河北省沧州市沧州五校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

沧州五校2025年3月月考数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设是非零向量，是非零实数，下列结论正确的是()A.与的方向相反 B.C.与的方向相同 D.【答案】C【解析】详解】由于,所以,因此与方向相同.选C2.已知和是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三点共线可得，列出方程组即可得解.【详解】因为，且，，三点共线，所以存在实数，使得，即，则，解得.故选：B3.已知向量满足，且，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用两个向量的垂直关系以及数量积的运算化简可得，再代入投影向量的公式即可.【详解】因为，所以，所以，设的夹角为，所以在上的投影向量为.故选：B.4.在中，，则（）A.5 B.3或5 C.4 D.2或4【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理求解即可.【详解】由余弦定理，得，即，即，解得或5，经检验，均满足题意.故选：B.5.在中，为边上一点，，且的面积为，则（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由面积公式求出，即可得到为等腰三角形，则，在中由正弦定理求出，即可求出，最后由利用两角差的正弦公式计算可得.【详解】因为，解得，所以为等腰三角形，则，在中由正弦定理可得，即，解得，因为，所以为锐角，所以，所以.故选：A6.设为单位向量，，当，夹角为时，在上的投影向量为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由投影向量的定义，代入已知数据计算即可.【详解】由题意，在上的投影向量为．故选：D．7.在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合条件由余弦定理可得，再由，结合正切函数的和差角公式以及基本不等式代入计算可得，即可得到结果.【详解】因为，且，则，由余弦定理可得，所以，即，由正弦定理可得，其中，则，所以，又，化简可得，且为锐角三角形，则，所以，即，解得或（舍），所以，当且仅当时，等号成立，则的最大值为.故选：B【点睛】关键点睛：本题主要考查了余弦定理，正切函数的和差角公式以及基本不等式求最值问题，难度较大，解答本题的关键在于由余弦定理得到，然后结合基本不等式代入计算，即可求解.8.向量，（），函数的两个相邻的零点间的距离为，若（）是函数的一个零点，则的值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据函数的两个相邻的零点间的距离为求出的值，再根据（）是函数的一个零点得到再求的值.【详解】=，.因为函数的两个相邻的零点间的距离为，所以所以.令,则因为，所以所以=.故选：A．二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图是八卦模型图，其平面图形记为图中的正八边形，其中，则给出下列结论（）A. B.C.在向量上的投影为 D.【答案】AB【解析】【分析】正八边形中，每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离为1，然后再由数量积的运算逐一分析四个选项得答案．【详解】解：图中的正八边形，其中，对于A：，故A正确．对于B：，故B正确．对于C：在向量上的投影，，故C错误．对于D：，，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故D错误．故选：AB．10.下列说法正确的是（）A.在中，若，则为锐角三角形B.若，则在方向上的投影向量为C.若，且与共线，则D.设是所在平面内一点，且则【答案】BD【解析】【分析】根据向量数量积为负，确定其夹角为钝角，从而判断；求向量投影判断；用反证法判断；用向量加法几何意义判断．【详解】解：对于，因为，所以，于是，所以为钝角三角形，所以错；对于，因为，则在方向上的投影向量为，所以对；对于，假设对，则，从而，于是，所以与不共线，所以与与共线矛盾，所以错；对于，取中点，连接、，延长到，使，连接、，则四边形为平行四边形，于是，又因为，所以，所以、、共线，且，所以，所以对．故选：．11.下列说法中错误的为（）A.已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是B.向量不能作为平面内所有向量的一组基底C.若，则在方向上投影的数量为D.三个不共线的向量，满足，则是的内心【答案】AC【解析】【分析】对于A，由向量的交角为锐角的等价条件为数量积大于0，且两向量不共线，计算即可；对于B，由，可知，不能作为平面内所有向量的一组基底；对于C，利用向量投影的定义即可判断；对于D，由，得，根据全等三角形得，同理可得，即点到三边的距离相等，进而得出点是的内心.【详解】解：对于A：，与的夹角为锐角，可得，且与不共线，，即有，且，解得且，则实数的取值范围是且，故A错误；对于B：向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，故B正确；对于C：若，则在方向上的投影的数量为，故C错误；对于D：过分别作、、的垂线，垂足分别为、、，如图，三个不共线的向量，满足，，即，即，易得≌，则，同理可得，即点到三边的距离相等，则是的内心，故D正确．故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，若，，且，则__________【答案】13【解析】【分析】把平方再开方，结合题中条件计算即可.【详解】90°,，又||＝12，||＝5则，故答案为：13.已知海岛在海岛的北偏东的方向上，且两岛的直线距离为.一艘海盗船以的速度沿着北偏东方向从海岛出发，同时海警船以的速度从海岛进行追赶，经过小时后两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东_______.【答案】【解析】【分析】设海警船的航行方向是北偏东，根据条件，利用正弦定理得到，即可求解.【详解】设海警船的航行方向是北偏东，由题知，，，在中，由正弦定理得到，得到，又，所以，得到，故答案为：.14.某热爱飞镖的小朋友用纸片折出如图所示的十字飞镖ABCDEFGH，该十字飞镖由四个全等的三角形和一个正方形组成．在△ABC中，，，BC＝4，边DE上有4个不同的点，，，，且，记，则______.【答案】96【解析】【分析】延长交于点，利用三角形等面积法求出，根据向量数量积运算求出即可【详解】延长交于点，如图，因为所以因为,所以所以.

在中，，所以

设边上的高为，，

解得，即，故答案为:四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知向量，．（1）若，求在上的投影向量的模；（2）若，向量，求与夹角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先表示出，即可求出在上的投影向量的模；（2）根据求出x，即可求出与夹角的余弦值.【小问1详解】当时，.因为，所以在上的投影向量的模为．小问2详解】因为向量，且，所以，解得：.即，.所以.16.如图，已知D，E，F分别为的三边，，的中点，求证：．【答案】证明见解析【解析】【分析】利用向量加法的三角形法则，在图形中寻找回路，即可证明．【详解】由题意知，，，由题意可知，．．17.在中，已知，，.（1）求；（2）若D为BC上一点，且，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)首先由余弦定理求得边长的值为，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函数基本关系可得；(2)由题意可得，则，据此即可求得的面积.【小问1详解】由余弦定理可得：，则，，.【小问2详解】由三角形面积公式可得，则.18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由题意结合余弦定理得到关于c的方程，解方程可得边长c的值；(2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得的值，然后由诱导公式可得的值.【详解】（1）因为，由余弦定理，得，即.所以.（2）因为，由正弦定理，得，所以.从而，即，故.因为，所以，从而.因此.点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.19.如图，设是平面内相交成角的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，记.（1）在仿射坐标系中.①若，求；②若，且，的夹角为，求；（2）如图所示，在仿射坐标系中，B，C分别在x轴，y轴正半轴上，，E，F分别为BD，BC中点，求的最大值.【答案】（1）①；②（2）【解析】【分析】（1）①由题意，，将其两边平方，再开方即可得到；②由表示出和，再由已知用表示出，因为与的夹角为，然后由，即可得到；（2）由题意，设出坐标，表示出，由，求出的表达式，在中依据余弦定