数学模型竞赛试题及答案

数学模型竞赛试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题5分，共20分）

1.下列哪一项不是数学模型的基本要素？

A.目标函数

B.约束条件

C.模型参数

D.模型名称

2.在线性规划中，目标函数通常表示为：

A.最大值

B.最小值

C.最大值或最小值

D.无限制

3.下列哪个不是常见的数学模型类型？

A.线性规划模型

B.非线性规划模型

C.动态规划模型

D.模糊数学模型

4.下列哪个不是数学模型建立的基本步骤？

A.确定模型目标

B.收集数据

C.建立模型

D.模型验证

5.在求解线性规划问题时，如果目标函数是最大化，那么约束条件中的等式右侧应该是：

A.≥

B.≤

C.=

D.无限制

二、填空题（每题5分，共25分）

1.数学模型是运用数学语言对实际问题进行抽象、简化和概括的一种方法，它包括______、______、______等基本要素。

2.在线性规划中，如果目标函数是最大化，那么在求解过程中，我们需要找到目标函数的______。

3.在建立数学模型时，首先要明确模型的______，这是模型建立的基础。

4.数学模型建立的基本步骤包括：确定模型目标、______、建立模型、模型验证。

5.在求解线性规划问题时，如果目标函数是最大化，那么约束条件中的等式右侧应该是______。

三、简答题（每题10分，共30分）

1.简述数学模型的基本要素。

2.简述线性规划模型的基本步骤。

3.简述数学模型建立的意义。

四、计算题（每题20分，共40分）

1.某工厂生产两种产品A和B，生产一件产品A需要3小时的人工和2小时的机器时间，生产一件产品B需要2小时的人工和3小时的机器时间。工厂每天有8小时的人工和12小时的机器时间。产品A的利润为每件50元，产品B的利润为每件40元。要求求解以下问题：

（1）每天生产A和B各多少件时，工厂可以获得最大利润？

（2）如果产品B的利润提高到每件60元，其他条件不变，工厂的最大利润是多少？

2.设某城市有三种类型的商店：大型商店、中型商店和小型商店。这三种商店在一个月内的销售量分别为x、y和z。已知大型商店的月销售量与中型商店的月销售量之比为2:1，中型商店的月销售量与小型商店的月销售量之比为3:2。如果该城市的总销售量为1000件，要求求解以下问题：

（1）大型商店、中型商店和小型商店的月销售量分别是多少？

（2）如果大型商店的月销售量增加50件，其他条件不变，总销售量将如何变化？

五、应用题（每题20分，共40分）

1.某城市公交公司计划开通一条新的公交线路，该线路需要经过三个站点：A、B和C。已知A站到B站的距离为10公里，B站到C站的距离为15公里。根据交通规划，公交车在A站和B站之间的平均速度为60公里/小时，在B站和C站之间的平均速度为50公里/小时。要求求解以下问题：

（1）如果公交车在A站和B站之间的行驶时间为t小时，那么在B站和C站之间的行驶时间是多少？

（2）如果公交车在A站和B站之间的行驶时间为2小时，那么这条公交线路的总行驶时间是多少？

2.某公司生产一种产品，其生产过程包括两个阶段：加工和组装。加工阶段需要投入原材料和人工，组装阶段需要投入人工和设备。已知加工阶段每单位产品的原材料成本为10元，人工成本为5元；组装阶段每单位产品的人工成本为3元，设备成本为2元。要求求解以下问题：

（1）如果公司计划生产1000单位产品，那么加工阶段和组装阶段的总成本是多少？

（2）如果原材料成本降低到每单位8元，其他条件不变，公司生产1000单位产品的总成本将如何变化？

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析思路：

1.D（模型名称不是数学模型的基本要素，其他三项是）

2.B（线性规划的目标函数可以是最大化或最小化，但通常表示为最小值）

3.D（模糊数学模型是一种特殊的数学模型，但不是常见的类型）

4.D（模型验证是数学模型建立后的一个步骤，不是基本步骤）

5.B（线性规划中，等式右侧通常是小于等于，表示约束条件）

二、填空题答案及解析思路：

1.目标函数、约束条件、模型参数

2.最小值（线性规划中，目标函数通常是最大化或最小化）

3.模型目标（明确模型目标是建立模型的第一步）

4.收集数据（在建立模型之前，需要收集相关数据）

5.≤（线性规划中，等式右侧通常是小于等于，表示约束条件）

三、简答题答案及解析思路：

1.数学模型的基本要素包括：目标函数、约束条件、模型参数、模型变量等。

2.线性规划模型的基本步骤包括：确定模型目标、建立模型、选择合适的算法求解、分析结果。

3.数学模型建立的意义在于：可以简化复杂问题、提供决策依据、提高解决问题的效率。

四、计算题答案及解析思路：

1.

（1）设生产A产品x件，B产品y件，则目标函数为：50x+40y

约束条件为：

3x+2y≤8（人工时间）

2x+3y≤12（机器时间）

x≥0，y≥0

（2）如果产品B的利润提高到每件60元，则目标函数为：50x+60y

2.

（1）设大型商店月销售量为2x，中型商店月销售量为x，小型商店月销售量为2/3x

则2x+x+2/3x=1000

解得x=300，2x=600，2/3x=200

所以大型商店月销售量为600件，中型商店月销售量为300件，小型商店月销售量为200件。

（2）如果大型商店的月销售量增加50件，则大型商店月销售量为650件，其他条件不变

总销售量为650+300+200=1150件

五、应用题答案及解析思路：

1.

（1）由速度、时间和距离的关系，可得：

10=60t

t=1/6小时

15=50(1-t)

t=3/10小时

所以B站和C站之间的行驶时间为3/10小时。

（2）总行驶时间为1/6+3/10=8/15小时。

2.

（1）加工阶段总成本为10*1000+5*1000=15000元

组装阶段总成本为3*1000+2*1000=5000元