大的投票体系，最好的办法

是使用计算机。不过，对于小的投票体系（比如我们这

一个），有一种巧妙的图解法。假定此体系是（3；2,1,

1）,这就是说，有三位投票人：A,B和C。A有两票，

B和C各有一票，且3票构成多数。”

“首先画出一个显示出所有可能的联盟的点阵

图；如果这些联盟仅相关一个成员，则把它们用一条边

联接起来。在每条边上标以非两个联盟所共有的那个成

员。然后标出每一条关键的边——也说是总票数从低于

多数票变成等于多数票或高于多数票的那些边。任何•

位成员的权力指数就是其上标有它的名字的那些边的

数目。在这个例子中，A出现在3条关键边上，因此它

的权力指数为3；B和C则各出现在一条关键边上，因

此其权力指数均为1。这个点阵图是个立方体。对于更

大的系统，你也可以画出点阵图，但是看起来就有点零

图3一个有三位成员的投票体制的点阵图（上）和

一个有四位成员的投票体制的点阵图（下）

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乱了。不过四个成员的点阵图还是有点漂亮的（见图3）。”

Hogg说：“我希望的是每个成员拥有的权力指数大致同其人口成比例。”

“这可不那么容易办到"，Penny

说，“让我向你说明纽约州汤普金斯县议

会1982年是如何做到这一点的。权力指

数几乎正好与人口成比例（见图2）。”

“我们也可试试看"，Hogg提议

说。“或许可以吧”，总统慢条斯理地说,

“你对美国总统的权力指数作过研究总票数

吗，Penny?”

图2在上面这种投票体制中,Sheepshire的权力指数为18,

“是的，先生。美国总统的权力

这说明它在其中起着关键作用的联盟共有18个。理想的情

指数为一位参议员的权力指数的40倍，

况是，所有各地区的权力指数应当差不多相等，正如纽约州

为一位众议员的权力指数的175倍。”

的汤普金斯县1982年的情形那样

“这听起来很不错。”“不过美国

立法机构作为一个总体，其权力大约为总统的权力的两倍半。”

FreebiePerks盯着她有片刻，然后无所畏纽约州汤普金斯县议会（1982年）

惧地正视着Hogg说：“我想我自治地区人口权重权力指数权力指数/人口

们会坚持现行的制度。”

LANSING8.3174044.7470.571

DRYDENEAST7.6043334.4020.579

ENFI